電磁場與電磁波課件第5章靜態(tài)場的邊值問題.ppt

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1、第5章 靜態(tài)場的邊值問題,,,,,靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場，靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場。靜電場的場量與時間無關(guān)，位函數(shù)所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。 靜電場的邊值問題：給定邊界條件下，求泊松方程或拉普拉斯方程解的問題。,數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時間的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。,5.1 引言,靜電場問題,1. 由場求源：由微分方程求解。,若源的分布具有某種對稱性，從而判斷場的分布也具有某種對稱性時，可用高斯通量定理求解電場或安

2、培環(huán)路定理來求磁場。,2.由源求場：分布型問題和邊值型問題。,(1)分布型,(2)邊值型,已知確定區(qū)域中的源分布和其邊界上的位函數(shù)或位函數(shù)的法向?qū)?shù)分布，求解該區(qū)域中位函數(shù)的分布狀況，這類問題稱為邊值型問題或簡稱為邊值問題。,邊值問題的分類：,邊值問題根據(jù)邊界條件給出的形式不同可分為以下三種類型。,第一類邊值問題：給定整個邊界上的位函數(shù)求區(qū)域中位函數(shù)的分布，這類問題又稱為狄里赫利問題。,第二類邊值問題：給定整個邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)求區(qū)域中位函數(shù)的分布，這類問題又稱為紐曼問題。,第三類邊值問題：給定一部分邊界上的位函數(shù)和其余部分邊界上的法向?qū)?shù)，求區(qū)域中位函數(shù)的分布，這類問題混合問題。,1.靜

3、電場、恒定電場 、恒定磁場的基本方程。,4.鏡像法 、分離變量法。,重點：,3.理論依據(jù)：唯一性定理、疊加原理。,2.靜態(tài)場的位函數(shù)方程。,,,,,靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)生，磁場只由電流產(chǎn)生。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。,1、靜電場的基本方程,靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方程為,上式表明：靜電場中的旋度為0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場的通量源。,電介質(zhì)的本構(gòu)方程為,,靜態(tài)場的基本方程,2、恒定電場的基本方程,,要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。

4、這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。,維持恒定電流的電場為恒定電場,若一閉合路徑經(jīng)過電源，則：,即電場強度的線積分等于電源的電動勢,若閉合路徑不經(jīng)過電源，則：,恒定電場在無電源區(qū)的基本方程的積分形式和微分形式分別為,導(dǎo)體中的本構(gòu)方程為,,3、恒定磁場的基本方程,這是恒定磁場的基本方程。,從以上方程可知，恒定磁場是一個旋渦場，電流是這個旋渦場的源，電流線是閉合的。,磁介質(zhì)中的本構(gòu)方程為,,恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個磁場不隨時間變化，是恒定磁場。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為I，電流密度為 ,則有,靜電場可以用一個標(biāo)量函數(shù) 的梯度來表示它:,1、靜電場的位

5、函數(shù)分布,即,式中的標(biāo)量函數(shù) 稱為電位函數(shù)。,所以有,對于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，為常數(shù),,,即,靜電場的位函數(shù) 滿足的方程。,靜態(tài)場的位函數(shù),上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有“源”的區(qū)域內(nèi)，靜電場的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為 泊松方程。,,如果場中某處有=0，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)?,在直角坐標(biāo)系中,在圓柱坐標(biāo)系中,在球坐標(biāo)系中,2、恒定電場的位函數(shù)分布,根據(jù)電流連續(xù)性方程 及物態(tài)方程 并設(shè)電導(dǎo)率 為一常數(shù)（對應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有,則有,在無電源區(qū)域，恒定電場是一個位場，即有,這時同樣可以引入一個標(biāo)量位函數(shù) 使得,這說明，在無電源區(qū)域，恒定

