（全國120套）2013年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 操作與探究

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1、操作與探究 1、（13年北京5分22）閱讀下面材料： 小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在邊長為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積。 小明發(fā)現(xiàn)：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2） 請回答： （1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個(gè)新的正方形的邊長為__________； （2）求正方形MNPQ的面積。 參考小明思考問題的方

2、法，解決問題： 如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ，若，則AD的長為__________。 解析： 考點(diǎn)：操作與探究（旋轉(zhuǎn)、從正方形到等邊三角形的變式、全等三角形） 2、（2013成都市）如圖，，為⊙上相鄰的三個(gè)等分點(diǎn)，弧，點(diǎn)在弧上，為⊙的直徑，將⊙沿折疊，使點(diǎn)與重合，連接，，.設(shè)，，.先探究三者的數(shù)量關(guān)系：發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)， .請繼續(xù)探究三者的數(shù)量關(guān)系： 當(dāng)時(shí)，_______；當(dāng)時(shí)，_______. （參考數(shù)據(jù)：， ） 答案：；或 解析： 3、（2013山西，21，8分）（本題8分

3、）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)。 （1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）。 ①作∠DAC的平分線AM。②連接BE并延長交AM于點(diǎn)F。 【解析】解：①作圖正確，并有痕跡。 ②連接BE并延長交AM于點(diǎn)F。 （2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由。 【解析】解：AF∥BC且AF=BC 理由如下：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C 由作圖可知：∠DAC=2∠FAC ∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC. ∵E是AC的中點(diǎn)， ∴

4、AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC. 4、（13年山東青島、23）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式 第23題圖① 第23題圖② 這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因集合直觀而形象化。 【研究速算】 第23題圖③ 提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？ 幾何建模： 用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47

5、×43為例： （1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個(gè)47×43的 矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。 （2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43 的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形 面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋ 3×7＝2021 用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘， 再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果 歸納提煉： 兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述） _________

6、____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 第23題圖④ 【研究方程】 提出問題：怎么圖解一元二次方程 幾何建模： （1）變形： （2）畫四個(gè)長為，寬為的矩形，構(gòu)造圖④ （3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，或四個(gè)長，寬的矩形之和，加上中間邊長為2的小正方形面積 即： ∵ ∴

7、 ∴ ∵ ∴ 歸納提煉：求關(guān)于的一元二次方程的解 要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長） 【研究不等關(guān)系】 提出問題：怎么運(yùn)用矩形面積表示與的大小關(guān)系（其中）？ 幾何建模： 第23題圖⑤ （1）畫長，寬的矩形，按圖⑤方式分割 （2）變形： （3）分析：圖⑤中大矩形的面積可以表示為 ；陰影部分面積可以表示為， 畫點(diǎn)部分的面積可表示為，由圖形的部分與整體 的關(guān)系可知：＞，即 ＞ 歸納提煉： 當(dāng)，時(shí)，表示與的大小關(guān)系 根據(jù)題意，設(shè)，，要求參照

8、上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長） 解析： 5、(2013年江西省)某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程： 　　●操作發(fā)現(xiàn)： 在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是 （填序號即可） ①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DMB． ●數(shù)學(xué)思考： 在任意△ABC中，分別

9、以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程； ●類比探索： 在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀． 答： ． 【答案】 解： ●操作發(fā)現(xiàn)：①②③④ ●數(shù)學(xué)思考： 答：MD=ME，MD⊥ME， １、MD=ME； 如圖2，分別取AB，AC的中點(diǎn)F，G，連接DF，MF，MG，EG， ∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)， ∴MF∥AC，MF=AC． 又

10、∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線， ∴EG⊥AC且EG=AC， ∴MF=EG． 同理可證DF=MG． ∵M(jìn)F∥AC， ∴∠MFA＋∠BAC=180°． 同理可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA． 又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°． 同理可得∠DFA=90°， ∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA， 即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG， ∴△DFM≌△MGE（SAS）， ∴MD=ME． 2、MD⊥ME； 證法一：∵M(jìn)G∥AB， ∴∠MFA+∠FMG=180°， 又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF. ∴∠MF

