（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章第2課時(shí) 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示課時(shí)闖關(guān)（含解析）

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1、 （福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章第2課時(shí) 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示課時(shí)闖關(guān)（含解析） 一、選擇題 1．e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么(　　) A．若實(shí)數(shù)λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0 B．空間內(nèi)任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實(shí)數(shù)) C．對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在該平面內(nèi) D．對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對(duì) 解析：選A.對(duì)于A，∵e1，e2不共線，故λ1＝λ2＝0正確； 對(duì)于B，空間向量a應(yīng)改為與e1，e2共面的向量才可以； C中，λ1 e1＋

2、λ2e2一定與e1，e2共面；D中，根據(jù)平面向量基本定理，λ1，λ2應(yīng)是唯一一對(duì)． 2．在四邊形ABCD中，＝，且·＝0，則四邊形ABCD是(　　) A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 解析：選B.∵＝，即一組對(duì)邊平行且相等， ·＝0，即指對(duì)角線互相垂直，故四邊形為菱形． 3．設(shè)向量a＝(4sin α，3)，b＝(2,3cos α)，且a∥b，則銳角α為(　　) A. B. C. D.π 解析：選B.∵a∥b，∴4sin α·3cos α＝2×3，∴sin 2α＝1，∵α為銳角．∴α＝.故選B. 4．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC

3、的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則＝(　　) A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 解析：選B.＝－＝(－3,2)， ∴＝2＝(－6,4)． ＝＋＝(－2,7)， ∴＝3＝(－6,21)．故選B. 5．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是(　　) A．k≠－2 B．k≠ C．k＝1 D．k≠－1 解析：選C.若點(diǎn)A、B、C不能構(gòu)成三角形，則向量，共線，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－

4、3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1. 二、填空題 6．梯形ABCD(按順時(shí)針排列)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(－1,2)，B(3,4)，D(2,1)且AB∥DC，AB＝2CD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________． 解析：＝＝(4,2)＝(2,1)，＝＋＝(2,1)＋(2,1)＝(4,2)． 答案：(4,2) 7．已知a是以A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝(－3,4)平行的單位向量，則向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是________． 解析：設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則a＝(x－3，y＋1)，由已知得 解得或 所以終點(diǎn)坐標(biāo)為或. 答案：或 8．(2012·三明調(diào)研)已知向

5、量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，則|a－b|的最大值為________． 解析：|a－b|＝|sinθ－cosθ|＝≤2. 答案：2 三、解答題 9．已知a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b. (1)若u＝3v，求x； (2)若u∥v，求x. 解：因?yàn)閡＝a＋2b＝(1,1)＋2(x,1)＝(1,1)＋(2x,2)＝(2x＋1,3)， v＝2a－b＝2(1,1)－(x,1)＝(2－x,1)． (1)u＝3v， 即(2x＋1,3)＝3(2－x,1)，(2x＋1,3)＝(6－3x,3)， 所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1. (2)u∥v

6、?(2x＋1,3)＝λ(2－x,1)? ?(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1. 10．已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R. (1)求|a＋tb|的最小值及相應(yīng)的t值； (2)若a－tb與c共線，求實(shí)數(shù)t. 解：(1)因?yàn)閍＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)， 所以a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)． 所以|a＋tb|＝＝＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)取等號(hào)，即|a＋tb|的最小值為，此時(shí)t＝. (2)因?yàn)閍－tb＝(－3,2)－t(2,1)＝(－3－2t,2－t)， 又因?yàn)閍－tb與c共線，c＝(3，－

7、1)， 所以(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得t＝. 一、選擇題 1．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，則M∩N等于(　　) A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)} C．{(－2，－2)} D．? 解析：選C.M＝{a|a＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R}， 令即 解之得代入M或N中得a＝(－2，－2)． 所以M∩N＝{(－2，－2)}． 2．(2012·南平調(diào)研)設(shè)兩個(gè)向量a＝(λ＋2，λ

8、2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α是實(shí)數(shù)，若a＝2b，則的取值范圍是(　　) A．[－6,1] B．[4,8] C．[－1,1] D．[－1,6] 解析：選A.由a＝2b得 所以λ2－m＝λ2－－1＝cos2α＋2sinα ＝1－sin2α＋2sinα＝－(sinα－1)2＋2. 所以－2≤λ2－－1≤2. 因?yàn)棣?－＋3≥0恒成立， 由λ2－－3≤0，解得－≤λ≤2. 由＝＝＝2－可得－6≤≤1. 二、填空題 3．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種向量積：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知

9、m＝，n＝，點(diǎn)P(θ，sinθ)，點(diǎn)Q在y＝f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，滿足＝m?＋n(其中O為原點(diǎn))，則y＝f(x)的最大值和最小正周期分別為________． 解析：設(shè)Q(x，y)，由題知(x，y)＝ ＋ ＝， ∴?y＝sin，ymax＝，T＝4π. 答案：，4π 4.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和， 它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________． 解析：法一：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(cos120°，sin120°)，即B. 設(shè)∠AOC＝α，則＝(cosα，sinα)

10、． ∵＝x＋y＝(x,0)＋＝(cosα，sinα)． ∴∴ ∴x＋y＝sinα＋cosα＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x＋y有最大值2，當(dāng)α＝60°時(shí)取最大值． 法二：設(shè)∠AOC＝α，則 即 ∴x＋y＝2[cosα＋cos(120°－α)]＝cosα＋sinα＝ 2sin≤2. 答案：2 三、解答題 5．已知向量u＝(x，y)，與向量v＝(y,2y－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用v＝f(u)表示． (1)證明：對(duì)任意的向量a、b及常數(shù)m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)設(shè)a＝(1,1)

11、，b＝(1,0)，求向量f(a)與f(b)的坐標(biāo)； (3)求使f(c)＝(p，q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo)． 解：(1)證明：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)． ∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)． ∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)， ∴mf(a)＋nf(b) ＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， ∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立． (2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f(b)＝

12、(0,2×0－1)＝(0，－1)． (3)設(shè)c＝(x，y)， 則f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)． ∴即 ∴c＝(2p－q，p)． 6．△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n. (1)求銳角B的大?。? (2)如果b＝2，求S△ABC的最大值． 解：(1)∵m∥n，∴2sinB(2cos2－1)＝－cos2B， ∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－. 又∵B為銳角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝. (2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cosB＝， 得a2＋c2－ac－4＝0. 又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)等號(hào)成立． S△ABC＝acsinB＝ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)等號(hào)成立， 即S△ABC的最大值為.