第三章 基本體的投影

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1、3 基本體投影 立體的形狀是各種各樣的，但任何復(fù)雜立體都可以分析成是由一些簡單的幾何體組成，如棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等，這些簡單的幾何體統(tǒng)稱為基本幾何體。 根據(jù)基本幾何體表面的幾何性質(zhì)，它們可分為平面立體和曲面立體。立體表面全是平面的立體稱為平面立體；立體表面全是曲面或既有曲面又有平面的立體稱為曲面立體。 3.1 平面立體投影 1.1.1 平面立體的投影 平面立體的各個邊都是平面多邊形，用三面投影圖表示平面立體，可歸納為畫出圍成立體的各個表面的投影，或者是畫出立體上所有棱線的投影。注意作圖時可見棱線應(yīng)畫成粗實(shí)線，不可見棱線應(yīng)畫成虛線. （1） 五棱柱 如圖３-1—1所示,分析

2、五棱柱： 五棱柱的頂面和底面平行于H面,它在水平面上的投影反映實(shí)形且重合在一起，而他們的正面投影及側(cè)面投影分別積聚為水平方向的直線段。 五棱柱的后側(cè)棱面EE1Ｄ1Ｄ為一正平面,在正平面上投影反映其實(shí)形,EＥ1 、D　D１直線在正面上投影不可見，其水平投影及側(cè)面投影積聚成直線段。 五棱柱的另外四個側(cè)棱面都是鉛垂面，其水平投影分別匯聚成直線段，而正面投影及側(cè)面投影均為比實(shí)形小的類似體。 （a）立體圖 （b）五棱柱的投影 （c)三面投影圖 圖３－1－1 投影圖如圖3—1－１所示，立體圖形距離投影面的距離不影響各投影圖形的形狀及它們之間的相互關(guān)系。為了作圖簡便、圖形清楚，

3、在以后的作圖中省去投影軸。 作圖步驟如圖３-１—2所示： 1. 布置圖面，畫作圖基線，如圖3—1－２（a）所示; 2. 畫出反映真實(shí)形狀的面，如圖3—１－2（b)所示； 3. 根據(jù)投影規(guī)律畫出其他視圖,如圖3-1-2（c)所示; 4. 檢查整理底稿后，加深三視圖的可見線，將不可見線繪制成虛線，如圖３-１-２ 　?。╠）所示。 (a)畫作圖基線　 　　 　 （ｂ）畫Ｖ面投影 (ｃ）根據(jù)投影規(guī)律畫出其他視圖 (d)加深三視圖的可見線,將不可見線繪制成虛線 圖３—1-2 （2） 三棱錐 (a）立體圖 (b)投影圖 　 　

4、 　 　 　 　 　 （c)三面投影圖 圖3－1-3 如圖3-1-３所示,分析三棱錐: 三棱錐的底面ABC平行于平面H在水平投影上反映真實(shí)形狀; BCS垂直于V面,在正平面上投影為一條直線。作圖時應(yīng)先畫出底面△ＡＢC的三面投影，再作出錐頂S的三面投影,然后連接各棱線，完成斜三棱柱的三面投影圖.棱線可見性則需要通過具體情況分析進(jìn)行判斷。 1.1.2 棱柱表面上取點(diǎn) 在立體表面上取點(diǎn)，就是根據(jù)立體表面上的已知點(diǎn)的一個投影求出它的另外投影。由于平面立體的各個表面均為平面，所以其原理與方法與在平面上取點(diǎn)相同。 1. 正六棱柱上取點(diǎn) 如圖3—１—4中為正六棱柱的三面投影圖

5、，正六棱柱的頂面和底面為水平面，前后兩側(cè)棱柱面為正平面,其他四個側(cè)棱面均為鉛垂面。正六棱柱的前后對稱,左右也對稱。 若已知六棱柱表面M點(diǎn)的正面投影ｍ’，六棱柱底面上N點(diǎn)的水平投影ｎ，求兩點(diǎn)其余投影。求M點(diǎn)投影,如圖3—1—4所示,首先確定M點(diǎn)在哪一個棱面上,由于M點(diǎn)可見，故M點(diǎn)屬于六棱柱左前棱面，此棱面為鉛垂面，水平投影具有積聚性，因此可由m’向下作輔助線直接求出水平投影m,再借助投影關(guān)系求出側(cè)面投影m”。求N點(diǎn)投影，如圖３－1-4所示，確定N點(diǎn)所在面，水平投影不可見，可知N點(diǎn)位于下端面,此面是水平面在正平面和側(cè)平面上投影具有積聚性,所以可直接求得N點(diǎn)的其他投影。 　 （a)

