全國(guó)各地2013年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 規(guī)律探索
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1、規(guī)律探索 一.選擇題 1.(2013·泰安,20,3分)觀察下列等式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187… 解答下列問(wèn)題:3+32+33+34…+32013的末位數(shù)字是( ?。? A.0 B.1 C.3 D.7 考點(diǎn):尾數(shù)特征. 分析:根據(jù)數(shù)字規(guī)律得出3+32+33+34…+32013的末位數(shù)字相當(dāng)于:3+7+9+1+…+3進(jìn)而得出末尾數(shù)字. 解答:解:∵31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187… ∴末尾數(shù),每4個(gè)一循環(huán),
2、 ∵2013÷4=503…1, ∴3+32+33+34…+32013的末位數(shù)字相當(dāng)于:3+7+9+1+…+3的末尾數(shù)為3, 點(diǎn)評(píng):此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律,根據(jù)已知得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵. 2.(2013四川綿陽(yáng),12,3分)把所有正奇數(shù)從小到大排列,并按如下規(guī)律分組:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,現(xiàn)用等式AM=(i,j)表示正奇數(shù)M是第i組第j個(gè)數(shù)(從左往右數(shù)),如A7=(2,3),則A2013=( C ) A.(45,77) B.(45,39) C.(32,46) D.(32,23) [
3、解析]第1組的第一個(gè)數(shù)為1,第2組的第一個(gè)數(shù)為3,第3組的第一個(gè)數(shù)為9,第4組的第一個(gè)數(shù)為19,第5組的第一個(gè)數(shù)為33……將每組的第一個(gè)數(shù)組成數(shù)列:1,3,9,19,33…… 分別計(jì)作a1,a2,a3,a4,a5……an, an表示第n組的第一個(gè)數(shù), a1 =1 a2 = a1+2 a3 = a2+2+4×1 a4 = a3+2+4×2 a5 = a4+2+4×3 …… an = an-1+2+4×(n-2) 將上面各等式左右分別相加得: a n =1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3 (上面各等式左右分別相加時(shí),抵消了相同部分a1 +
4、a2 + a3 + a4 + a5 + …… + a n-1),
當(dāng)n=45時(shí),a n = 3873 > 2013 ,2013不在第45組
當(dāng)n=32時(shí),a n = 1923 < 2013 ,(2013-1923)÷2+1=46, A2013=(32,46).
如果是非選擇題:則2n2-4n+3≤2013,2n2-4n-2010≤0,假如2013是某組的第一個(gè)數(shù),則2n2-4n-2010=0,解得n=1+ ,
31<<32,32 5、3. (2013湖南益陽(yáng),13,4分)下表中的數(shù)字是按一定規(guī)律填寫(xiě)的,表中a的值應(yīng)是 .
1
2
3
5
8
13
a
…
2
3
5
8
13
21
34
…
【答案】:21
【解析】通過(guò)觀察可知上一排每個(gè)數(shù)字等于其左下方的數(shù)字。
【方法指導(dǎo)】本題可以通過(guò)觀察上下排數(shù)字的聯(lián)系求出a的值,也可以根據(jù)“前兩個(gè)數(shù)字之和等于第三個(gè)數(shù)字”求出a=8+13=21。
4. (2013重慶市(A),10,4分)下列圖形都是由同樣大小的矩形按一定的規(guī)律組成,其中第(1)個(gè)圖形的面積為2cm2,第(2)個(gè)圖形的面積為8 cm2,第(3)個(gè)圖形的面積為18 c 6、m2,……,第(10)個(gè)圖形的面積為( )
A.196 cm2 B.200 cm2 C.216 cm2 D. 256 cm2
【答案】B.
【解析】觀察圖形,第(1)個(gè)圖形中有1(12)個(gè)矩形,面積為2cm2,即1×2=2cm2;第(2)個(gè)圖形中有4(22)個(gè)矩形,面積為8 cm2,即4×2=22×2=8cm2;第(3)個(gè)圖形有9(32)個(gè)矩形,面積為18 cm2,即9×2=322×2=18cm2;……,所以第(10)個(gè)圖形有100(102)個(gè)矩形,面積為:100×2=200cm2.故選B.
【方法指導(dǎo)】本題考查數(shù)形規(guī)律探究能力.圖形類規(guī)律探 7、索題,通常先把圖形型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)字型問(wèn)題,再?gòu)臄?shù)字的特點(diǎn)來(lái)尋找規(guī)律進(jìn)行解答.
