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9.1 反比例函數(shù)
一、設計思路
本節(jié)課的我們從學生熟悉的事例入手，創(chuàng)設問題情境，讓學生在經歷分析問題中各種量的關系的過程中，認識生活中的反比例關系，并根據(jù)這一認識繼續(xù)創(chuàng)設情境，運用類比的思想方法與一次函數(shù)、正比例函數(shù)比較，得出反比例函數(shù)、比例系數(shù)的概念，通過這一點讓學生明白生活中處處有數(shù)學，引發(fā)學生學習反比例函數(shù)的熱情，使學生在主動探索中進一步體會反比例函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一種有效的數(shù)學模型；結合情境1中的問題，認識反比例是怎么回事，理解反比例的意義，讓學生認識當兩個量的積是一定值時，這兩個量成反比例關系，為下面學習反比例函數(shù)打好基礎
2、，讓學生在列函數(shù)關系式的探索過程中掌握知識，形成技能，并在數(shù)學活動中給學生留下充分的時間思考練習及討論，識別反比例函數(shù)及比例系數(shù)，初步感知用“待定系數(shù)法”確定比例系數(shù)，識別y＝kx－1(k為常數(shù)，k≠0)和xy＝k(k≠0)的形式，進行簡單運用，以此提高學生解決問題的應變能力、分析判斷能力和創(chuàng)新意識.
二、目標設計
1. 理解反比例函數(shù)的概念，能判斷兩個變量之間的關系是否是函數(shù)關系，進而識別其中的反比例函數(shù).
2. 能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的關系式.
3. 能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù).通過探索現(xiàn)實生活中數(shù)量間的反比例關系，體
會和認識反比例函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中特定
3、數(shù)量關系的一種數(shù)學模型；進一步理解常量與變量的辯證關系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點.
三、活動設計
活 動 內 容
師生互動思考與安排
情境1：
當路程一定時，速度與時間成什么關系？（s＝vt）
當一個長方形面積一定時，長與寬成什么關系?
［說明］這個情境是學生熟悉的例子，當中的關系式學生都列得出來，鼓勵學生積極思考、討論、合作、交流，最終讓學生討論出：當兩個量的積是一個定值時，這兩個量成反比例關系，如xy＝m（m為一個定值），則x與y成反比例。
這一情境為后面學習反比例函數(shù)概念作鋪墊。
情境2：
汽車從南京出發(fā)開往上海（全程約300km），全程所用時間t（h）隨速度v
4、（km/h）的變化而變化.
問題：
（1）你能用含有v的代數(shù)式表示t嗎？
（2）利用（1）的關系式完成下表：
v/(km/h)
60
80
90
100
120
t/h
隨著速度的變化，全程所用時間發(fā)生怎樣的變化？
（3）速度v是時間t的函數(shù)嗎？為什么？
［說明］（1）引導學生觀察、討論路程、速度、時間這三個量之間的關系，得出關系式s＝vt，指導學生用這個關系式的變式來完成問題（1）.
（2）引導學生觀察、討論，并運用（1）中的關系式填表，并觀察變化的趨勢，引導學生用語言描述.
（3）結合函數(shù)的概念，特別強調唯一性，引導討論問題（3）.
5、情境3：
用函數(shù)關系式表示下列問題中兩個變量之間的關系：
（1）一個面積為6400m2的長方形的長a（m）隨寬b（m）的變化而變化；
（2）某銀行為資助某社會福利廠，提供了20萬元的無息貸款，該廠的平均年還款額y（萬元）隨還款年限x（年）的變化而變化；
（3）游泳池的容積為5000m3，向池內注水，注滿水所需時間t（h）隨注水速度v（m3/h）的變化而變化；
（4）實數(shù)m與n的積為－200，m隨n的變化而變化.
問題：
（1）這些函數(shù)關系式與我們以前學習的一次函數(shù)、正比例函數(shù)關系式有什么不同？
（2）它們有一些什么特征？
（3）你能歸納出反比例函數(shù)的概念嗎？
一般地，形如y
6、＝(k為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù).