6、已知 　 　　 　 　 　　 　 　 　 (ｂ）作圖求解 圖3-1－４ 2. 三棱錐取點(diǎn) 如圖3—1—5中所示，三棱柱底面ABC平面為水平面，BＣS面為側(cè)垂面。 若已知三棱錐表面上兩點(diǎn)M　和N的正面投影，求其水平投影和側(cè)面投影。求M點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影,從所給出的Ｍ點(diǎn)的正面投影不可見,可知M點(diǎn)位于BCＳ面上，BCS面為側(cè)垂面在側(cè)面投影上具有積聚性,我們可以直接得出m"，利用投影關(guān)系可求得m。求N點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影,分析N點(diǎn)位于SAC面上，可過N點(diǎn)作輔助直線ＳI，可求得ＳI的水平投影和正面投影,N屬于ＳI上的一點(diǎn),可使用求直線上一點(diǎn)的方法求得Ｎ點(diǎn)水平投影，使用投影關(guān)

7、系求得側(cè)面投影,如圖3-1－5所示. （a）已知 　　 　　 　 　　 　 　 (ｂ） 作圖求解 圖3—1－5 1.2 回轉(zhuǎn)體投影 常見的曲面立體有圓柱、圓錐、球、圓環(huán)等，這些立體表面上的曲面都是回轉(zhuǎn)面,因此又稱它們?yōu)榛剞D(zhuǎn)體。 圖３—2-１ 回轉(zhuǎn)面的形成（如圖3－2－１所示）: 回轉(zhuǎn)面是由一條母線(直線或是曲線）繞某一軸線回轉(zhuǎn)而形成的曲面,母線在回轉(zhuǎn)過程中的任意位置稱為素線；母線各點(diǎn)運(yùn)行軌跡皆為垂直于回轉(zhuǎn)體軸線的圓。 圓柱：由圓柱面和兩端圓平面組成。圓柱面是一直線繞與之平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。 圓錐：由圓錐面和底圓平面組成。圓錐面是由母線

8、繞與它端點(diǎn)相交的軸線回轉(zhuǎn)而成. 球:由球面圍成，球面是一個圓母線繞過圓心且在同一平面上的軸線回轉(zhuǎn)而成的曲面。 圓環(huán)：由圓環(huán)面圍成。圓環(huán)面是由一個圓母線繞不通過圓心但在同一平面上的軸線回轉(zhuǎn)而成的曲面。 1.2.1 圓柱 1. 圓柱的投影 如圖３－2—２所示,為三投影面體系中的圓柱,分析圖形可知： 圓柱體的上下底面為水平面，故水平投影為圓，反映真實(shí)圖形,而其正、側(cè)面投影為直線。 圓柱面水平投影積聚為圓，正面投影和側(cè)面投影為矩形，矩形的上、下兩邊分別為圓柱上下端面的積聚性投影。 最左側(cè)素線ＡＡ1和最右側(cè)素線BB１的正面投影線分別為a’a1’和ｂ’ｂ1',又稱圓柱面對Ｖ面的投影的輪廓線

9、。AＡ1與BＢ1的正面投影與圓柱線的正面投影重合，畫圖時不需要表示。 最前素線ＣC１和最后素線DD1的側(cè)面投影線分別為c’’ｃ1'’和ｄ’’ｄ１’’，　又稱圓柱面對W面的投影的輪廓線。ＣC1與ＤD１的正面投影與圓柱線的正面投影重合，畫圖時不需要表示。 　　　 　 圖3－２—2 圓柱投影立體圖及三面投影圖 作圖時應(yīng)先用點(diǎn)劃線畫出軸線的各個投影及圓的對稱中心線，然后繪制反映圓柱底面實(shí)形的水平投影,最后繪制正面及側(cè)面投影。 圖3－２-３圓柱表面的點(diǎn) 2. 圓柱表面上的點(diǎn)(如圖3—2-３所示） 已知圓柱表面上的一點(diǎn)K 在正面上的投影為k’，現(xiàn)作它的其余二投影。 由于圓柱面

