2013年高考數(shù)學總復習 第七章 第6課時 雙曲線隨堂檢測（含解析） 新人教版

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1、 2013年高考數(shù)學總復習 第七章 第6課時 雙曲線隨堂檢測（含解析） 新人教版 1．(2012·丹東調(diào)研)已知點F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，動點P滿足|PF2|－|PF1|＝2，當點P的縱坐標是時，點P到坐標原點的距離是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D．2 解析：選A.由已知可知c＝，a＝1，∴b＝1， ∴雙曲線方程為x2－y2＝1(x≤－1)． 將y＝代入可求P的橫坐標為x＝－. ∴點P到原點的距離為 ＝. 2．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)1是左焦點，O是坐標原點，若雙曲線上存在點P，使|PO|＝|PF1|，則此雙曲線的離心率的取值范圍是

2、(　　) A．(1,2] B．(1，＋∞) C．(1,3) D．[2，＋∞) 解析：選D.由|PO|＝|PF1|得點P的橫坐標x1＝－，因為P在雙曲線的左支上，所以－≤－a，即e＝≥2.故選D. 3．(2011·高考江西卷)P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點，直線PM，PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率； (2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足＝λ＋，求λ的值． 解：(1)由點P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線－＝1上， 有－＝

3、1. 由題意有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝. (2)聯(lián)立得4x2－10cx＋35b2＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則① 設＝(x3，y3)，＝λ＋，即 又C為雙曲線上一點，即x－5y＝5b2，有 (λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2. 化簡得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.② 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上， 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2. 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10

4、b2， ②式可化為λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 一、選擇題 1．(2011·高考湖南卷)設雙曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析：選C.漸近線方程可化為y＝±x.∵雙曲線的焦點在x軸上， ∴＝2，解得a＝±2.由題意知a>0，∴a＝2. 2．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，則動點P的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．雙曲線左邊一支 C．雙曲線右邊一支 D．一條射線 解析：選C.∵|PM|－|PN|＝3＜4，由雙曲線定義知，其軌跡為雙曲

5、線的一支，又∵|PM|＞|PN|， ∴點P的軌跡為雙曲線的右支． 3．(2012·威海質(zhì)檢)若k∈R，則方程＋＝1表示焦點在x軸上的雙曲線的充要條件是(　　) A．－3＜k＜－2 B．k＜－3 C．k＜－3或k＞－2 D．k＞－2 解析：選A.由題意可知解得－3＜k＜－2. 4．(2011·高考天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：選B.雙曲線左頂點為A1(－a,0)，漸近線為

6、y＝±x， 拋物線y2＝2px(p>0)焦點為F，準線為直線x＝－. 由題意知－＝－2，∴p＝4，由題意知2＋a＝4，∴a＝2. ∴雙曲線漸近線y＝±x中與準線x＝－交于(－2，－1)的漸近線為y＝x，∴－1＝×(－2)，∴b＝1. ∴c2＝a2＋b2＝5，∴c＝，∴2c＝2. 5．已知雙曲線的焦點分別為F1(－5,0)、F2(5,0)，若雙曲線上存在一點P滿足|PF1|－|PF2|＝8，則此雙曲線的標準方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選A.焦點在x軸上，由|PF1|－|PF2|＝8得a＝4，又c＝5，從而b2＝c2－a2＝9.所以

7、雙曲線的標準方程為－＝1.故選A. 二、填空題 6．(2011·高考山東卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________． 解析：橢圓＋＝1的焦點坐標為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，離心率為e＝.由于雙曲線－＝1與橢圓＋＝1有相同的焦點，因此a2＋b2＝7. 又雙曲線的離心率e＝＝，所以＝， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故雙曲線的方程為－＝1. 答案：－＝1 7．已知過點P(－2,0)的雙曲線C與橢圓＋＝1有相同的焦點，則雙曲線C的漸近線方程是________． 解析：由題意，雙曲線C的焦

8、點在x軸上且為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，∴c＝4. 又雙曲線過點P(－2,0)，∴a＝2. ∴b＝＝2， ∴其漸近線方程為y＝±x＝±x. 答案：x±y＝0 8．已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為________． 解析：設P(x0，y0)，由題意知x0≥1，且A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)，則·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－x0－2，由P在雙曲線x2－＝1上得x－＝1，所以y＝3x－3，所以·＝4x－x0－5＝4－5(x0≥1)，故當x0＝1時，(·)min＝－2. 答案：－2 三、解答題

9、 9．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 解：橢圓D的兩個焦點為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5. 設雙曲線G的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， ∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3. ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴雙曲線G的方程為－＝1. 10. 如圖所示，雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的

10、面積為2，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程． 解：設雙曲線方程為：－＝1(a＞0，b＞0)， F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)． 在△PF1F2中，由余弦定理，得： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|， 又∵S△PF1F2＝2， ∴|PF1|·|PF2|·sin ＝2， ∴|PF1|·|PF2|＝8. ∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2. 又∵e＝＝2，∴a2＝， ∴雙曲線的方程為：－＝1. 11．(探究選

11、做)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)． (1)求雙曲線C的方程； (2)若直線y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A(0，－1)，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 由已知得a＝，c＝2， 又a2＋b2＝c2，得b2＝1， 故雙曲線C的方程為－y2＝1. (2)聯(lián)立，整理得 (1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0. ∵直線與雙曲線有兩個不同的交點， ∴， 可得m2＞3k2－1且k2≠.① 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為B(x0，y0)， 則x1＋x2＝，x0＝＝， y0＝kx0＋m＝， 由題意，AB⊥MN， ∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0)， 整理得3k2＝4m＋1，② 將②代入①，得m2－4m＞0， ∴m＜0或m＞4， 又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)， 即m＞－. ∴m的取值范圍是(－，0)∪(4，＋∞)．