6、電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。,3、恒定磁場的位函數(shù)分布,人為規(guī)定,(1) 磁場的矢量位函數(shù),這個規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范,,于是有,,此式即為矢量磁位的泊松方程。,恒定磁場是有旋場，即 ,但它卻是無散場， 即 引入一個矢量磁位 后，由于 ，可得,此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。,在沒有電流的區(qū)域有,在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)?(2) 磁場的標(biāo)量位函數(shù),這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個標(biāo)量函數(shù)， 即標(biāo)量磁位函數(shù),注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無電流源區(qū)才能應(yīng)用。,即令,,以上所導(dǎo)出的三個靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可

7、以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。,5.2.1 唯一性定理,在求解靜態(tài)場問題時,我們希望其解是唯一的,那么,在什么條件下,其解才是唯一?,三類邊值條件:,，,給定邊界上的位函數(shù),即已知,S為邊界,上的點。,給定邊界上的位函數(shù)的法向?qū)?shù),即已知,。,,靜電場的邊界通常是由導(dǎo)體形成的。 （1）若給定導(dǎo)體上的電位值就是

8、第一類邊界。 （2）若給定導(dǎo)體上的電荷就是第二類邊界。 導(dǎo)體表面上的電荷密度與電位導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為,因此，表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。,唯一性定理：滿足三類給定邊值之一的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。,換句話說，如果一個函數(shù)即滿足泊松方程(或拉普拉斯方程)又滿足給定的邊界條件，則該函數(shù)是唯一的。,1.設(shè)在體積V內(nèi)，其滿足邊值 的拉普拉斯方程的解不是唯一的，有 和 兩個解。,即有,唯一性定理的證明：,即12是同一無源區(qū)域的邊值問題 的解。,由格林第一定理知：對任意標(biāo)量函數(shù),令,則有,令,,并代入格林第一恒等式：,即,而,則,由邊界條件有,故,即,S曲面上,,故其

9、解是唯一的。,,仍然采用反證法證明.設(shè)有兩個解滿足拉氏方程.,則,即,S曲面上,則,S曲面內(nèi),S曲面上,2.設(shè)在體積V內(nèi)，其滿足邊值 的拉普拉斯方程的解不是唯一的，有 和 兩個解。,當(dāng) 和 選擇相同的參考點時,,解唯一.,3.,三類邊界問題,將格林第一恒等式的積分曲面寫成,，,然后進行,證明.同樣可得出結(jié)論,其解唯一.,即在區(qū)域V內(nèi)，1和2滿泊松方程，即,在V的邊界S上，1和2滿足同樣的邊界條件， 即,設(shè)12是同一有源區(qū)域的邊值問題 的解。,令* =1-2，則在V內(nèi)，2*=0，在邊界面S上，*|S=0。 代入格林第一恒等式有：,在S上* =0，因而上式右邊為零，因而有,體

10、積V內(nèi),S曲面上,,5.3 鏡像法,實質(zhì):是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。,依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。,注意： 1、鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時將會改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的位函數(shù)將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。 2、所得位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件。 3、鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。,關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。,局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及

11、特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。,5.3.1 導(dǎo)體平面鏡像 設(shè)在無限大導(dǎo)體平面(z=0)附近有一點電荷與平面距離為z=h 。若導(dǎo)體平面接地，則導(dǎo)體平面電位為零，如圖所示。求上半空間中的電場。,分析：上半空間任一點P處的電位，應(yīng)等于點電荷q和無限大導(dǎo)體平板上感應(yīng)的負(fù)電荷產(chǎn)生的的電位總和。因此，上半空間的電位問題可表示為 ：,,,,,,,,, 介質(zhì),q,r 1,P,,,h,h, 介質(zhì),,,如果設(shè)想把無限大導(dǎo)電平板撤去，整個空間充滿同一種介質(zhì)，并在點電荷q的對稱位置上，放一個點電荷-q來代替導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷。那么在z0空間里任一點p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于源電荷q與鏡象電荷-q所產(chǎn)生的