5.(2013山東德州,12,3分)如圖,動(dòng)點(diǎn)P從(0,3)出發(fā),沿所示的方向運(yùn)動(dòng),每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角,當(dāng)點(diǎn)P第2013次碰到矩形的邊時(shí),點(diǎn)P 的坐標(biāo)為( )
A、(1,4) B、(5,0) C、(6,4) D、(8,3)
【答案】 D
【解析】如下圖,動(dòng)點(diǎn)P(0,3)沿所示的方向運(yùn)動(dòng),滿足反彈時(shí)反射角等于入射角,
到①時(shí),點(diǎn)P(3,0);到②時(shí),點(diǎn)P(7,4);到③時(shí),
點(diǎn)P(8,3);到④時(shí),點(diǎn)P(5,0);到⑤時(shí),點(diǎn)P(1,4);到⑥時(shí),點(diǎn)P( 8、3,0),此時(shí)回到出發(fā)點(diǎn),繼續(xù).......,出現(xiàn)每5次一循環(huán)碰到矩形的邊.因?yàn)?013=402×5+3(2013÷5=402 … 3).所以點(diǎn)P第2013次碰到矩形的邊時(shí),點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(8,3).故選D.
【方法指導(dǎo)】本題考查了圖形變換(軸對(duì)稱)與平面直角坐標(biāo)系規(guī)律探索.以平面直角坐標(biāo)系為背景,融合軸對(duì)稱應(yīng)用的點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律的規(guī)律探索題,解題關(guān)鍵從操作中前面幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)位置變化,猜想、歸納出一般變化規(guī)律.
6.(2013山東日照,11,4分)如圖,下列各圖形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律,圖形中M與m、n的關(guān)系是
A. M=mn B. M=n(m+1) 9、 C.M=mn+1 D.M=m(n+1)
【答案】D
【解析】由前面向個(gè)題的規(guī)律可得M=m(n+1)。
【方法指導(dǎo)】本題是考查找規(guī)律的問(wèn)題,這類問(wèn)題要求認(rèn)真分析所給的信息,從而找到一個(gè)能代表這個(gè)規(guī)律的式子來(lái)代替。
7.(2013湖南永州,8,3分)我們知道,一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1,若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)“”,使其滿足(即方程有一個(gè)根為),并且進(jìn)一步規(guī)定: 一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算,且原有的運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立,于是有,從而對(duì)任意正整數(shù)n,我們可得到同理可得那么,的值為
A.0 B.1 C. 10、-1 D.
【答案】D.
【解析】由于=,而,
=,所以本題選D。
【方法指導(dǎo)】對(duì)于數(shù)字規(guī)律題,有如下的步驟:
1.計(jì)算前幾項(xiàng),一般算出四五項(xiàng);
2.找出幾項(xiàng)的規(guī)律,這個(gè)規(guī)律或是循環(huán),或是成一定的數(shù)列規(guī)律如等差,等比等。
3.用代數(shù)式表示出規(guī)律或是得出循環(huán)節(jié)(即幾個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán));
4.驗(yàn)證你得出的結(jié)論。
8.(2013重慶,11,4分)下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成,其中第①個(gè)圖形有1顆棋子,第②個(gè)圖形一共有6顆棋子,第③個(gè)圖形一共有16顆棋子,…,則第⑥個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為( )
圖①
圖②
圖③
···
(第11題圖)
11、A.51 B.70 C.76 D.81
【答案】C
【解析】第①個(gè)圖形有1個(gè)棋子,第②個(gè)圖形有1+5個(gè)棋子,第③個(gè)圖形有1+5+10個(gè)棋子,由此可以推知:第④個(gè)圖形有1+5+10+15個(gè)棋子,第⑤個(gè)圖形有1+5+10+15+20個(gè)棋子,第⑥個(gè)圖形有1+5+10+15+20+25個(gè)棋子.故選C.
【方法指導(dǎo)】本題是一道規(guī)律探索題,考查觀察分析圖形并探索歸納規(guī)律的能力.解決此類問(wèn)題應(yīng)先觀察圖形的變化趨勢(shì),從第一個(gè)圖形開(kāi)始進(jìn)行分析,是逐漸增加還是減少,相鄰兩個(gè)圖形的變化量與位置序號(hào)有怎樣的關(guān)系;如果所求圖形的位置序號(hào)較大時(shí),需要運(yùn) 12、用從特殊到一般的探索方式,分析歸納找出增加或減少的變化規(guī)律,并用含有n的代數(shù)式表示出來(lái),最后用代入法求出特殊情況下的數(shù)值.
【易錯(cuò)警示】用局部的一兩個(gè)圖形之間的規(guī)律代替一般規(guī)律,這是常見(jiàn)錯(cuò)誤;忽視第一個(gè)圖形的規(guī)律也是常見(jiàn)錯(cuò)誤之一.
二.填空題
1.(2013江西,11,3分)觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù),若按其規(guī)律再畫(huà)下去,可以得到第n個(gè)圖形中所有的個(gè)數(shù)為 (用含n的代數(shù)式表示).
【答案】(n+1)2
【解析】找出點(diǎn)數(shù)的變化規(guī)律,先用具體的數(shù)字等式表示,再用含字母的式子表示.
【方法指導(dǎo)】由圖形的變化轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子的變化,加數(shù)為連續(xù)奇數(shù),結(jié)果為加數(shù)個(gè)數(shù)的平 13、方.
