3、b?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由。
4.已知函數(shù)f(x)=+(b-1)x2+cx(b,c為常數(shù))
(1)若f(x)在x∈(-∞,x1)及x∈(x2+∞)上單調遞增,且在x∈(x1,x2)上單調遞減,又滿足0x1,試比較t2+bt+c與x1的大小,并加以證明。
難點 3利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值
1.已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上奇函數(shù),當x=-1時,f(x)取得極值2。
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若對于x1、x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)
4、|≤m,求m的最小值。
2.設函數(shù)f(x)是定義在[-1,0] ∪[0,1]上奇函數(shù),當x∈[-1,0]時,f(x)=2ax+(a為實數(shù))
(1)當x∈(0,1)時,求f(x)的解析式;
(2)若a>-1,試判斷f(x)在[0,1]上的單調性;
(3)是否存在a,使得當x∈(0,1)時,f(x)有最大值-6。
∵4x+2+1>0,∴x=.
又∵x∈(0, )時,h’(x)<0, x∈(,1)時,h’(x)>0.
∴x=時,h(x)有最小值h()=-
∴a<.
【易錯點點睛】
易錯點 1導數(shù)的概念與運算
1.設f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’
5、1(x),…,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,則f2005(x) ( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
2.已知函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù)為3,f(x)的解析式可能為 ( )
A.f(x)=(x-1)3+32(x-1) B.f(x)=2x+1
C.f()=2(x-1)2 D.f(x)-x+3
=
=
【特別提醒】
1.理解導數(shù)的概念時應注意導數(shù)定義的另一種形式:設函數(shù)f(x)在x=a處可導,則 的運用。
6、2.復合函數(shù)的求導,關鍵是搞清復合關系,求導應從外層到內層進行,注意不要遺漏
3.求導數(shù)時,先化簡再求導是運算的基本方法,一般地,分式函數(shù)求導,先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù);對數(shù)函數(shù)求導先化為和或差形式;多項式的積的求導,先展開再求導等等。
【變式訓練】
1 函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3時取得極值,則a= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5已知函數(shù)f(x)=ln(x-2)-
(1)求導數(shù)f’(x)
答案: f′(x)=
易錯點 2導數(shù)幾何意義的運用
1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直
7、線x=2所圍成的三角形面積為_________.
∴三條直線所圍成的面積為S=×4×(2-)=。
2.設t≠0,點P(t,0)是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點,兩函數(shù)的圖像在P點處有相同的切線。
(1)用t表示a、b、c;
(2)若函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減,求t的取值范圍。
【錯誤解答】 (1)∵函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).∴∴
解得 t≤-9或t≥3.
3.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處有極值。
(1)討論f(1)和f(-1)是函數(shù)的極大值還是極小
8、值。
(2)過點A(0,16)作曲線y=f(x)的切線,求此切線方程。
【特別提醒】
設函數(shù)y=f(x),在點(x0,y0)處的導數(shù)為f’(x0),則過此點的切線的斜率為f’(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f’(x0)(x-x0).利用導數(shù)的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉化為代數(shù)問題求解。
【變式訓練】
1 曲線y=2x-x3在點(1,1)處的切線方程為_________.
(2)設函數(shù)f(x)的圖像C1與函數(shù)g(x)圖像C2交于點P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N,證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行。
4 已知函數(shù)f
9、(x)=|1-|,(x>0)
(1)證明:01;
易錯點 3導數(shù)的應用
1.已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的單調遞減區(qū)間;
(2)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值。
【錯解分析】在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值,應把極值點的函數(shù)值與兩端點的函數(shù)值進行比較大小才能產(chǎn)生最大(小)值點,而上面解答題直接用極大(小)值替代最大(?。?.已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù),求a的取值范圍。
4.設函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。
(1)當m為何值
10、時,f(x)≥0;
(2)定理:若g(x)在[a、b]上連續(xù),且g(a)與g(b)異號,則至少存在一點x0∈(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明:當整數(shù)m>1時,方程f(x)=0,在[e-m-m,e2m-m]內有兩個實根。
【錯誤解答】 令f(x)≥0,x≥ln(x+m).
5.用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正形,然后把四邊翻轉90°角,再焊接而成(如圖,)問該容器高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?
【特別提醒】
1.證函數(shù)f(x)在(a,b)上單調,可以用函數(shù)的單調性定義,也可用導數(shù)來證明,前者較繁,后者較易,要
11、注意若f(x)在(a、b)內個別點上滿足f’(x)=0(或不存在但連續(xù))其余點滿足f(x)>0(或f(x)<0)函數(shù)f(x)仍然在(a、b)內單調遞增(或遞減),即導數(shù)為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。
2.函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較,函數(shù)在區(qū)間上的極大值(或極小值)可能有若干個,而且有時極小值大于它的極大值,另外,f’(x)=0是可導數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件,對于連續(xù)函數(shù)(不一定處處可導)時可以是不必要條件。
3.函數(shù)的最大值、最小值,表示函數(shù)f(x)在整個區(qū)間的情況,即是在整體區(qū)間上對函數(shù)值的比較,連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a、b]上必有一個最大值和一最小
12、值,最多各有一個,但f(x)在(a、b)上就不一定有最大值(或最小值)。
4.實際應用問題利用導數(shù)求f(x)在(a、b)的最大值時,f’(x)=0在(a,b)的解只有一個,由題意最值確實存在,就是f’(x)=0的解是最值點。
【變式訓練】
1 已知m∈R,設P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[-1,1]恒成立。
Q:函數(shù)f(x)=x3+(m+)x+6在(-∞,+ ∞)上有極值。
求使P正確且Q正確的m的取值范圍。
因此,函數(shù)f'(x)在x①=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值.
