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1、第五章 投影變換,重點：掌握平行投影、透視投影以及投影分類的概念。 難點：理解并推導透視投影的變換公式及變換矩陣。 課時安排：授課4學時。,人們觀察自然界的物體時，所得視覺映像同觀察點、觀察方向有關。同樣，要用計算機生成一幅三維視圖，也需要確定觀察點、觀察方向，還需要將觀察范圍以外的部分圖形裁剪掉。而且，由于圖形輸出設備通常都是二維的，還必須將三維圖形轉換到輸出設備的觀察平面上，二維圖形基元產生圖形,從三維物體模型描述到二維圖形描述的轉換過程稱為投影變換。,,一、投影的概念 投影變換分為平行投影和透視投影兩種： 1、透視投影變換：投影射線匯聚于投影中心，或者說投影中心在有限遠處的投影。,5.1
2、 投影概念分類,,,,,,（a） 透視投影變換示意圖,即從空間選定的一個投影中心和物體上每點連直線從而構成了一簇射線，射線與選定的投影平面的交點集便是物體的投影。見下圖（a）。,2、平行投影變換：平行投影可以看成投影中心在無限遠處的投影。見下圖（b）。,（b） 平行投影變換示意圖,,,,,,,,,,投影面,投影中心,,,投影線,A,B,A,B,,投影面,投影中心,,,投影線,A,B,A,B,,,,,,,,透視投影,平行投影,平行投影保持物體的有關比例不變，這是三維繪圖中產生比例圖畫的方法。物體的各個面的精確視圖可以由平行投影得到。另一方面，透視投影不保持相關比例，但能夠生成真實感視圖。對同樣大
3、小的物體，離投影面較遠的物體比離投影面較近物體的投影圖象要小，產生近大遠小的效果。,二、投影的分類,平行投影可根據投影方向與投影面的夾角分成兩類：正平行投影和斜平行投影。當投影方向與投影面的夾角為90時，得到的投影為正平行投影，否則為斜平行投影, 如下圖所示。,5.2 正平行投影,正平行投影的投影中心是在無限遠處，且投影射線與投影平面垂直。正平行投影根據投影面與坐標軸的夾角又可分成兩類：正投影(三視圖)和正軸測投影。當投影面與某一坐標軸垂直時，得到的投影為三視圖，這時投影方向與這個坐標軸的方向一致。否則，得到的投影為正軸測投影，如下圖所示。,5.2.1 正投影 正投影的投影方向與用戶坐標系的某
4、個坐標軸方向平行，即投影方向與另外兩個坐標軸組成的平面是垂直的。示意圖中給出了立方體的各種正投影。,在觀察坐標系中進行正投影很方便，因為是按Z方向投影，物體的投影圖坐標便與它的Z值無關，所以去掉Z變量便是三維物體的二維投影描述。沿Z方向正投影的變換可表示成：,其中，xo,yo,zo是投影點坐標，xo,yo,zo是物體上點的坐標。,由于在三視圖上保持了有關比例的不變性，可以精確地測量長度和角度等量，因此常用于工程制圖。下圖是一個三視圖投影的例子。,5.2.2 正軸測投影,,正軸測投影的投影方向不與坐標軸方向平行。,為了達到投影要求，需在用戶坐標系中安排恰當?shù)挠^察坐標系位置。假設觀察坐標系與用戶坐
5、標系重合。經將用戶坐標系先繞y軸旋轉角，再繞x軸旋轉角的變換，形成觀察坐標系與用戶坐標系的新的位置關系，如上圖所示。兩坐標系之間的變換矩陣為：,在觀察坐標系中的正投影是去掉它們的z分量，即可得到正軸測投影的圖形。,常用的正軸測投影有： 1、正等軸測投影 正等軸測投影：投影方向與各坐標軸夾角相等的正軸測投影，此時物體中各邊以相同比例縮小，如圖所示。,,根據正軸測投影的變換公式（見正軸測投影示意圖），在用戶坐標系中， x軸上A點1 0 0 1變換后為： 1 0 0 1H = coppinpin -pincop1 y軸上B點0 1 0 1變換后為： 0 1 0 1H = 0 cop pin 1 z軸