12、電位之和。 若選無窮遠(yuǎn)處為零電位點，這時，P點的電位為,將r1和r2的表達(dá)式代入上式可得：,總感應(yīng)電荷為：,,可以驗證電位滿足邊界條件，而此電位顯然在點（x，y，zh）滿足泊松方程，在其它的點滿足拉普拉斯方程，由唯一性定理可知即此電位是此邊值問題的唯一解。 導(dǎo)體平面上感應(yīng)電荷密度為 ：,,,角形區(qū)域 如直角形區(qū)域的邊界為兩個相交成直角的無限大導(dǎo)體平面并接地，如圖所示，在它附近有一點電荷，現(xiàn)來計算此直角形空間內(nèi)的電位分布。,用鏡像法求解，必須在原電荷對OA 和OB平面的對稱位置分別引入鏡像電荷-q ，但這并不能使OA 和OB面成為零電位。分析可知，若在原電荷的原點對稱位置再引入鏡像電荷q

13、 ，則原電荷及這三個鏡像電荷共同作用將使得OA 和OB面保持電位滿足原來的條件，因此場中任一點的電位即可認(rèn)為是由原電荷及這三個鏡像所生產(chǎn)電位的迭加。,對于以上的原電荷和鏡像電荷，從幾何關(guān)系上不難看出：它們位于一個同心圓上，而且從原電荷開始，無論是繞順時針還是逆時針走向，相鄰的一對互為鏡像的電荷大小相等，符號相反，并且最終回到原電荷位置，如圖所示,夾角為60度的的兩個相連無限大導(dǎo)電平板間置有點電荷的鏡像:,5.3.2 球形邊界問題,接地導(dǎo)體球半徑為a，在球外與球心相距為d1的p1點處有一點電荷q，點電荷q將在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)電荷，球外任一點的電位應(yīng)等于這些感應(yīng)電荷與點電荷q產(chǎn)生的電位之和。,

14、,接地導(dǎo)體球與點電荷如圖所示：求球外,設(shè)想把導(dǎo)體球移開，用一個鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)電荷. (1)為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導(dǎo)體球內(nèi)。 (2)由于球?qū)ΨQ性，這個鏡象電荷必然在點電荷q與球心所在的同一條直線上。 (3)由于靠近點電荷q的球面部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在OM線段上，設(shè)在b點,OM=b，則位函數(shù)表達(dá)式為,,球面：,即,,亦即,方法一：,而由余弦定理：,,上式對所有 均成立的充要條件為：,,,則,邊界條件：,球面：,如圖,即,取 P 點為特殊的兩點，即 A 、B兩點，則,對于 A 點，有,,對于 B 點，有,,故,,,,球外電位：如圖,,,,,,,由

15、邊界條件：,介質(zhì)2為球內(nèi)：,,-,球面上感應(yīng)的總電荷qin：,2、對地絕緣的導(dǎo)體球與點電荷，如圖所示，求球外電位,球面邊界條件：,時，,導(dǎo)體球上的凈電荷為零。,,鏡像電荷的設(shè)置：,,,,,,,,,,,,,,,,,球面為等位面,則,不滿足邊界條件,球心 再置一鏡像電荷 ，如圖：,則,為常數(shù),根據(jù)電荷守恒定律，為保證導(dǎo)體球上的凈電荷為零。,則,,至此，滿足邊界條件1）和2）,球外任意一點P的電位：如圖,例：接地?zé)o限大導(dǎo)體平板上有一個半徑為 a 的半球形突起，在點（0，0，d)處有一個點電荷 q （如圖所示），求導(dǎo)體上方的電位。,解：計算導(dǎo)體上方的電位時，要保持導(dǎo)體平板部分和半球部分的電位都為零