10、上的水平投影有積聚性,因此點(diǎn)Ｋ的水平投影應(yīng)在圓周上，因?yàn)椋搿梢娝渣c(diǎn)Ｋ在前半個圓柱上，由此得到Ｋ的水平投影ｋ,然后根據(jù)k’、ｋ便可求得點(diǎn)K的側(cè)面投影ｋ’’,因點(diǎn)K在右半圓柱上,k’'不可見,應(yīng)加括號表示不可見性。 1.2.2 圓錐 1. 圓錐的投影 圖3－2—4 圓錐體立體投影圖及三面投影圖 如圖3－2－４所示,為三面投影體系中的圓錐,分析圖形可知： 圓錐的水平投影為一個圓，這個圓既是圓錐平行于H面的底圓的實(shí)形，又是圓錐面的水平投影; 圓錐面的正面投影與側(cè)面投影都是等腰三角形,三角形的底邊為圓錐底圓平面有積聚性的投影。 正面投影中三角形的左右兩腰ｓ’a’和s’b'分別為圓錐

11、面上最左素線SA和最右素線ＳB的正面投影,又稱為圓錐面對V面投影的輪廓線，SA和ＳＢ的側(cè)面投影與圓錐軸線的側(cè)面投影重合，畫圖時不需要表示. 側(cè)面投影中三角形的前后兩腰s’’ｃ’’和s'’d'’分別為圓錐面上最前素線SC和最后素線ＳD的側(cè)面投影，又稱為圓錐面對Ｗ面投影的輪廓線,SＣ和ＳＤ的正面投影與圓錐軸線的正面投影重合，畫圖時不需要表示。 作圖時應(yīng)首先用點(diǎn)畫線畫出軸線的各個投影及圓的對稱中心線，然后畫出水平投影上反映圓錐底面的圓，完成圓錐的其他投影，最后加深可見線。 2. 圓錐表面上的點(diǎn) 由于圓錐的三個投影都沒有積聚性，因此，若根據(jù)圓錐面上點(diǎn)的一個投影求做該點(diǎn)的其他投影時，必須借助于圓

12、錐面上的輔助線,做輔助線的方法有兩種(如圖３—2-5所示): （a)素線法 　　 　　 　　 　 　 (b）緯圓法 圖３－２-5 1. 素線法：過錐頂作輔助素線 已知圓錐面上的一點(diǎn)K的正面投影k’，求作它的水平投影ｋ和側(cè)面投影k”。解題步驟如下: 1. 在圓錐面上過點(diǎn)Ｋ及錐頂S作輔助素線SA,即過點(diǎn)Ｋ的已知投影ｋ’作s'a’，并求出其水平投影sa； 2. 按“寬相等”關(guān)系求出側(cè)面投影s”ａ”； 3. 判斷可見性：根據(jù)k’點(diǎn)在直線SA上的位置求出k及k”點(diǎn)的位置,K在左半圓錐上,所以k”可見。 2. 緯圓法：用垂直于回轉(zhuǎn)體軸線的截平面截切回轉(zhuǎn)體,其交線一定是

13、圓,稱為“緯 圓”，通過緯圓求解點(diǎn)位置的方法稱為緯圓法。 已知圓錐面上的一點(diǎn)K的正面投影，求解其他兩個方向投影.解題步驟如下: 1. 在圓錐面上過K點(diǎn)做水平緯圓,其水平投影反映真實(shí)形狀，過ｋ’做緯圓的正面投影1’2’,即過k’做軸線的垂線1’2’; 2. 以1’2’為直徑,以s為圓心畫圓,求得緯圓的水平投影1２，則k必在此圓周１2上； 3. 由k’和k通過投影關(guān)系求得ｋ”。 1.2.3 球 1. 球的投影 如圖3-2－6所示,為三投影面體系中的球,分析可知： 圖３－2—6　球體的立體投影圖及三面投影 球的三面投影均為大小相等的圓，其直徑等于球的直徑,但三個投影面上的圓是

14、不同轉(zhuǎn)向線的投影。 正面投影a’是球面平行于Ｖ面的最大圓A的投影（區(qū)分前、后半球表面的外形輪廓線）； 水平投影b是球面平行于H面的最大圓B的投影（區(qū)分上、下半球表面的外形輪廓線）; 側(cè)面投影c”是球面平行于W面的最大圓Ｃ的投影(區(qū)分左、右半球表面的外形輪廓線）. 作圖時首先用點(diǎn)劃線畫出各投影的對稱中心線，然后畫出與球等直徑的圓。 2. 圓面上取點(diǎn)(如圖3—２—7所示) 由于圓的三個投影都無積聚性，所以在球面上取點(diǎn)、線,除特殊點(diǎn)外可直接求出外,其其余均需用輔助圓畫法，并注明可見性。 （ａ）已知 　 　 　 　 　（b） 作圖求解 圖3-2—7 已知圓