反比例函數(shù)的自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).
［說明］這個情境先引導學生審題列出函數(shù)關系式，使之與我們以前所學的一次函數(shù)、正比例函數(shù)的關系式進行類比，找出不同點，進而發(fā)現(xiàn)特征為：(1)自變量x位于分母，且其次數(shù)是1.(2)常量k≠0.(3)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù).(4)函數(shù)值y的取值范圍是非零實數(shù).并引導歸納出反比例函數(shù)的概念，緊抓概念中的關鍵詞，使學生對知識認知有系統(tǒng)性、完整性，并在概念揭示后強調反比例函數(shù)也可表示為y＝kx－1(k為常數(shù)，k≠0)的形式，并結合舊知驗證其正確性
7、.
四、例題教學
活 動 內 容
師生互動思考與安排
例1：下列關系式中的y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)k是多少？
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝－ ；(4)y＝－3；(5)y＝；(6)y＝＋2；(7)y＝.
［說明］這個例題作了一些變動，引導學生充分討論，把函數(shù)關系式如何化成y＝或y＝kx＋b的形式了解函數(shù)關系式的變形，知道函數(shù)關系式中比例系數(shù)的值連同前面的符號，會與一次函數(shù)的關系式進行比較，若對反比例函數(shù)的定義理解不深刻，常會認為（2）與（4）也是反比例函數(shù)，而（2）式等號右邊的分母是x－1，不是x，（2）式y(tǒng)與x－1成反比例，它不是y與x的反比例函數(shù). 對
8、于（4），等號右邊不能化成 的形式，它只能轉化為的形式，此時分子已不是常數(shù)，所以（4）不是反比例函數(shù). 而（7）中右邊分母為2x，看上去和（2）類似，但它可以化成，即k＝－，所以（7）是反比例函數(shù). 通過這個例題使學生進一步認識反比例函數(shù)概念的本質，提高辨別的能力.
例2：在函數(shù)y＝－1，y＝，y＝x－1，y＝中，y是x的反比例函數(shù)的有 個.
［說明］這個例題也是引導學生從反比例函數(shù)概念入手，著重從形式上進行比較，識別一些反比例函數(shù)的變式,如y＝kx－1的形式. 還有y＝－1通分為y＝，y、x都是變量，分子不是常量，故不是反比例函數(shù)，但變?yōu)閥＋1＝可說成（y＋1）與x成反比例.
例3：
9、若y與x成反比例，且x＝－3時，y＝7，則y與x的函數(shù)關系式為 .
［說明］這個例題引導學生觀察、討論，并回顧以前求一次函數(shù)關系式時所用的方法，初步感知用“待定系數(shù)法”來求比例系數(shù)，并引導學生歸納求反比例函數(shù)關系式的一般方法，即只需已知一組對應值即可求比例系數(shù).
五、拓展練習
活 動 內 容
師生互動思考與安排
1、寫出下列問題中兩個變量之間的函數(shù)關系式，并判斷其是否為反比例函數(shù). 如果是，指出比例系數(shù)k的值.
（1）底邊為5cm的三角形的面積y（cm2）隨底邊上的高x（cm）的變化而變化；
（2）某村有耕地面積200ha，人均占有耕地面積y（ha）隨人口數(shù)量x
10、（人）的變化而變化；
（3）一個物體重120N，物體對地面的壓強p（N/m2）隨該物體與地面的接觸面積S（m2）的變化而變化.
2、下列哪些關系式中的y是x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)是多少？
（1）y＝x； （2）y＝； （3）xy＋2＝0；
（4）xy＝0； ?。?）x＝.
3、已知函數(shù)y＝（m＋1）x是反比例函數(shù)，則m的值為 .
［說明］引導學生分析、討論，列出函數(shù)關系式，并檢驗是否是反比例函數(shù)，指出比例系數(shù).
第3題要引導學生從反比例函數(shù)的變式y(tǒng)＝kx－1入手，注意隱含條件k≠0，求出m值.
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9.1 反比例函數(shù)教案（蘇科版八年級下） (1)doc--初中數(shù)學