2.(2013蘭州,19,4分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(﹣3,0)、B(0,4),對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到△1、△2、△3、△4…,則△2013的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
考點(diǎn):規(guī)律型:點(diǎn)的坐標(biāo).
專題:規(guī)律型.
分析:根據(jù)勾股定理列式求出AB的長(zhǎng),再根據(jù)第四個(gè)三角形與第一個(gè)三角形的位置相同可知每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán),然后求出一個(gè)循環(huán)組旋轉(zhuǎn)前進(jìn)的長(zhǎng)度,再用2013除以3,根據(jù)商為671可知第2013個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)為循環(huán)組的最后一個(gè)三角形的頂點(diǎn),求出即可.
解答:解:∵點(diǎn)A(﹣3,0)、B(0,4),
∴AB 14、==5,
由圖可知,每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán),一個(gè)循環(huán)組前進(jìn)的長(zhǎng)度為:4+5+3=12,
∵2013÷3=671,
∴△2013的直角頂點(diǎn)是第671個(gè)循環(huán)組的最后一個(gè)三角形的直角頂點(diǎn),
∵671×12=8052,
∴△2013的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(8052,0).
故答案為:(8052,0).
點(diǎn)評(píng):本題是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查了,難度不大,仔細(xì)觀察圖形,得到每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵,也是求解的難點(diǎn).
3.(2013廣東珠海,10,4分)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,順次連接正方形ABCD四邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)正方形A1B1C1D1,由順次連接正方 15、形A1B1C1D1四邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形A2B2C2D2…,以此類推,則第六個(gè)正方形A6B6C6D6周長(zhǎng)是 ?。?
考點(diǎn):
中點(diǎn)四邊形.
專題:
規(guī)律型.
分析:
根據(jù)題意,利用中位線定理可證明順次連接正方形ABCD四邊中點(diǎn)得正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半,根據(jù)面積關(guān)系可得周長(zhǎng)關(guān)系,以此類推可得正方形A6B6C6D6 的周長(zhǎng).
解答:
解:順次連接正方形ABCD四邊的中點(diǎn)得正方形A1B1C1D1,則得正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半,即,則周長(zhǎng)是原來(lái)的;
順次連接正方形A1B1C1D1中點(diǎn)得正方形A2B2C2D2,則正方 16、形A2B2C2D2的面積為正方形A1B1C1D1面積的一半,即,則周長(zhǎng)是原來(lái)的;
順次連接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3,則正方形A3B3C3D3的面積為正方形A2B2C2D2面積的一半,即,則周長(zhǎng)是原來(lái)的;
順次連接正方形A3B3C3D3中點(diǎn)得正方形A4B4C4D4,則正方形A4B4C4D4的面積為正方形A3B3C3D3面積的一半,則周長(zhǎng)是原來(lái)的;
…
以此類推:第六個(gè)正方形A6B6C6D6周長(zhǎng)是原來(lái)的,
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,
∴周長(zhǎng)為4,
∴第六個(gè)正方形A6B6C6D6周長(zhǎng)是.
故答案為:.
點(diǎn)評(píng):
本題考查了利用了三角形的中位線的性質(zhì),相似圖形 17、的面積比等于相似比的平方的性質(zhì).進(jìn)而得到周長(zhǎng)關(guān)系.
4.(2013貴州安順,18,4分)直線上有2013個(gè)點(diǎn),我們進(jìn)行如下操作:在每相鄰兩點(diǎn)間插入1個(gè)點(diǎn),經(jīng)過(guò)3次這樣的操作后,直線上共有 個(gè)點(diǎn).
考點(diǎn):規(guī)律型:圖形的變化類.
分析:根據(jù)題意分析,找出規(guī)律解題即可.
解答:解:第一次:2013+(2013﹣1)=2×2013﹣1,
第二次:2×2013﹣1+2×2013﹣2=4×2013﹣3,
第三次:4×2013﹣3+4×2013﹣4=8×2013﹣7.
∴經(jīng)過(guò)3次這樣的操作后,直線上共有8×2013﹣7=16097個(gè)點(diǎn).
故答案為:16097.
點(diǎn) 18、評(píng):此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律,根據(jù)已知得出點(diǎn)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.
5.(2013湖北孝感,17,3分)如圖,古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù).例如:稱圖中的數(shù)1,5,12,22…為五邊形數(shù),則第6個(gè)五邊形數(shù)是 51 .
考點(diǎn):
規(guī)律型:圖形的變化類.
專題:
規(guī)律型.
分析:
計(jì)算不難發(fā)現(xiàn),相鄰兩個(gè)圖形的小石子數(shù)的差值依次增加3,根據(jù)此規(guī)律依次進(jìn)行計(jì)算即可得解.
解答:
解:∵5﹣1=4,
12﹣5=7,
22﹣12=10,
∴相鄰兩個(gè)圖形的小石子數(shù)的差值依次增加3,
∴第4個(gè)五邊形數(shù)是22+13=35,
第5個(gè)五邊形數(shù)是35+16=51 19、.
故答案為:51.
