雙曲線的性質(zhì)A 知識(shí)講解

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1、 雙曲線的性質(zhì) 編稿：張希勇 審稿：李霞 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.理解雙曲線的對(duì)稱性、范圍、定點(diǎn)、離心率、漸近線等簡(jiǎn)單性質(zhì). 2.能利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的方程. 3.能用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)分析解決一些簡(jiǎn)單的問題. 【要點(diǎn)梳理】 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 356749 知識(shí)要點(diǎn)二】 要點(diǎn)一、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 雙曲線（a＞0，b＞0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) [來源:學(xué)優(yōu)gkstk] 范圍 雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x≤-a或x≥a. 對(duì)稱性 對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0

2、），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心。[來源:gkstk.Com] 頂點(diǎn) ①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)。 ②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 A1（-a，0），A2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。 ③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為

3、|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。 ①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。 ②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。 ③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線。 離心率 ①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。[來源:學(xué)優(yōu)] ②因?yàn)閏＞a＞0，所以雙曲線的離心率。 由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。 ③等軸雙曲線，所以離心率。 漸近線 經(jīng)過點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過點(diǎn)

4、B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是。 我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 356749知識(shí)要點(diǎn)一、3】 要點(diǎn)二、雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 性質(zhì)[來源:gkstk.Com] 焦點(diǎn)[來源:學(xué)優(yōu)gkstk] ，[來源:gkstk.Com] ，[來源:GKSTK.Com][來源:學(xué)優(yōu)] 焦距 范圍 ， ， 對(duì)稱性 關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱 頂點(diǎn) 軸 實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=

5、 離心率 漸近線方程 要點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。 對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。 要點(diǎn)三、雙曲線的漸近線 （1）已知雙曲線方程求漸近線方程： 若雙曲線方程為，則其漸近線方程為 已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。 （2）已知漸近線方程求雙曲線方程： 若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求

6、出即可。 （3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線 與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上） （4）等軸雙曲線的漸近線 等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為. 要點(diǎn)四、雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征： 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。 雙曲線，如圖： （1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng),焦距， （2）離心率：； （3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，； （

7、4）中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、、和角結(jié)合起來. （5）與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 【典型例題】 類型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 356749例1】 例1．求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程與離心率. 【解析】 把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可知實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，∴ ∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)， 離心率，漸近線方程為 【總結(jié)升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意a和2a，

8、b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點(diǎn)所在軸的不同，幾何量也有不同的表示. 舉一反三： 【變式1】雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于(　　) A． B．－4 C．4 D. 【答案】A 【變式2】已知雙曲線8kx2－ky2=2的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值等于（ ） A．－2 B．1 C．－1 D． 【答案】C 類型二：雙曲線的漸近線 例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。 （1）；（2） 【解析】 （1）雙曲線的漸近線方程為： 即 （2）雙曲線的漸近線方程為： 即 【總結(jié)升華】雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線

9、方程為，即；若雙曲線的方程為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上），則其漸近線方程為. 舉一反三： 【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程 （1）；（2）；（3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【變式2】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 例3. 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。 （1) 與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)； （2）一漸近線方程為，且雙曲線過點(diǎn) 【解析】（1）解法一： 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為 由題意，得，解得， 所以雙曲線的方程為 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，

10、設(shè)雙曲線的方程為 由題意，得，解得，（舍去） 綜上所得，雙曲線的方程為 解法二：設(shè)所求雙曲線方程為（）， 將點(diǎn)代入得， 所以雙曲線方程為即 （2）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是. 故設(shè)雙曲線方程為， ∵點(diǎn)在雙曲線上， ∴ ，解得， ∴所求雙曲線方程為. 【總結(jié)升華】求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（、、、及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（）. 舉一反三： 【變式1】中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在(0,3)，一條漸近線為的雙曲線方程是（ ） A. B. C.

11、 D. 【答案】D 【變式2】過點(diǎn)(2，-2)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【變式3】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【變式4】雙曲線與有相同的（ ） A．實(shí)軸 B．焦點(diǎn) C．漸近線 D．以上都不對(duì) 【答案】C 類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 例4. 已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過且垂直于軸的直線與雙曲

12、線的左支交于A、B兩點(diǎn),若是正三角形,求雙曲線的離心率。 【解析】∵，是正三角形， ∴， ∴， ∴ 【總結(jié)升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù)，求雙曲線離心率的關(guān)鍵是由條件尋求a、c滿足的關(guān)系式，從而求出 舉一反三： 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 356749例2】 【變式1】 (1) 已知雙曲線的離心率， 過點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)間的距離為，求雙曲線的方程. (2) 求過點(diǎn)(-1,3)，且和雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程. 【答案】（1） （2） 【變式2】 等軸雙曲線的離心率為_________ 【答案】 【變式3】已知a、b

13、、c分別為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0無實(shí)根，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．1