15、球和球面上一點(diǎn)M的水平投影m,求點(diǎn)M的其余兩個投影面投影,作圖方法如下： 根據(jù)ｍ可確定點(diǎn)M在上半球面的左前部，過Ｍ點(diǎn)作一平行于V的輔助圓，m’點(diǎn)一定在該圓周上,求得m’ ，由點(diǎn)M在前半球上,可知m’可見； 由m'及m根據(jù)三面點(diǎn)投影關(guān)系求得ｍ”，由點(diǎn)M在左半球上可知m”可見. 1.3 平面與立體相交——截交線 實(shí)際的機(jī)器零件往往不是完整的基本體,而是被一個或幾個平面截切掉一部分的情況. 截交線:平面與立體表面的交線稱為截交線.截交線均具有下列性質(zhì): a) 平面立體的截交線是截平面與平面立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面上的共有點(diǎn)； b) 由于平面立體的表面都具有一定

16、的范圍，所以截交線通常是封閉的平面多邊形； c) 多邊形的各項(xiàng)點(diǎn)是平面立體的各棱線或邊與截平面的交點(diǎn),多邊形的各邊是平面立體的棱邊與截平面的交線,或是截平面與截平面的交線。 1.3.1 平面與平面立體相交 平面立體被單個或多個平面切割后,既具有平面立體的形狀特性,又具有截平面的平面特征。因此在看圖或畫圖時，一般應(yīng)先從反應(yīng)平面立體特征視圖的多變形線框出發(fā)，想象出完整的平面立體形狀并畫出其投影，然后再根據(jù)截平面的空間位置，想象出截平面的形狀并畫出投影.平面立體上切口的畫法,常利用平面特性中“類似形”這一投影特性來作圖. 范例:已知被平面Ｐ'截切的三棱錐，完成它的其余視圖繪制。步驟如下(如圖

17、3—3-１所示): （a）已知 （b）作圖求解 圖3－3-１ 不難看出，截平面與三棱錐的三個棱邊均有一個交點(diǎn),截交線是一個三角形,找出三個點(diǎn)在各投影中的位置就可以繪制出截面投影。 （1） 設(shè)Pv與s’a’、s’b’、s’c’的交點(diǎn)1'、2’、3’為截平面與各棱線的交點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 　 的正面投影； （2） 根據(jù)線上取點(diǎn)的方法,求出1、２、３和1”、２"、３"; （3） 連接各點(diǎn)的同面投影即為截交線的三個投影; （4） 補(bǔ)全棱線的投影，加深視圖。 1.3.2 平面與回轉(zhuǎn)體相交 曲面立體的截交線，一般情況下是一條封閉的平面曲線。作圖時,須先求出若干個共有點(diǎn)的投影，然

18、后用曲線將它們依次光滑地連接起來，即為截交線的投影。截交線的形狀由回轉(zhuǎn)體表面的性質(zhì)和截平面對回轉(zhuǎn)體的相對位置而決定的。 （1） 平面與圓柱體相交（如圖3—3—2所示) 平面與圓柱體相交，可根據(jù)截平面與圓柱體軸線的相對位置不同,截交線的形狀有三種情況： 圖3—3－2 范例：圓柱被一正垂面所截,已知主視圖和俯視圖，求左視圖。 　　 （ａ）立體圖　 　 　 　 　 　　　 （b)作圖求解 圖３—３-3 分析:圓柱體被正垂面截切，截交線的是一橢圓。此截交線橢圓的Ｖ投影積聚為一直線,H面投影積聚在圓周上，Ｗ面的投影是橢圓需要求出，如圖3—3-3所

19、示。 作圖:先畫出完整的圓柱體的左視圖，再求截交線的側(cè)面投影。步驟如下： （1） 求特殊點(diǎn)。特殊點(diǎn)主要是轉(zhuǎn)向輪廓線上的共有點(diǎn)，截交線上最高、最低、最前、 　 最后、最左、最右點(diǎn)以及能決定截交線形狀特性的點(diǎn),如橢圓長短軸端點(diǎn)等。 （2） I、II為橢圓的短軸，III、IＶ為橢圓的長軸，點(diǎn)I和點(diǎn)IＩ分別位于圓柱的最 左、最右素線上，I為最低點(diǎn)，ＩI為最高點(diǎn)。點(diǎn)ＩＩI和IV分別位于圓柱的最 前和最后素線上。它們的正面投影1＇、2＇、3＇、4＇和水平投影1、2、３、４可直 　　 接標(biāo)出來。由兩投影可求出側(cè)面投影１"、2”、3＂、4". （3） 求一般點(diǎn)。為使作圖準(zhǔn)