點(diǎn)評(píng):
本題是對(duì)圖形變化規(guī)律的考查,仔細(xì)觀察圖形求出相鄰兩個(gè)圖形的小石子數(shù)的差值依次增加3是解題的關(guān)鍵.
6 .(2013湖南婁底,18,4分)如圖,是用火柴棒拼成的圖形,則第n個(gè)圖形需 2n+1 根火柴棒.
考點(diǎn):
規(guī)律型:圖形的變化類.
分析:
按照?qǐng)D中火柴的個(gè)數(shù)填表即可當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)為:1、2、3、4時(shí),火柴棒的個(gè)數(shù)分別為:3、5、7、9,由此可以看出當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)為n時(shí),三角形個(gè)數(shù)增加n﹣1個(gè),那么此時(shí)火柴棒的個(gè)數(shù)應(yīng)該為:3+2(n﹣1)進(jìn)而得出答案.
解答:
解:根據(jù)圖形可得出:
當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)為1時(shí),火柴棒的根數(shù)為3;
當(dāng)三角形 20、的個(gè)數(shù)為2時(shí),火柴棒的根數(shù)為5;
當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)為3時(shí),火柴棒的根數(shù)為7;
當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)為4時(shí),火柴棒的根數(shù)為9;
…
由此可以看出:當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)為n時(shí),火柴棒的根數(shù)為3+2(n﹣1)=2n+1.
故答案為:2n+1.
點(diǎn)評(píng):
此題主要考查了圖形變化類,本題解題關(guān)鍵根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)果總結(jié)規(guī)律是得到規(guī)律:三角形的個(gè)數(shù)每增加一個(gè),火柴棒的個(gè)數(shù)增加2根,然后由此規(guī)律解答.
7.(2013貴州省黔東南州,16,4分)觀察規(guī)律:1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;…,則1+3+5+…+2013的值是 1014049?。?
考點(diǎn):
規(guī)律型:數(shù)字的變化 21、類.
分析:
根據(jù)已知數(shù)字變化規(guī)律,得出連續(xù)奇數(shù)之和為數(shù)字個(gè)數(shù)的平方,進(jìn)而得出答案.
解答:
解:∵1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;…,
∴1+3+5+…+2013=()2=10072=1014049.
故答案為:1014049.
點(diǎn)評(píng):
此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律,根據(jù)已知得出數(shù)字的變與不變是解題關(guān)鍵.
8.(2013河北省,20,3分)如圖12,一段拋物線:y=-x(x-3)(0≤x≤3),記為C1,它與x軸交于點(diǎn)O,A1;
將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2,交x 軸于點(diǎn)A2;
將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x 軸于點(diǎn)A3; 22、
……
如此進(jìn)行下去,直至得C13.若P(37,m)
在第13段拋物線C13上,則m =_________.
答案:2
解析:C1:y=-x(x-3)(0≤x≤3)
C2:y=(x-3)(x-6)(3≤x≤6)
C3:y=-(x-6)(x-9)(6≤x≤9)
C4:y=(x-9)(x-12)(9≤x≤12)
┉
C13:y=-(x-36)(x-39)(36≤x≤39),當(dāng)x=37時(shí),y=2,所以,m=2。
9.(2013貴州安順,18,4分)直線上有2013個(gè)點(diǎn),我們進(jìn)行如下操作:在每相鄰兩點(diǎn)間插入1個(gè)點(diǎn),經(jīng)過(guò)3次這樣的操作后,直線上共有 個(gè)點(diǎn).
【答案 23、】:16097.
【解析】第一次:2013+(2013﹣1)=2×2013﹣1,
第二次:2×2013﹣1+2×2013﹣2=4×2013﹣3,
第三次:4×2013﹣3+4×2013﹣4=8×2013﹣7.
∴經(jīng)過(guò)3次這樣的操作后,直線上共有8×2013﹣7=16097個(gè)點(diǎn).
【方法指導(dǎo)】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律,根據(jù)已知得出點(diǎn)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.
10.(2013山東濱州,18,4分)觀察下列各式的計(jì)算過(guò)程:
5×5=0×1×100+25,
15×15=1×2×100+25,
25×25=2×3×100+25,
35×35=3×4×100+25,
…… …… 24、
請(qǐng)猜測(cè),第n個(gè)算式(n為正整數(shù))應(yīng)表示為_(kāi)___________________________.
【答案】:.
【解析】根據(jù)數(shù)字變化規(guī)律得出個(gè)位是5的數(shù)字?jǐn)?shù)字乘積等于十位數(shù)乘以十位數(shù)字加1再乘以100再加25,進(jìn)而得出答案.
【方法指導(dǎo)】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律,根據(jù)已知數(shù)字得出數(shù)字之間的變與不變是解題關(guān)鍵.
11.(2013浙江湖州,15,4分)將連續(xù)的正整數(shù)按以下規(guī)律排列,則位于第7行、第7列的數(shù)是__▲__.