6、上C點0 0 1 1變換后為： 0 0 1 1H = pin -coppin copcop1,在觀察坐標系中的正投影是去掉z分量，上述三點到坐標原點的長度是 ,按正等軸測投影的要求，原用戶坐標系中x、y和z方向單位長度 的投影長度應相等：AO=BO、CO=BO 即,解上述方程組： ， ， ， ， 所以正等軸測投影變換矩陣為：,2、正二軸測投影 正二軸測投影：投影線與各坐標軸的夾角中有兩個相等，使得物體中有兩個與坐標軸平行的邊等比例縮小的正軸測投影，如圖所示。,,,設投影線與x軸及y軸的夾角相等，則AO=BO 即,另給一約束條件，設原用戶坐標系中z方向單位長度的投影長度
7、是k，即,解上述方程組： ， ， ， 。從而可以確定投影變換矩陣H。 3、正三軸測投影 正三軸測投影：投影線與各坐標軸夾角全不相等，使得物體中三個與坐標軸平行的三條邊各以不同比例縮小的正軸測投影，如圖所示。,5.3 斜平行投影,斜平行投影：是指投影射線方向不與投影平面垂直的平行投影。若投影方向用矢量A，B，C表示，則點(Xo,Yo,Zo)的投影直線可用參數(shù)寫成,以Z=0（Zo=0）的平面作為投影平面時，射線與投影面的交點滿足t=-Zo/C，所以投影點的坐標是: Xp=XoAZo/C和Yp=YoBZo/C。這些變換關系可寫成： xp yp zp 1=xo yo zo 1
8、Mob,其中,投影方向不垂直于投影平面的平行投影稱為斜平行投影，在斜平行投影中，投影平面一般取坐標平面。,,(A,B,C),（xo,yo,zo),,,（xp,yp, zp),,投影線的參數(shù)方程： xp=xo+At yp=yo+Bt zp=zo+Ct,(zp=0, t=-zo/C) xp= XoAZo/C yp=YoBZo/C,常用的斜平行投影有： 1、斜等測投影 斜等測投影：投影方向與投影平面成45的斜平行投影，它保持平行投影平面和垂直投影平面的線的投影長度不變。 2、斜二測投影 斜二測投影：與投影平面成arctg(1/2)角的斜平行投影，它使垂直投影平面的線產生長度為原來1/2的投影線。,5
9、.4 透視投影,透視投影：投影射線匯聚于投影中心，或者說投影中心在有限遠處的投影。,,透視投影變換的觀察坐標系中（見上圖所示），投影中心處于坐標系原點，投影平面與Z軸垂直并距原點距離為d。由相似三角形關系求得空間點P(x0，y0，z0)和投影平面上投影點P(xP，yP，zP)的坐標關系：,xP=x0d/z0 yP=y0d/z0 zP=d 可見隨著物距z0的增大，投影點的xP和yP將減小。在齊次坐標系中這個變換關系可寫成如下所示：,xp yp zp w=,由上式得xp yp zp w=x0 y0 z0 z0/d，可見w=z0/d，所以,當三維圖形用透視變換投影到投影面上，圖形中與投影面平行的平行
10、線投影后仍保持平行。不與投影面平行的任一組平行線投影后收斂于一點，此點稱為滅點。每一組平行線都有其不同的滅點。一般說來，三維圖形中有多少組平行線就有多少個滅點。,平行于某一坐標軸方向的平行線在投影面上形成的滅點又稱作主滅點。因為有X、Y和Z三個坐標軸，所以主滅點最多有三個。當某個坐標軸與投影面平行時，則該坐標軸方向的平行線在投影面上的投影仍保持平行，不形成滅點。投影中主滅點數(shù)目由與投影面相交的坐標軸數(shù)目來決定，并據此將透視投影分類為一點、二點或三點透視。一點透視有一個主滅點，即投影面與一個坐標軸正交，與另外兩個坐標軸平行；兩點透視有兩個主滅點，即投影面與兩個坐標軸相交，與另一個坐標軸平行；三點透視有三個主滅點，即投影面與三個坐標軸都相交。,下圖說明了一個立方體的一點透視投影和兩點透視投影的情形。,前面的公式推導假設投影中心在坐標原點及投影面與Z軸垂直，對于不符合這種假設情形的透視投影，其變換關系的推導方法類似，或首先利用幾何變換方法對投影中心和投影面進行變換使其符合這種假定。,
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