20、確，還須作出若干一般點(diǎn)。在特殊點(diǎn)之間再找?guī)讉€一般 　 點(diǎn)如Ｖ、VI、VＩI、ＶIIＩ，根據(jù)它們的正面投影5＇、6'、7’、8’和水平投影5、6、 　 7、８即可求出側(cè)面投影５＂、6”、7”、8”。 （4） 判斷可見性、連線。 用曲線板依次光滑連接各點(diǎn)的側(cè)面投影,即的得截交線 的側(cè)面投影。 （5） 加深側(cè)投影面的輪廓線至3”、４”,完成截交線的側(cè)面投影。 范例：　完成下列圖形的三視圖。 　 （a)立體圖 　 　 　　 　 　　　 　 　 （b）作圖求解 圖3－3－４ 分析:圓柱面被與其軸線平行的平面所截,截交線為一對與軸平行的直線，如

21、圖３－3—４所示. 作圖： （1） 畫出圓柱的三面投影圖； （2） 按五個截平面的實(shí)際位置,畫出它們的正面投影; （3） 按投影關(guān)系，作出截平面的水平投影； （4） 由V、H兩面投影求側(cè)面投影.a、求各水平面的側(cè)面投影：兩水平面的側(cè)面 投影各積聚為一水平線段1"2”和5”6"。b、求各鉛垂面的側(cè)面投影側(cè)平面各投 影為矩形； （5） 判斷可見性; （6） 加深線型。 （2） 圓錐截交線 根據(jù)截平面與圓錐的相對位置不同,截交線有五種情況(如表3-1）： 表3-1 位置 垂直于軸線 傾斜于軸線 平行于軸線 平行于一條素線 過錐頂 形狀 圓 橢

22、圓 雙曲線和直線段 拋物線和直線段 兩相交直線 立體圖 投影圖 范例：已知被正垂面截切掉左上方一塊的圓，根據(jù)圖中已經(jīng)完成的水平投影畫出側(cè)面投影. (a）已知 (b）作圖求解 圖3—3－5 分析：正垂截平面與圓錐的軸線傾斜，且截平面與圓錐軸線的夾角大于圓錐的錐頂半角，所以截交線是一個橢圓。且截交線橢圓的正面投影重合在正垂截平面的積聚性投影直線上 即截交線的正面投影已知, 截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓,但不反映實(shí)形?？蓱?yīng)用在圓錐表面上取點(diǎn)的方法，求出橢圓上諸點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影,然后將它們依次光滑連接,如圖3—3－5所示。

23、 作圖步驟: 1. 求特殊點(diǎn)：由正面投影可知，1′、2′分別是截交線上的最底(最左）、最高（最 　右）點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ的正面投影，它們也是圓錐面最左、最右素線上的點(diǎn),也是空間 　 橢圓的長軸端點(diǎn);取1′2′的中點(diǎn),即得空間橢圓短軸兩端點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ的重合的正　 　面投影3′(4′）;5′（６′）則是截交線上在圓錐最前、最后素線上的點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ 　 的正面投影。根據(jù)圓錐面上取點(diǎn)的方法，可分別求出這六個特殊點(diǎn)的水平投影 和側(cè)面投影。 2. 求一般點(diǎn)：為了準(zhǔn)確的畫出截交線的投影，可求作一般點(diǎn)Ⅶ、Ⅷ,它們的正面 投影重合,再根據(jù)輔助緯圓法求出它們的水平投影和

24、側(cè)面投影. 3. 判別可見性并連線:圓錐的上面部分被截切掉，截平面左底右高,截交線的水 平投影和側(cè)面投影均可見，用粗實(shí)線依次光滑地連接各點(diǎn)的同面投影即可。 4. 分析圓錐的外形輪廓線:圓錐最前、最后兩根素線的上部均被截切掉了，其側(cè) 　 面投影應(yīng)畫到截切點(diǎn)5″、6″為止。圓錐的底面圓沒有被截切,其側(cè)面投影是 　 完整的，用粗實(shí)線畫出。　 范例:求鉛垂面PＨ與圓錐的截交線。 （ａ）求點(diǎn) 　 　 　 　 　（b）依次光滑連接 圖3—３－6 分析：PH面垂直于圓錐軸線，截交線為雙曲線，它的水平投影積就成一直線,而其正面投影和側(cè)面投影為雙曲線的類似