【答案】85
【解析】第一行的第一列與第二列差個(gè)2,第二列與第三列差個(gè)3,第三列與第四列差個(gè)4,…第六列與第七列差個(gè)7,第二行的第一列與第二列差個(gè)3,第二列 25、與第三列差個(gè)4,第三列與第四列差個(gè)5,…第五列與第六列差個(gè)7,第三行的第一列與第二列差個(gè)4,第二列與第三列差個(gè)5,第三列與第四列差個(gè)6,第四列與第五列差個(gè)7,…第七行的第一列與第二列差個(gè)8,是30,第二列與第三列差個(gè)9,是39,第三列與第四列差個(gè)10,是49,第四列與第五列差個(gè)11,是60,第五列與第六列差個(gè)12,是72,第六列與第七列差個(gè)13,是85;故答案為:85.
【方法指導(dǎo)】此題考查了數(shù)字的變化猜想歸納,這是一道找規(guī)律的題目,要求學(xué)生通過(guò)觀察,分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題,解決本題的關(guān)鍵是得到每行中前一列與后一列的關(guān)系.
12.(2013江西南昌,14,3分) 26、觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù),若按其規(guī)律再畫(huà)下去,可以得到第n個(gè)圖形中所有的個(gè)數(shù)為 (用含n的代數(shù)式表示).
【答案】(n+1)2
【解析】找出點(diǎn)數(shù)的變化規(guī)律,先用具體的數(shù)字等式表示,再用含字母的式子表示.
【方法指導(dǎo)】由圖形的變化轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子的變化,加數(shù)為連續(xù)奇數(shù),結(jié)果為加數(shù)個(gè)數(shù)的平方.
13、(2013深圳,16,3分)如下圖,每一幅圖中均含有若干個(gè)正方形,第①幅圖中含有1個(gè)正方形;第②幅圖中含有5個(gè)正方形;……按這樣的規(guī)律下去,則第(6)幅圖中含有
個(gè)正方形;
①
②
③
【答案】91
【解析】第①幅圖中含有1個(gè)正方形,第②幅圖中含 27、有5個(gè)正方形;第③幅圖中含有14個(gè)正方形……,;;……,則第⑥幅圖中含有:
個(gè)正方形
【方法指導(dǎo)】首先,分類討論正方形的類型及個(gè)數(shù),做到不重不漏,是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的關(guān)鍵。其次,探究數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系及規(guī)律,要將數(shù)據(jù)作恰當(dāng)?shù)姆纸狻1绢}還可以借二次函數(shù)模型來(lái)解決。
14.(2013四川宜賓,14,3分)將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放:第1個(gè)圖形有6個(gè)小圓, 第2個(gè)圖形有10個(gè)小圓, 第3個(gè)圖形有16個(gè)小圓, 第4個(gè)圖形有24個(gè)小圓, ……,依次規(guī)律,第6個(gè)圖形有 個(gè)小圓.
【答案】46 .
【解析】觀察上圖可發(fā)現(xiàn)所有圖形中外側(cè)都有四個(gè)小圓,這是不變的而中間小圓 28、的個(gè)數(shù)第一個(gè)圖形可表示為12,第二個(gè)圖形可表示為23,第三個(gè)圖形可表示為34,第四個(gè)圖形可表示為45,所有第n個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)可表示為4+n(n+1)故第6個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為46.
【方法指導(dǎo)】本題考察了根據(jù)圖形尋找規(guī)律的知識(shí),解找規(guī)律的題目時(shí)首先尋找各部分的共同點(diǎn)然后找各部分的不同點(diǎn),若題目給出的條件沒(méi)有找到規(guī)律可仿照題目條件繼續(xù)往下寫(xiě)幾個(gè),一般3-5個(gè)式子或圖形即可找到規(guī)律.
15. (2013四川雅安,13,3分)已知一組數(shù)2,4,8,16,32,…,按此規(guī)律,則第n個(gè)數(shù)是 ?。?
【答案】2n
【解析】先觀察所給的數(shù),得出第幾個(gè)數(shù)正好是2的幾次方,從而得出第n個(gè)數(shù)是2的 29、n次方.
【方法指導(dǎo)】此題考查了數(shù)字的變化類,通過(guò)觀察,分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是確定第幾個(gè)數(shù)就是2的幾次方.
16. (2013福建福州,22,14分)我們知道,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線的解析式可以是y=ax2+bx(a≠0)
(1)對(duì)于這樣的拋物線:
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)時(shí),=__________;
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m),m≠0時(shí),與m之間的關(guān)系式是__________;
(2)繼續(xù)探究,如果b≠0,且過(guò)原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線y=kx(k≠0)上,請(qǐng)用含的代數(shù)式表示b;
(3)現(xiàn)有一組過(guò)原點(diǎn)的拋物線,頂點(diǎn)A1,A2,…,An在直線y= 30、x上,橫坐標(biāo)依次為1,2,…,n(為正整數(shù),且n≤12),分別過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)作軸的垂線,垂足記為B1,B2,…,Bn,以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn,若這組拋物線中有一條經(jīng)過(guò)Dn,求所有滿足條件的正方形邊長(zhǎng).