16、。,,先找平面導(dǎo)體的鏡像電荷 位于 （0，0，-d)處。再找球面鏡像電荷,位于（0，0，,處，,當(dāng) 疊加這兩個鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位時，在導(dǎo)體平面上和球面上都不為零，應(yīng)當(dāng)在球內(nèi)再加上一個鏡像電 荷 位于（0，0， ）處，這時，三個鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位在導(dǎo)體平面和球面上都為零，且三個鏡像電荷都在要計算的區(qū)域以外。,故導(dǎo)體上方的電位為四個點電荷電位的疊加。,,點電荷與接地導(dǎo)體平板,點電荷與接地導(dǎo)體球,點電荷與不接地導(dǎo)體球,3、導(dǎo)體球殼與球殼內(nèi)點電荷的鏡像：求球內(nèi)電位？,球殼為接地的情況：,分析：球殼內(nèi)表面的感應(yīng)電荷 可在球外 連線上 置一鏡像電荷 來等效。,

17、球殼為零電位。,,,,球殼不接地,球殼表面上的感應(yīng)電荷 對球殼內(nèi)的場分布不產(chǎn)生影響，但它存在使球殼內(nèi)的電位提高了一個常數(shù)。,若球外介質(zhì)均勻，則球殼外的感應(yīng)電荷分布均勻。,,例3： 有一接地導(dǎo)體球殼，內(nèi)外半徑分別為a1和a2，在球殼內(nèi)外各有一點電荷q1和q2 ，與球心距離分別為d1和d2 ，如圖所示。求：球殼外、球殼中和球殼內(nèi)的電位分布。,球殼外：邊界為r = a2的導(dǎo)體球面，邊界條件為 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷的位置和大小分別為 球殼外區(qū)域任一點電位為,解：,球殼內(nèi)：邊界為r = a1的導(dǎo)體球面，邊界條件為 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為 球殼內(nèi)區(qū)域任一點電位為,球殼中：

18、 球殼中為導(dǎo)體區(qū)域，導(dǎo)體為等位體，球殼中的電位為零。,用鏡像法解題時，一定要注意待求區(qū)域及其邊界條件，對邊界以外的情況不予考慮。,5.3.4 媒質(zhì)分界平面的鏡像,導(dǎo)體平面位于點電荷產(chǎn)生的電場中時，會在其上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，利用鏡像電荷可代替其感應(yīng)電荷的作用，從而將導(dǎo)體平面去掉。,那么，電介質(zhì)平面位于點電荷產(chǎn)生的電場中時，會在其上產(chǎn)生束縛（極化）電荷，則我們是否也可以利鏡像電荷來代替極化電荷對場的作用呢？,答案是肯定（sure）的。,設(shè)在介質(zhì)1和2內(nèi)的電位函數(shù)分別為1和2。,,,拉氏方程與邊界條件：,邊界條件,拉氏方程,設(shè)想用鏡像電荷代替界面上極化電荷的作用，并使鏡像電荷和點電荷共同作用，滿足界面上

19、的邊界條件。,當(dāng)待求區(qū)域為介質(zhì)1所在區(qū)域時，在邊界之外設(shè)一鏡像電荷 q,介質(zhì)1中任一點的電位和電位移矢量分別為：,1. 點電荷對無限大介質(zhì)平面的鏡像,當(dāng)待求區(qū)域為介質(zhì)2所在區(qū)域時， 設(shè)一鏡像電荷q位于區(qū)域1中，且位置與 q 重合，同時將整個空間視為均勻介質(zhì)2。于是區(qū)域2中任一點的電位和電位移矢量分別為：,在分界面(R = R= R)上，應(yīng)滿足邊界條件：,,電介質(zhì)中的電場分布：,,例：設(shè)分界面為平面的兩個半無限大空間中，分別充滿磁導(dǎo)率為 和 的兩種均勻介質(zhì)，在介質(zhì)1中存在一平行于分界面的長直線電流I，與分界面的距離為d，試求空間的磁場。,,,,,2. 線電流對磁介質(zhì)分界平面的鏡像,求解上半空間的