11、A+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°， 其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°， ∴∠DME=90°. 即MD⊥ME； 證法二：如圖2，MD與AB交于點(diǎn)H， ∵AB∥MG， ∴∠DHA=∠DMG， 又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH, 即∠DHA=∠FDM+90°, ∵∠DMG=∠DME+∠GME， ∴∠DME=90° 即MD⊥ME； ●類比探究 答：等腰直角三解形 【考點(diǎn)解剖】 本題考查了軸對稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉(zhuǎn)化等知識，能力要求很高． 【解題思路】 （1） 由圖形的對稱性易知①、②、③都正確

12、，④∠DAB=∠DMB=45°也正確；（2）直覺告訴我們MD和ME是垂直且相等的關(guān)系，一般由全等證線段相等，受圖1△DFM≌△MGE的啟發(fā)，應(yīng)想到取中點(diǎn)構(gòu)造全等來證MD=ME，證MD⊥ME就是要證∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四個(gè)角相加為180°，∠FMG可看成三個(gè)角的和，通過變形計(jì)算可得∠DME=90°． （3）只要結(jié)論，不要過程，在（2）的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形. 【解答過程】 略. 【方法規(guī)律】 由特殊到一般，形變但本質(zhì)不變（仍然全等） 【關(guān)鍵詞】 課題學(xué)習(xí) 全等 開放探究 6、（2013山西，25，13分）（本題13分

13、）數(shù)學(xué)活動——求重疊部分的面積。 問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個(gè)問題： 如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。 求重疊部分（△DCG）的面積。 （1）獨(dú)立思考：請解答老師提出的問題。 【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中點(diǎn), （25題（1）） ∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB 又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B ∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC 又∵DC=DA,∴G是A

14、C的中點(diǎn), ∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3 ∴SDCG=×CG·DG=×4×3=6 （2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。 【解析】解法一： （25題（2）） ∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1 ∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°, ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2 ∴GH=GD ∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90° ∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH ∴點(diǎn)G是AH的中點(diǎn)，

15、在Rt△ABC中，AB= 10 ∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=AB=5 在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°, ∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=, ∴S△DGH＝S△ADH＝××DH·AD=××5= （25題（2）） 解法二：同解法一，G是AH的中點(diǎn)， 連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點(diǎn)，∴AH=BH，設(shè)AH=x則CH＝８-ｘ 在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x= ∴S△ABH=AH·BC=××6= （25題（2）） ∴S△ＤＧＨ=S△ADH=× S△ABH=×=. 解法三：同解法一，

16、∠1=∠2 連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC, 作DM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90° ∴CD=AD=BD，∴點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴DM=BC=×6=3 在Rt△ABC中，AB==10，AC·BC=AB·CN， ∴CN＝. ∵△DGH∽△BDC, ∴, ∴= ∴ （3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問題?！皭坌摹毙〗M提出的問題是：如圖(3)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN求重疊部分(△DM

17、N)的面積、 任務(wù)：①請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是 ②請你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)）。 （25題（3）） （25題（4）） 【答案】① ②注：此題答案不唯一，語言表達(dá)清晰、準(zhǔn)確得1分，畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。 　7、（2013達(dá)州）通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的。

18、下面是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完整。 FF 原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由。 （1）思路梳理 ∵AB=CD， ∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合。 ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線。 根據(jù)__SAS__________，易證△AFG≌_△AFE_______，得EF=BE+DF。 （2）類比引申 如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠

19、D滿足等量關(guān)系_互補(bǔ)___時(shí)，仍有EF=BE+DF。 （3）聯(lián)想拓展 如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。 解：BD2+EC2=DE2 解析：(1)SAS………………………(1分） △AFE………………………(2分） (2)∠B+∠D=180°………………………(4分） (3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5分） ∵AB=AC， ∴把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合. ∵△ABC中，

20、∠BAC=90°. ∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°. ∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分） 在△AEG與△AED中, ∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD, 又∵AD=AG，AE=AE， ∴△AEG≌△AED. ∴DE=EG.又∵CG=BD, ∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分） 8、（2013陜西壓軸題）問題探究 （1）請?jiān)趫D①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分； （2）如圖②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請?jiān)趫D②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點(diǎn)M）