【思路分析】(1)利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(,)得出方程組求解即可;
(2)將該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(,)代入直線方程y=kx(k≠0),即可求得用含k的代數(shù)式表示b;
(3)根據(jù)題意可設(shè)An(n,n),點(diǎn)Dn所在的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t).由(1)(2)可得,點(diǎn)Dn所在的拋物線解析式為y=-x2+2x.所以由正方形的性質(zhì)推知點(diǎn)Dn的坐標(biāo)是(2n,n),則把點(diǎn)Dn的坐標(biāo)代入拋物線 31、解析式即可求得4n=3t.然后由n、t的取值范圍來(lái)求點(diǎn)An的坐標(biāo),即該正方形的邊長(zhǎng).
【答案】(1)-1;a=-(或am+1=0);
(2)解:∵a≠0
∴y=ax2+bx=a(x+)2-
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-,-)
∵頂點(diǎn)在直線y=kx上
∴k(-)=-
∵b≠0
∴b=2k
(3)解:∵頂點(diǎn)An在直線y=x上
∴可設(shè)An的坐標(biāo)為(n,n),點(diǎn)Dn所在的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t)
由(1)(2)可得,點(diǎn)Dn所在的拋物線解析式為y=-x2+2x
∵四邊形AnBnCnDn是正方形
∴點(diǎn)Dn的坐標(biāo)為(2n,n)
∴-(2n)2+2×2n=n
∴4n=3t
∵t、n是正整 32、數(shù),且t≤12,n≤12
∴n=3,6或9
∴滿足條件的正方形邊長(zhǎng)為3,6或9[中國(guó)教*育^@出版網(wǎng)]
【方法指導(dǎo)】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式以及函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與其解析式的關(guān)系,另外還涉及到正方形的性質(zhì).求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可以運(yùn)用公式也可運(yùn)用配方法,函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)適合其函數(shù)解析式,解答第(3)題時(shí),要注意n的取值范圍吆!
17.(2013廣東湛江,16,4分)如圖,所有正三角形的一邊平行于x軸,一頂點(diǎn)在y軸上,從內(nèi)到外,它們的邊長(zhǎng)依次為2,4,6,8,…,頂點(diǎn)依次用、、、、…表示,其中與x軸、底邊與、與、…均相距一個(gè)單位,則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 ,的坐 33、標(biāo)是 .
第16題圖
【答案】(0,),(-8,-8).
【解析】由于,而的坐標(biāo)為(-1,-1),
的坐標(biāo)為(-2,-2)
的坐標(biāo)為(-3,-3)
……
的坐標(biāo)為(-8,-8)
【方法指導(dǎo)】解決數(shù)字規(guī)律或圖形規(guī)律突破點(diǎn)之一,用表格上下把數(shù)的序號(hào)及圖形的序號(hào)表示出來(lái),再在后面寫(xiě)出它的結(jié)果,這樣容易看出其中的規(guī)律;
三.解答題
1. (2013江蘇南京,27,10分)對(duì)于兩個(gè)相似三角形,如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相同,那么稱這兩個(gè)
三角形互為順相似;如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相反,那么稱這兩個(gè)三角形互為
逆相似。例如,如圖?,△AB 34、C~△A’B’C’且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相同,
因此△ABC 與△A’B’C’互為順相似;如圖?,△ABC~△A’B’C’,且沿周界ABCA與
A’B’C’A’環(huán)繞的方向相反,因此△ABC 與△A’B’C’互為逆相似。
k
A
B
C
j
A
B
C
A’
B’
C’
A’
B’
C’
(1) 根據(jù)圖I、圖II和圖III滿足的條件,可得下列三對(duì)相似三角形:? △ADE與△ABC;
? △GHO與△KFO; ?△NQP與△NMQ。其中,互為順相似的是 ;互為逆相似的是 。( 35、填寫(xiě)所有符合要求的序號(hào))
(2) 如圖?,在銳角△ABC中,DA 36、,分別使DCPQ1=DA,DBPQ2=DA,此時(shí)△PQ1C、△PBQ2都與△ABC互為逆相似。
第二種情況:如圖k,點(diǎn)P在AC(不含點(diǎn)A、C)上,過(guò)點(diǎn)B作DCBM=DA,BM交AC
于點(diǎn)M。
當(dāng)點(diǎn)P在AM(不含點(diǎn)M)上時(shí),過(guò)點(diǎn)P1只能畫(huà)出1條截線P1Q,使DAP1Q=DABC,此
時(shí)△AP1Q與△ABC互為逆相似;
當(dāng)點(diǎn)P在CM上時(shí),過(guò)點(diǎn)P2只能畫(huà)出2條截線P2Q1、P2Q2,分別使DAP2Q1=DABC,
DCP2Q2=DABC,此時(shí)△AP2Q1、△Q2P2C都與△ABC互為逆相似。
第三種 37、情況:如圖l,點(diǎn)P在AB(不含點(diǎn)A、B)上,過(guò)點(diǎn)C作DBCD=DA,DACE=DB,
CD、CE分別交AC于點(diǎn)D、E。
當(dāng)點(diǎn)P在AD(不含點(diǎn)D)上時(shí),過(guò)點(diǎn)P只能畫(huà)出1條截線P1Q,使DAP1Q=DABC,此時(shí)
△AQP1與△ABC互為逆相似;
當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí),過(guò)點(diǎn)P2只能畫(huà)出2條截線P2Q1、P2Q2,分別使DAP2Q1=DACB,
DBP2Q2=DBCA,此時(shí)△AQ1P2、△Q2BP2都與△ABC互為逆相似;
當(dāng)點(diǎn)P在BE(不含點(diǎn)E)上時(shí),過(guò)點(diǎn)P3只能畫(huà)出1條截線P3Q’,使DBP3Q’=DBCA,
38、 此時(shí)△Q’BP3與△ABC互為逆相似。 (10分)
A
B
C
Q1
P
j
Q2
A
B
C
Q1
M
Q2
Q
P1
P2
A
B
C
Q1
Q’
Q
P1
P2
D’
E
Q2
P3
k
l
17.(2013?東營(yíng),17,4分)如圖,已知直線l:y=x,過(guò)點(diǎn)A(0,1)作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A1;過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B1,過(guò)點(diǎn)B1作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A2;……按此作法繼續(xù)下去,則點(diǎn)A2013的坐標(biāo)為 .