綜上所述,當且僅當
13、A>0時,函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有極值.
5 某企業(yè)有一條價值a萬元的流水生產(chǎn)線,要提高該流水生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力,提高產(chǎn)品的增加值,就要對充水生產(chǎn)線進行技術改造,假設增加值y萬元與技改把風入x萬元之間的關系滿足①y與(a-x)x2成正比例;
②當x=時,y=;③0≤≤t,其中t為常數(shù)且t∈[0,2].
(1)設y=f(x),求出f(x)的表達式,并求其定義域;
答案: f(x)=8a2x2—12x3=(0≤x≤,≤t≤2).
(2)求出增加值y的最大值,并求出此時的技改投入x值。
解析:y′=sinx+cosx-sinx=xcosx,x∈(-π,-)時,y′>0.
3
14、已知函數(shù)f(x)=在(1,+∞)上為減函數(shù),則a的取值范圍為 ( )
A.01ln恒成立,
∵x>
4 函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值、最小值分別是 ( )
6 函數(shù)f(x)=x3-2x+3的圖像在x=1處的切線與圓x2+y2=8的位置關系是 ( )
A.相切 B.相交且過圓心
C.相交但不過圓心 D.相離
7.設集合A=[0,1),B=[1
15、,2],函數(shù)f(x)=若x0∈A,且f[f(x0)]∈A,則x0的取值范圍是( )
A. B.(log32,1)
C. D.
8. 函數(shù)f(x)=lg(x≠0,x∈R),有下列命題:
①f(x)的圖象關于y軸對稱;
②f(x)的最小值是2;
③f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù);
④f(x)沒有最大值.
其中正確命題的序號是________.(請?zhí)钌纤姓_命題的序號)
方法二:①當n=0時,f(x)=-1,x∈[0,1),則log2x=-1?x=∈[0,1);
10.已知定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
(1)
16、求a,b的值;
11.已知函數(shù)f′(x),g′(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導函數(shù),它們在同一坐標系下的圖象如圖所示,設函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),則( )
A.h(1)
17、)=e-x-ex切線斜率的最大值是2
C.已知函數(shù)f(a)=sinxdx,則f=1+cos1
D.函數(shù)y=3·2x+1的圖象可以由函數(shù)y=2x的圖象僅通過平移變換得到
13.設函數(shù)y=f(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù),若g(x)=f(x)-2x在區(qū)間[2,3]上的值域為[-2,6],則函數(shù)g(x)在[-12,12]上的值域為( )
A.[-2,6] B.[-20,34]
C.[-22,32] D.[-24,28]
14.由直線x=-,x=,y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為( )
A. B.
C. D.1
答案
18、:C
解析:直線x=-,x=,y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為
cosxdx=.
15.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,其導函數(shù)y=f′(x)的圖象經(jīng)過點(1,0),(2,0),如圖所示,則下列說法中不正確的是________.
①當x=時,函數(shù)f(x)取得極小值;②f(x)有兩個極值點;③當x=2時,函數(shù)f(x)取得極小值;④當x=1時,函數(shù)f(x)取得極大值.
16. 函數(shù)f(x)=xlnx,則f(x)的單調遞減區(qū)間是_______.
答案:(0,)
解析:令f′(x)=lnx+1<0,得x∈(0, ).
17.曲線y=2-x2與y=x3-2
19、在交點處的切線夾角是__________.
答案: 解析:聯(lián)立
又∵()′=-x,( )′=.
∴兩函數(shù)在x=2處導數(shù)分別為-2、3.
∴k1=-2,k2=3.tanθ=||=
可求得θ=.
18. 已知函數(shù)f(x)=mx3+mx2+3x在R上的增函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍。
19.求函數(shù)f(x)=在[,3]上的最大值和最小值。
∴f(3)=
f()=-ln2-ln=-ln2-(ln3-ln2)
(2)當a取最大值時,存在t∈R,使x∈[1,m](m>1)時,f’(t-x) ≤恒成立,試求m的最大值。
21.已知函數(shù)f(x)=-x3-bx2-5cx-2d在[-∞,0]上
20、單調遞減,在[0,6]上單調遞增,且方程f(x)=0有3個實根:m、n、1。
(1)求f(4)的取值范圍。
∵AB=9,AC=3,BC=由A到C所需要時間為t,
23. 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內可導,導函數(shù)f(x)是減函數(shù),且f’(x)>0,設x0∈(0,+∞),y=kx+m是y=f(x)在點[x0,f(x0)]得的切線方程,并設函數(shù)g(x)=kx+m;
(1)用x0、f(x0)、f’(x0)表示m;
(3)若關于x的不等式a2+1≥ax+b≥在[0,+∞]上恒成立,其中a、b為實數(shù),求x的取值范圍及a與b所滿足的關系。
答案:0≤b≤01 a>0是不等式成立的必要條件肥下討論設此條件成立.
X2+1≥ax+b,即x2-ax+1(1-b)。
令(x)=ax+b-,于是ax+b≥對任意x∈[0,+∞]成立的充要條件是(x)≥0,