25、形.另根據(jù)圓錐的投影特性可知,截交錢(位于前半圓錐）的正面投影全部可見；截平面PＨ與最前素線的交點(diǎn)Ｄ為截交線側(cè)面投影可見性的分界點(diǎn)位于右半圓錐面上的截交線未截切前為不可見，如圖3—３-6所示。 作圖步驟: （1） 先求特殊點(diǎn),即截平面PH與底平面、圓錐的最前輪廓素線的交點(diǎn)Ａ、F、D和 　 最高點(diǎn)C，其中最高點(diǎn)C的求法是:過圓心作圓與截平面PH面相切,切點(diǎn)即 　為最高點(diǎn)C的水平投影c,據(jù)c求出c'、c＂； （2） 采用緯圓法求一般點(diǎn)B、Ｅ; （3） 最后將所求各點(diǎn)依次光滑連接起來，并判別其可見性。 （3） 平面與球體截交線 無論截平面處于何種位置，它與球

26、體的截交線總是圓。截交線的投影并不一定是圓形,投影跟截平面與投影面的相對位置有關(guān)，有可能是圓、橢圓、直線，見表3－2。 表３－2 　 圓球被幾種平面截切的投影 截平面位置 平行于投影面 垂直于投影面 一般位置 截交線形狀 圓 立體圖 投影圖 范例:圓球被正垂面所截，已知其主視圖,畫出俯視圖和左視圖。 （a）立體圖　 　 （ｂ)作圖求截交線 圖3－３—7 分析:根據(jù)截平面對投影面的相對位置可知，其截交線為圓。正垂面截切圓球，其V投影積聚為一直線，截交線的H、W面的投影是橢圓，如

27、圖３-3－７所示。 作圖步驟： 1 求出特殊點(diǎn)。由圖中可知，1、２是球面相對于V面轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn),也是 　截交線上的最高、最低點(diǎn)。它們還是截交線圓在H、W面投影的橢圓短軸?？? 　直接由V面投影1'、2',求得1、2及1＂、2”。橢圓的長軸，垂直平分1、2. 　由1、2的V面投影作垂直平分線求3’、4’。過3'、4’取水平面作為輔助平面， 　 　 求出3、4 的H、W面投影. 2 采用緯圓法求出一般點(diǎn)：取一系列的水平面作為輔助平面，求取一般點(diǎn)； 3 判可見性、連線畫出截交線的投影。加深各轉(zhuǎn)向輪廓線，得到相應(yīng)的點(diǎn)。 1.4 兩回轉(zhuǎn)體相交——相貫線 1.4

28、.1 相貫線概述 定義:立體相交又稱立體相貫，其表面的交線稱為相貫線,如圖3—4-1所示。 圖3－4－１ 相貫線 由于立體分為平面立體和曲面立體,故兩立體相交可分為三種情況: （1） 平面立體與平面立體相交，相貫線一般是封閉的空間;　 （2） 平面立體與曲面立體相交，相貫線是由若干段平面曲線或直線所圍成的空間;　 （3） 兩曲面立體相交,相貫線一般為封閉的空間曲線. 相貫線是相交兩立體表面的共有線,由兩立體表面的一系列共有點(diǎn)組成，因此求解相貫線的作圖可以歸結(jié)為找共有點(diǎn)的作圖。 本章主要討論兩回轉(zhuǎn)面立體相交。 1.4.2 利用積聚性求相貫線 兩圓柱相貫或圓柱與其他回轉(zhuǎn)體

29、相貫時,如果圓柱的軸線垂直于一投影面,則圓柱面在這個投影面上的投影有積聚性.利用這個投影,按照曲面立體表面取點(diǎn)的方法,可求出相貫線的其他兩面投影。 范例:求作軸線正交的兩圓柱表面的相貫線. 圖3—4－２ 分析:兩圓柱的軸線垂直相交且有公共的前后、左右對稱面，鉛垂的小圓柱全部穿進(jìn)大圓柱，因此，相貫線是一條前后、左右對稱的封閉的空間曲線。相貫線的水平投影與鉛垂圓柱面的水平投影圓重合，側(cè)面投影與側(cè)垂圓柱面投影圓的一段圓?。ū恍A柱輪廓素線包圍的那一段）重合.需要求作的是相貫線的正面投影，可利用圓柱表面上取點(diǎn)法，如圖3-4-2所示. 作圖步驟： 1. 求特殊點(diǎn)：先在相貫線的水平投影上，定

