人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題六 以菱形為背景的證明與計(jì)算

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題六 以菱形為背景的證明與計(jì)算 1. 如圖，AE∥BF，AC 平分 ∠BAD，且交 BF 于點(diǎn) C，BD 平分 ∠ABC，且交 AE 于點(diǎn) D，連接 CD．求證：四邊形 ABCD 是菱形． 2. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，以點(diǎn) A 為圓心，AB 長為半徑畫弧交 AD 于點(diǎn) F；再分別以點(diǎn) B，F(xiàn) 為圓心，大于 12BF 的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn) P，連接 AP 并延長交 BC 于點(diǎn) E，連接 EF，則所得四邊形 ABEF 是菱形． 根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證四邊形 ABEF 是菱形． 3. 如圖，在平

2、行四邊形 ABCD 中，E 為 BC 邊上的一點(diǎn)，連接 AE，BD，且 AE=AB． (1) 求證：∠ABE=∠EAD； (2) 若 ∠AEB=2∠ADB，求證：四邊形 ABCD 是菱形． 4. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 為 AB 的中點(diǎn)，且 AE∥CD，CE∥AB，連接 DE 交 AC 于 F． (1) 證明：四邊形 ADCE 是菱形； (2) 試判斷 BC 與線段 EF 的關(guān)系，并說明理由． 5. 已知：如圖，在 △ABC 中，點(diǎn) D，E 分別是邊 AB，BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) F，G 是邊 AC 的三等分點(diǎn)，DF，EG 的延長線相交于

3、點(diǎn) H． (1) 求證：四邊形 FBGH 是平行四邊形． (2) 如果 AC 平分 ∠BAH，求證：四邊形 ABCH 是菱形． 6. 如圖，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于點(diǎn) D，AE 平分 ∠BAC，分別與 BC，CD 交于點(diǎn) E，F(xiàn)，EH⊥AB 于點(diǎn) H，連接 FH．求證：四邊形 CFHE 是菱形． 7. 如圖，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠DAB=60°，點(diǎn) E 是 AD 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) M 是 AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A 重合），延長 ME 交射線 CD 于點(diǎn) N，連接 MD，AN． (1) 求證：四邊形 AMDN 是平行四邊形

4、． (2) 填空： ①當(dāng) AM 的值為 時(shí)，四邊形 AMDN 是矩形． ②當(dāng) AM 的值為 時(shí)，四邊形 AMDN 是菱形． 8. 如圖，在 △ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD 的中點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 BC 的平行線交 BE 的延長線于點(diǎn) F，連接 CF． (1) 求證：AF=DC； (2) 若 AB⊥AC，試判斷四邊形 ADCF 的形狀，并證明你的結(jié)論． 9. 如圖，將等腰三角形 ABC 繞頂點(diǎn) B 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) α 度到 △A1BC1 的位置，AB 與 A1C1 相交于點(diǎn) D，AC 與 A1C1，BC1 分別交于點(diǎn) E，F(xiàn)．

5、 (1) 求證：△BCF≌△BA1D． (2) 當(dāng) ∠C=α 度時(shí)，判定四邊形 A1BCE 的形狀并說明理由． 答案 1. 【答案】 ∵AC 平分 ∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD． 又 ∵AE∥BF， ∴∠BCA=∠CAD． ∴∠BAC=∠BCA． ∴AB=BC． 同理可證 AB=AD． ∴AD=BC， 又 ∵AD∥BC， ∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形． 又 ∵AB=BC， ∴ 平行四邊形 ABCD 是菱形． 2. 【答案】由作圖過程可知，AB=AF，AE 平分 ∠BAD． ∴∠BAE=∠EAF． ∵ 四邊形 ABC

6、D 為平行四邊形， ∴BC∥AD， ∴∠AEB=∠EAF， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， ∴BE=AF， ∴ 四邊形 ABEF 為菱形． 3. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 為平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD． ∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB， ∴∠ABE=∠EAD． (2) ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC． 又 ∵∠AEB=2∠ADB，∠AEB=∠ABE， ∴∠ABE=2∠DBC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD． 又 ∵ 四

7、邊形 ABCD 為平行四邊形， ∴ 四邊形 ABCD 是菱形． 4. 【答案】 (1) ∵AE∥CD，EC∥AD， ∴ 四邊形 ADCE 是平行四邊形， ∵∠ACB=90°，BD=AD， ∴CD=AD=BD， ∴ 四邊形 ADCE 是菱形． (2) 結(jié)論：BC∥EF，BC=2EF． 理由： ∵ 四邊形 ADCE 是菱形， ∴DE⊥AC，DF=EF， ∴∠DFA=∠ACB=90°， ∴DE∥BC， ∵BD=AD， ∴CF=FA， ∴BC=2DF=2EF． 5. 【答案】 (1) 因?yàn)辄c(diǎn) F，G 是邊 AC 的三等分點(diǎn)