答案: ( 39、注:以上兩答案任選一個(gè)都對(duì))
解析:因?yàn)橹本€ 與x軸的正方向的夾角為30°,所以,在中,因?yàn)镺A=1,所以O(shè)B=2,中,所以=4,即點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4),同理=8,所在中,=16,即點(diǎn)的坐標(biāo)為
依次類推,點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
17.(2013·聊城,17,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā),按向上,向右,向下,向右的方向不斷地移動(dòng),每移動(dòng)一個(gè)單位,得到點(diǎn)A1
(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…那么點(diǎn)A4n+1(n為自然數(shù))的坐標(biāo)為 (用n表示)
考點(diǎn):規(guī)律型:點(diǎn)的坐標(biāo).
專題:規(guī)律型.
分析:根據(jù)圖形分別 40、求出n=1、2、3時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A4n+1的坐標(biāo),然后根據(jù)變化規(guī)律寫(xiě)出即可.
解答:解:由圖可知,n=1時(shí),4×1+1=5,點(diǎn)A5(2,1),
n=2時(shí),4×2+1=9,點(diǎn)A9(4,1),
n=3時(shí),4×3+1=13,點(diǎn)A13(6,1),
所以,點(diǎn)A4n+1(2n,1).
故答案為:(2n,1).
點(diǎn)評(píng):本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律,仔細(xì)觀察圖形,分別求出n=1、2、3時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A4n+1的對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
17.(2013·濰坊,17,3分)當(dāng)白色小正方形個(gè)數(shù)等于1,2,3…時(shí),由白色小正方形和和黑色小正方形組成的圖形分別如圖所示.則第個(gè)圖形中白色小正方形和黑色小正方 41、形的個(gè)數(shù)總和等于_____________.(用表示,是正整數(shù))
答案:n2+4n
考點(diǎn):本題是一道規(guī)律探索題,考查了學(xué)生分析探索規(guī)律的能力.
點(diǎn)評(píng):解決此類問(wèn)題是應(yīng)先觀察圖案的變化趨勢(shì),然后從第一個(gè)圖形進(jìn)行分析,運(yùn)用從特殊到一般的探索方式,分析歸納找出黑白正方形個(gè)數(shù)增加的變化規(guī)律,最后含有的代數(shù)式進(jìn)行表示.
1. (2013?衢州4分)如圖,在菱形ABCD中,邊長(zhǎng)為10,∠A=60°.順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點(diǎn),可得四邊形A1B1C1D1;順次連結(jié)四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),可得四邊形A2B2C2D2;順次連結(jié)四邊
形A2B2C2D2各邊中點(diǎn),可得四邊形A3B3C3D3; 42、按此規(guī)律繼續(xù)下去….則四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)是 20??;四邊形A2013B2013C2013D2013的周長(zhǎng)是 ?。?
【思路分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理求出四邊形各邊長(zhǎng)得出規(guī)律求出即可
【解析】∵菱形ABCD中,邊長(zhǎng)為10,∠A=60°,順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點(diǎn),
∴△AA1D1是等邊三角形,四邊形A2B2C2D2是菱形,
∴A1D1=5,C1D1=AC=5,A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5,
∴四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)是:5×4=20,
同理可得出:A3D3=5×,C3D3=AC=×5,
A5D5=5×()2,C5D5=AC 43、=()2×5,
…
∴四邊形A2013B2013C2013D2013的周長(zhǎng)是:=.
故答案為:20,.
【方法指導(dǎo)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)等知識(shí),根據(jù)已知得出邊長(zhǎng)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.