21、，使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由. 問題解決 （3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB=，CD=，且，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由. 圖① 圖② A B C D M B 圖③ A C D P （第25題圖） 考點(diǎn)：本題陜西近年來考查的有：折疊問題，勾股定理，矩形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，面積問題及最值問題，位似的性質(zhì)應(yīng)用等。此題考查對圖形的面積等分問題。 解析：此題主要考查學(xué)生的閱讀問題的能力

22、，綜合問題的能力，動手操作能力，問題的轉(zhuǎn)化能力，分析圖形能力和知識的遷徙能力，從特殊圖形到一般的過渡，從特殊中發(fā)現(xiàn)關(guān)系到一般的知識遷移的過程。 （1）問較易解決，圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達(dá)到目的。 （2）問中其實(shí)在八年級學(xué)習(xí)四邊形時(shí)好可解決此類問題。平行四邊形過對角線的交點(diǎn)的直線將平行四邊形分成面積相等的兩個(gè)部分。而在正方形中就更特殊，常見的是將正方形重疊在一起旋轉(zhuǎn)的過程中的圖形的面積不變的考查，此題有這些知識的積累足夠解決。 （3）問中可以考慮構(gòu)造（1）（2）中出現(xiàn)的特殊四邊形來解決。也可以用中點(diǎn)的性質(zhì)來解決。在中學(xué)數(shù)學(xué)中中點(diǎn)就有兩個(gè)方面的應(yīng)用，一是中線（倍長中線構(gòu)造全等三角形或者是平

23、行四邊形）二是中位線的應(yīng)用。 解：（1）如圖①所示． （2）如圖②，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分. 理由如下： 答圖② A B C D M （第25題答案圖） 答圖① O P Q F E ∵點(diǎn)O是正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O是正方形ABCD的對稱中心 ∴AP=CQ，EB=DF， D在△AOP和△EOB中， ∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE ∴∠AOP=∠BOE ∵OA=OB，∠OAP

24、=∠EBO=45°∴△AOP≌△EOB ∴AP=BE=DF=CQ ∴AE=BQ=CF=PD 設(shè)點(diǎn)O到正方形ABCD一邊的距離為. ∴ ∴ ∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分 另解：∵點(diǎn)O是正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O是正方形ABCD的中心 ∴OA=OB=OC=OD ∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45° ∵PQ⊥EF，∴∠POD+∠DOF=90°，∠POD+∠POA=90° ∴∠POA=∠DOF同理：∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ ∴△AOP≌△BOE≌△COQ≌△DOF ∴ ∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分 （3）

25、 B 答圖③ A C D P （第25題答案圖） M Q F E 存在.當(dāng)BQ=CD=時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分. 理由如下：如圖③，延長BA至點(diǎn)E，使AE=， 延長CD至點(diǎn)F，使DF=，連接EF. ∴BE∥CF，BE=CF ∴四邊形BCFE為平行四邊形， ∵BC=BE=+，∴平行四邊形DBFE為菱形 連接BF交AD于點(diǎn)M，則△MAB≌△MDF ∴AM=DM.即點(diǎn)P、M重合. ∴點(diǎn)P是菱形EBCF對角線的交點(diǎn)， 在BC上截取BQ=CD=，則CQ=AB=. 設(shè)點(diǎn)P到菱形EBCF一邊的距離為 ∴ 所以當(dāng)BQ=時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面

26、積分成相等的兩部分. 另解：存在.當(dāng)BQ=CD=時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分. 理由如下：如圖④，連接BP并延長BP交CD延長線于點(diǎn)F，連接CP ∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴PA=PD ∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DFP，∵∠APB=∠DPF ∴△APB≌△DPF B 答圖④ A C D P （第25題答案圖） Q F ∴AB=DF，PB=PF，所以CP是△CBF的中線，∴ ∵AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，∴∠CBF=∠CFB ∵∠ABP=∠DFP∴∠ABP=∠CBP即PB是角平分線. ∴點(diǎn)P到AB與CB的距離相等， ∵BQ=，所以CQ=AB= ∴ ∴ 所以當(dāng)BQ=時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.