20、磁場時，以分界面為對稱面，在原電流的對稱位置上用一鏡像電流代替分界面上的磁化電流。這樣，可以為整個空間充滿磁導(dǎo)率為 的磁介質(zhì)。,均勻介質(zhì)，因此，區(qū)域1內(nèi)任一點P的矢量磁位為 電流的鏡像,,,求解上半空間的磁場時，也可用鏡像電流來等效地代替分界面上的磁化電流。根據(jù)鏡像法，鏡像電流只能在區(qū)域1內(nèi)，區(qū)域2內(nèi)任一點P的矢量磁位為 鏡像電流和可由邊界條件確定，在分界面（ ）上 從而得到,,,,,,聯(lián)立求解可得 由上式可知，鏡像電流 和 的方向由 和 決定，若 ， 與原電流的方向一致，而 則相反；反之也然。則可得,,,,,,,,,,,,,,相應(yīng)的磁場為,,,,磁壁,5

21、.3.3 柱面邊界的鏡像法 線電荷密度為 的無限長帶電直線與半徑為a的接地?zé)o限長導(dǎo)體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為 ，如圖所示。求圓柱外空間的電位函數(shù)。 線電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像,,,,【解】導(dǎo)體圓柱在線電荷的電場作用下，柱面上會出現(xiàn)感應(yīng)電荷。柱外空間任一點的電位等于線電荷和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電位的迭加。顯然，柱面上感應(yīng)電荷在離線電荷近的一側(cè)多，離線電荷遠(yuǎn)的一側(cè)少，且其分布具有對稱性。假設(shè)在與圓柱軸線的距離為 ，且平行于軸線方向上放置一條鏡像線電荷，密度為 ，可由邊界條件確定之。 圓柱外空間一點電位為 由于圓柱接地，圓柱面上電位為零，設(shè)圖中的 ，則,,,,,,上式對任意

22、值均成立，在上式兩端對 求導(dǎo)可得 比較等式兩端相應(yīng) 項的系數(shù)，可得 聯(lián)解以上兩式可得 后一組解不合理，應(yīng)舍去。,,,,,,,,圓柱外任一點的電位為 由 時，可求得 圓柱面上的感應(yīng)電荷密度為 圓柱面上單位長度的感應(yīng)面電荷為,,,,,,5.4 分離變量法,2. 步驟：,（1）由給定邊界條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出該坐標(biāo)系的拉氏（泊松）方程的表示式。,1. 定義：將一個三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程。,把待求的位函數(shù)用分離變量法表示出來； 并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程），分解出三個常微分方程；分別寫出其通解。,用給定邊界條件以及通解中正交函數(shù)的正交性確定通

23、解中的待定常數(shù)。,,特 解,5.4.2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法：,、分離變量：,令,,并代入拉式方程整理得:,、位函數(shù) 的拉氏方程：,三個常微分方程：,稱為分離常數(shù)。,通解：,,則,為待定系數(shù)。,則,或,則,同理， 的通解亦可根據(jù) 的取值不同，從而得到類似 的通解。,故,其通解是所以可能解的的線性組合。（疊加原理）,例：一長直金屬槽的長度方向平行于z軸，其橫截面如圖所示，其側(cè)壁與底面電位均為，而頂蓋電位,,求槽內(nèi)電位 的解。,解：,由題意， 沿z方向是沒有變化的，而槽的邊界是與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)面平行的。,、選直角坐標(biāo)系：如圖所示。,、拉氏方程：,、邊界條件：,條件,邊界,、用分離變量法分離出兩個常微分方程：,,,,、求通解：,,、特解：,（結(jié)合具體邊界條件）,分析：,通解:,特解:,,即,故,,,,,本征值,,,由,則,故,,故,,則,即,,即,因 已是三角函數(shù),則,5.4.3 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法：,、拉氏方程的展開式：,令,、分離變量法：,