1.(2013山西,15,3分)一組按規(guī)律排列的式子:a2,,,,….則第n個(gè)式子是________
【答案】(n為正整數(shù))
【解析】已知式子可寫(xiě)成:,,,,分母為奇數(shù),可寫(xiě)成2n-1,分子中字母a的指數(shù)為偶數(shù)2n。
2.(2013四川巴中,20,3分)觀察下面的單項(xiàng)式:a,﹣2a2,4a3,﹣8a4,…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,第8個(gè)式子是 ﹣128a8?。?
44、考點(diǎn):
規(guī)律型:數(shù)字的變化類.
專題:
規(guī)律型.
分析:
根據(jù)單項(xiàng)式可知n為雙數(shù)時(shí)a的前面要加上負(fù)號(hào),而a的系數(shù)為2(n﹣1),a的指數(shù)為n.
解答:
解:第八項(xiàng)為﹣27a8=﹣128a8.
點(diǎn)評(píng):
本題是一道找規(guī)律的題目,這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化,是按照什么規(guī)律變化的.
3.(2013四川內(nèi)江,24,6分)如圖,已知直線l:y=x,過(guò)點(diǎn)M(2,0)作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)M1;過(guò)點(diǎn)M1作x軸的垂線交直線l于N1,過(guò)點(diǎn)N1作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)M2,…;按此作法繼續(xù)下去,則點(diǎn)M10的坐標(biāo)為 ( 45、884736,0)?。?
考點(diǎn):
一次函數(shù)綜合題.
分析:
本題需先求出OA1和OA2的長(zhǎng),再根據(jù)題意得出OAn=4n,求出OA4的長(zhǎng)等于44,即可求出A4的坐標(biāo).
解答:
解:∵直線l的解析式是y=x,
∴∠NOM=60°.
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,0),NM∥x軸,點(diǎn)N在直線y=x上,
∴NM=2,
∴ON=2OM=4.
又∵NM1⊥l,即∠ONM1=90°
∴OM1=2ON=41OM=8.
同理,OM2=4OM1=42OM,
OM3=4OM2=4×42OM=43OM,
…
OM10=410OM=884736.
∴點(diǎn)M10的坐標(biāo)是(884736,0).
46、
故答案是:(884736,0).
點(diǎn)評(píng):
本題主要考查了如何根據(jù)一次函數(shù)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)求線段的長(zhǎng)度,以及如何根據(jù)線段的長(zhǎng)度求出點(diǎn)的坐標(biāo),解題時(shí)要注意相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用.
4.(2013四川遂寧,15,4分)為慶祝“六?一”兒童節(jié),某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚(yú)”比賽.如圖所示:按照上面的規(guī)律,擺第(n)圖,需用火柴棒的根數(shù)為 6n+2 .
考點(diǎn):
規(guī)律型:圖形的變化類.
專題:
規(guī)律型.
分析:
觀察不難發(fā)現(xiàn),后一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多6根火柴棒,然后根據(jù)此規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)圖形的火柴棒的根數(shù)即可.
解答:
解:第1個(gè)圖形有8根火柴棒,
第2個(gè)圖形有14根火 47、柴棒,
第3個(gè)圖形有20根火柴棒,
…,
第n個(gè)圖形有6n+2根火柴棒.
故答案為:6n+2.
點(diǎn)評(píng):
本題是對(duì)圖形變化規(guī)律的考查,查出前三個(gè)圖形的火柴棒的根數(shù),并觀察出后一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多6根火柴棒是解題的關(guān)鍵.
三、解答題:
1 (2013?紹興8分)如圖,矩形ABCD中,AB=6,第1次平移將矩形ABCD沿AB的方向向右平移5個(gè)單位,得到矩形A1B1C1D1,第2次平移將矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個(gè)單位,得到矩形A2B2C2D2…,第n次平移將矩形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5個(gè)單位,得到矩形AnBnCnDn 48、(n>2).
(1)求AB1和AB2的長(zhǎng).
(2)若ABn的長(zhǎng)為56,求n.
【思路分析】
(1)根據(jù)平移的性質(zhì)得出AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1,進(jìn)而求出AB1和AB2的長(zhǎng);
(2)根據(jù)(1)中所求得出數(shù)字變化規(guī)律,進(jìn)而得出ABn=(n+1)×5+1求出n即可.
【解析】1)∵AB=6,第1次平移將矩形ABCD沿AB的方向向右平移5個(gè)單位,得到矩形A1B1C1D1,
第2次平移將矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個(gè)單位,得到矩形A2B2C2D2…,
∴AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1,
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11,
∴AB2的長(zhǎng)為:5+5+6=16;
(2)∵AB1=2×5+1=11,AB2=3×5+1=16,
∴ABn=(n+1)×5+1=56,
解得:n=10.
【方法指導(dǎo)】此題主要考查了平移的性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用,根據(jù)平移的性質(zhì)得出AA1=5,A1A2=5是解題關(guān)鍵.
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