30、出最左、最右點(diǎn)Ⅰ、Ⅲ的水平投影1、3， 并找出其側(cè)面投影1”（3”），可知Ⅰ、Ⅲ點(diǎn)也是側(cè)垂圓柱面最上一根素線與鉛垂 圓柱面最左、最右素線的交點(diǎn)。再定出相貫線的最前、最后點(diǎn)Ⅱ、Ⅳ的水平投影２、 4及其側(cè)面投影２″、4″，Ⅱ、Ⅳ點(diǎn)也是鉛垂圓柱面最前、最后素線上的點(diǎn).由1、 ２、3、４可根據(jù)投影關(guān)系求出1′、２′、3′、４′。可以看出，點(diǎn)Ⅰ、Ⅲ和Ⅱ、Ⅳ分別是 相貫線上的最高、最底點(diǎn)； 2. 求一般點(diǎn)：在相貫線的側(cè)面投影上，取左右對稱的點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ的側(cè)面投影５″（6″）, 再根據(jù)圓柱表面上取點(diǎn)法，分別求出其水平投影5、6和正面投影５′、6′; 3. 判別可見性：按水平投影各點(diǎn)的順序，將相貫

31、線的正面投影連接成光滑的粗實(shí)線曲 線。相貫線前后對稱，其正面投影可見和不可見部分的投影重合。光滑連接相貫線。 1.4.3 利用輔助平面求相貫線 假想用一輔助平面截切相貫兩立體，則輔助平面與兩立體表面都產(chǎn)生截交線。截交線的交點(diǎn)既屬于輔助平面，又屬于兩立體表面,是三面共有點(diǎn)，即相貫線上的點(diǎn)。利用這種方法求出相貫線上若干點(diǎn)，依次光滑連接起來，便是所求的相貫線。這種方法稱為“三面共點(diǎn)輔助平面法”，簡稱輔助平面法。 用輔助平面法求相貫線時，要選擇合適的輔助平面，以便簡化作圖。選擇的原則是:輔助平面與兩曲面立體的截交線投影是簡單易畫的圖形—-由直線或圓弧構(gòu)成的圖形。 范例:求軸線正交的圓柱與圓錐

32、的相貫線。 (ａ）相貫線　 　 　　 　 　 　 　　 (ｂ）求解相貫線 圖３—4—3 分析：圓柱體完全穿進(jìn)圓錐體,其相貫線為一封閉、光滑的空間曲線。由于兩立體垂直相交,且前后對稱，圓柱的軸線垂直于側(cè)面,它的側(cè)面投影積聚為圓,所以相貫線的側(cè)面投影也積聚在此圓上。相貫線的水平投影和正面投影前后對稱，可利用輔助平面法求出。作輔助平面S，SV同時與兩立體相交,其截交線分別為水平圓和兩直線，它們的交點(diǎn)Ｖ、ＶI即為相貫線上的點(diǎn),如圖3—4-3所示。 作圖步驟： （1） 求特殊點(diǎn)：最高點(diǎn)Ⅰ、最低點(diǎn)Ⅱ，可在正面投影和側(cè)面投影上直接求出１'、2'和１”、

33、2",Ⅰ、Ⅱ的水平投影也可直接求出。在正面投影上作輔助平面P，求出P平面與 圓錐面的截交線的水平投影圓,P平面與圓柱面截交線的水平投影為兩直線，它們 的交點(diǎn)3、4即為水平投影。由3、4可求出3＇、4’; （2） 求一般點(diǎn)：作一系列的輔助平面,每個輔助平面便可求出兩個一般點(diǎn)； （3） 判別可見性并光滑連線：對某一投影面來說，只有同時位于兩個可見表面上的點(diǎn)才 是可見的。本例中水平投影３、5、1、６、4各點(diǎn)在圓柱的上半個表面上,均可見， 畫成粗實(shí)線；３、2、4各點(diǎn)在圓柱的下半個表面上，均不可見,畫成虛線,即得相 貫線的水平投影.光滑連接各共有點(diǎn)的正面投影,完成作圖。將所求各點(diǎn)的正面投