8、， 所以 AF=FG=GC， 又因?yàn)辄c(diǎn) D 是邊 AB 的中點(diǎn)， 所以 DH∥BG， 同理：EH∥BF， 所以四邊形 FBGH 是平行四邊形． (2) 聯(lián)結(jié) BH，交 AC 于點(diǎn) O， 因?yàn)樗倪呅?FBGH 是平行四邊形， 所以 BO=HO，F(xiàn)O=GO， 又因?yàn)?AF=FG=GC， 所以 AF+FO=GC+GO，即：AO=CO． 所以四邊形 ABCH 是平行四邊形， 所以 AH∥BC， 所以 ∠HAC=∠BCA， 因?yàn)?AC 平分 ∠BAH， 所以 ∠HAC=∠BAC， 所以 ∠BAC=∠BCA， 所以 AB=BC， 又因?yàn)樗倪呅?ABCH 是平行四邊形，

9、 所以四邊形 ABCH 是菱形． 6. 【答案】由題意知 ∠CAE+∠CEA=90°，∠EAH+∠AEH=90°， 又 ∵∠CAE=∠EAH， ∴∠CEA=∠AEH， ∵CD⊥AB，EH⊥AB， ∴CD∥EH， ∴∠CFE=∠AEH， ∴∠CFE=∠CEA， ∴CF=CE， 又 ∵ 點(diǎn) E 在 ∠CAB 的平分線上， ∴CE=EH． 在四邊形 CFHE 中，CF∥EH 且 CF=EH，CE=EH， ∴ 四邊形 CFHE 是菱形． 7. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴ND∥AM， ∴∠NDE=∠MAE，∠

10、DNB=∠AME， ∵ 點(diǎn) E 是 AD 中點(diǎn)， ∴DE=AE． 在 ΔNDE 和 ΔMAE 中， ∠NDE=∠MAE∠DNE=∠AMEDE=AE， ∴ΔNDE≌ΔMAEAAS， ∴ND=MA， ∴ 四邊形 AMDN 是平行四邊形． (2) ① 1 ② 2 【解析】 (2) ① AM=1 時(shí)，四邊形 AMDN 是矩形． 理由如下： ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴AD=AB=2， ∵ 平行四邊形 AMDN 是矩形， ∴DM⊥AB， 即 ∠DMA=90°， ∵∠DAB=60°， ∴∠ADM=30°， ∴AM=12

11、AD=1． ②當(dāng) AM=2 時(shí)，四邊形 AMDN 是菱形； 理由如下： ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴AD=AB=2， ∵ 平行四邊形 AMDN 是菱形， ∴AN=DN， ∵∠DAB=60°， ∴∠ADN=60°， ∴ΔADN 為等邊三角形， ∴AM=DN=AD=2． 8. 【答案】 (1) 因?yàn)?E 是 AD 的中點(diǎn)， 所以 AE=ED． 因?yàn)?AF∥BC， 所以 ∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE， 所以 △AFE≌△DBE． 所以 AF=DB． 因?yàn)?AD 是 BC 邊上的中線， 所以 DB=DC，AF=DC． (2

12、) 四邊形 ADCF 是菱形． 理由：由（1）知，AF=DC， 因?yàn)?AF∥CD， 所以四邊形 ADCF 是平行四邊形． 又因?yàn)?AB⊥AC， 所以 △ABC 是直角三角形． 因?yàn)?AD 是 BC 邊上的中線， 所以 AD=12BC=DC． 所以平行四邊形 ADCF 是菱形． 9. 【答案】 (1) 因?yàn)?△ABC 是等腰三角形， 所以 AB=BC，∠A=∠C， 因?yàn)?△A1BC1 由等腰三角形 ABC 繞頂點(diǎn) B 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) α 度得到， 所以 A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C, ∠A1BD=∠CBF， 在 △BCF 與 △BA1D 中， ∠A1=∠C,A1B=BC,∠A1BD=∠CBF, 所以 △BCF≌△BA1DASA． (2) 四邊形 A1BCE 是菱形．理由： 因?yàn)?∠ADE=∠A1DB，∠A=∠A1， 所以 ∠AED=∠A1BD=α， 所以 ∠DEC=180°-α， 因?yàn)?∠C=α， 所以 ∠A1=α， 所以 ∠A1BC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-α， 所以 ∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC， 所以四邊形 A1BCE 是平行四邊形， 因?yàn)?A1B=BC， 所以四邊形 A1BCE 是菱形．