34、 影依次光滑連接即得相貫線的正面投影。 范例：求圓臺與半球相貫線的投影. （a)已知 （ｂ)求解相貫線上點(diǎn) （c）完成的投影視圖 圖3－４-4 分析:由投影圖可知，圓臺的軸線不過球心,但圓臺和球有公共的前后對稱面，圓臺從球的左上方全部穿進(jìn)球體,因此相貫線是一條前后對稱的閉合空間曲線.由于這兩個立體的三面投影均無積聚性,所以不能用表面取點(diǎn)法求作相貫線的投影，但可以用輔助平面法求得,如圖3-4-4所示。 解題步驟： （1） 求特殊點(diǎn)：從投影圖可以看出，圓臺的V面轉(zhuǎn)向線和球的V面轉(zhuǎn)向線彼此相交, 因此,交點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ(最低、最高點(diǎn)）的V面投影1′、2′可直接求出，由此求出

35、 　 　 ?。让嫱队?、2和W面投影１″、2″。最前點(diǎn)Ⅲ、和最后點(diǎn)Ⅳ在圓臺的W面轉(zhuǎn)向 　 　 線上，可通過圓臺錐頂作側(cè)平面Ｔ,由側(cè)平面T與圓臺、球的截交線的交點(diǎn)確定Ｗ　　 　 　面投影３″、4″,再求出Ｖ面投影3′、4′和H面投影3、4; （2） 求一般點(diǎn)：在特殊點(diǎn)之間的適當(dāng)位置上作一水平面P，它與圓臺和球各相交于一圓， 作出兩圓Ｈ面投影的交點(diǎn)就是相貫線上兩個一般點(diǎn)Ｖ、Ⅳ的H面投影5、６，再根 據(jù)投影規(guī)律,分別求出V面投影5′、６′和Ｗ面投影5″、6″； （3） 判斷可見性：當(dāng)兩回轉(zhuǎn)體表面都可見時,其上的交線才可見.按此原則，相貫線的 Ｖ面投影前后對稱，后面的相貫線與

36、前面的相貫線重合,只需按順序光滑連接前面 可見部分各點(diǎn)的投影；相貫線的H面投影全部可見，H面投影中，按 1—５—3—２-4-6—1順序連接,即得相貫線的H面投影；相貫線的W面投影以兩點(diǎn) ３”、4"為分界點(diǎn),分界點(diǎn)的下段可見，用粗實(shí)線依次光滑連接；分界點(diǎn)的上段不可 見,用虛線依次光滑連接，如圖3—4－4所示。 1.4.4 相貫線的特殊情況及投影趨勢 1. 相貫線的特殊情況 一般情況下，兩回轉(zhuǎn)體的相貫線是空間曲線，但在某些特殊情況下也可能是平面曲線或直線。 （1） 兩圓柱軸線平行或兩圓錐共頂點(diǎn)相貫，其相貫線為直線，如圖3—４—5所示; （a)軸線平行的兩圓柱相交 　 （

37、b)兩圓錐共頂點(diǎn)相交 圖3—4－５ （2） 同軸的回轉(zhuǎn)體相貫時,相貫線為垂直回轉(zhuǎn)軸線的圓，如圖3—4—6所示； （ａ）圓柱與球相交 　 （b）球與圓錐相交 ?。╟)圓柱與圓錐相交 圖3-４-6 （3） 軸線相交的圓柱、圓錐相貫，若他們公切于一個球面時，則其相貫線為兩條平面曲線橢圓。當(dāng)兩立體的相交軸線同時平行于某投影面時，此二橢圓曲線在該投影面上投影為直線，如圖3—4－7所示. 圖3—4-7 2. 正交圓柱相貫線的變化趨勢 兩圓柱直徑比值的改變,會引起交線的性質(zhì)、彎曲程度和走向發(fā)生變化，相貫線的變化趨勢如圖3－4-８所示。 (a)　 　 　 　

38、 　 （b） 　 　 （c) 　 　　 （d) 圖3—4-8 如圖３－4－８所示,分別為： a) 水平圓柱與直立圓柱的直徑相差較大時; b) 直立圓柱的直徑逐漸增大，相貫線彎曲增大； c) 兩圓柱的直徑相等,相貫線為橢圓，V面投影為兩條直線； d) 直立圓柱直徑大于水平圓柱，相貫線改變彎曲方向。 由此我們可以總結(jié)出：正交兩圓柱相貫線的水平投影與直立圓柱面的水平投影重合,而相貫線的正面投影在一般情況下為曲線,并總是向大圓柱軸線方向彎曲。兩圓柱直徑越接近,彎曲就越明顯；當(dāng)兩圓柱直徑相等時，曲線變?yōu)橹本€。 文中如有不足，請您見諒！ 27 / 27