測量理論分析與數(shù)據(jù)處理.ppt

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1、第2章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理,2.1 測量誤差概述 2.2 測量誤差的來源 2.3 測量誤差的分類 2.4 隨機(jī)誤差分析 2.5 系統(tǒng)誤差分析 2.6 測量誤差的合成與分配 2.7 測量數(shù)據(jù)的處理,2.1 測量誤差概述,2.1.1 基本概念 1. 真值A(chǔ)0 一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值稱作它的真值。 物理量的真值，只是一個理論值，在實際中是無法測得的。,,2. 指定值A(chǔ)s 由于絕對真值是不可知的，所以一般由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指定值。 例如，指定國家計量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量

2、為1kg，指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫l33原子基態(tài)的兩個超精細(xì)能級之間躍遷所對應(yīng)的輻射的9192 63l 770個周期的持續(xù)時間為1s(秒)等。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。 指定值也叫約定真值，一般就用來代替真值。,3. 實際值A(chǔ) 由于絕對真值不可獲得，因此在實際測量中，一般以高一級或數(shù)級的標(biāo)準(zhǔn)儀器或計量器具所測得的數(shù)值代替真值，這個值就稱為實際值，也叫作相對真值，用A表示。,4. 標(biāo)稱值 測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值，例如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的l kg，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1 ，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出來的電動勢1.018 6V，標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器度盤上標(biāo)出的輸出正弦波

3、的頻率10kHz等。 由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱值時，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級。,5. 示值 由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量器具的測得值或測量值，它包括數(shù)值和單位。 一般地說，示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。例如以l00分度表示50mA的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上50處時，讀數(shù)是50，而值是25mA。為便于核查測量結(jié)果，在記錄測量數(shù)據(jù)時，一般應(yīng)記錄儀表量程、讀數(shù)和示值(當(dāng)然還要記載測量方法，連接圖，測量環(huán)境，測量用儀器及編號及測量者姓名、測量日

4、期等)。對于數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。,6. 測量誤差 在實際測量中，由于測量器具不準(zhǔn)確，測量手段不完善，環(huán)境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等因素，都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值存在差異，這個差異稱為測量誤差。 測量誤差的存在具有必然性和普遍性，不能被完全消除。如果測量誤差超出一定限度，測量工作及由測量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。因此，人們必須認(rèn)真對待測量誤差，研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質(zhì)，減小誤差的方法以及對測量結(jié)果的處理等。,7. 單次測量和多次測量 單次(一次)測量是用測量儀器對待測量進(jìn)行一次測量的過程。單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個量的大致

5、概念和規(guī)律。在測量精度要求不高的場合，可以只進(jìn)行單次測量。 多次測量是用測量儀器對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致性的好壞即精密度。通常要求較高的精密測量都須進(jìn)行多次測量，如儀表的比對校準(zhǔn)等。,8. 等精度測量和非等精度測量 在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進(jìn)行的多次測量過程稱作等精度測量。這里所說的測量條件包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素如測量中使用的儀器、方法、測量環(huán)境，操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。等精度測量的測量結(jié)果具有同樣的可靠性。,如果在同一被測量的多次重復(fù)測量中，不是所有測量條件都維持不變(例如，改變測量方法，或更換測

6、量儀器，或改變聯(lián)接方式，或測量環(huán)境發(fā)生變化，或前后不是一個操作者，或同一操作者按不同的過程進(jìn)行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等)，這樣的測量稱為非等精度測量或不等精度測量。 等精度測量和非等精度測量在測量實踐中部存在，相比較而言，等精度測量意義更為普遍，有時為了驗證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測量方法、檢定不同的測量儀器時也要進(jìn)行非等精度測量。,2.1.2 測量誤差的表示方法 1. 絕對誤差 絕對誤差定義為 x = x A0 (2.1-1) 式中x為絕對誤差，x為測得值， A0為被測量真值。 真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用實際值A(chǔ)代替A0 ，因而絕對誤差更有實際意義的

7、定義是 x = x A (2.1-2),對于絕對誤差，應(yīng)注意下面幾個特點(diǎn)： 絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值相同； 絕對誤差是有符號的量，其符號表示出測量值與實際值的大小關(guān)系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負(fù)值； 測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。,2. 修正值(校正值) 與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值，一般用符號C表示 C = x = A x(2.1-3) 測量儀器的修正值，可通過檢定，由上一級標(biāo)準(zhǔn)給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。利用修正值和儀器示值，可得到被測量的實際值： A = x + C (2

8、.1-4),例2.1-1 某電流表測得的電流示值為0.83 mA，查該電流表檢定證書，得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值部為 0.02mA，那么被測電流的實際值為 A = 0.83 + (-0.02) = 0.81 mA,例2.1-2 測量兩個電壓，其實際值為U1=100V，U2=5V；而測得值分別為101V和6V。則絕對誤差為 U1 = 101-100 = 1(V) U2 = 6-5 = 1(V) 二者的絕對誤差相同，但其誤差的影響不同，前者比后者測量準(zhǔn)確。因此應(yīng)當(dāng)采用相對誤差來表征這一特點(diǎn)。,(2.1-6),(2.1-7),(2.1-5),相對誤差又可分為實際相對誤差和示值相對誤差。

9、 實際相對誤差( A )定義為, 示值相對誤差( x )也叫標(biāo)稱相對誤差，定義為,3. 相對誤差 相對誤差( 0 )定義為,如果測量誤差不大，可用示值相對誤差x代替實際誤差A(yù)，但若和A相差較大，兩者應(yīng)加以區(qū)別。, 滿度相對誤差 滿度相對誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對誤差xm與測量儀器滿度值(量程上限值 ) xm的百分比值,(2.1-8),滿度相對誤差也叫作滿度誤差和引用誤差。 由式(2.l-8)可以看出，通過滿度誤差實際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值，即,(2.1-9),一般講，測量儀器在同量程不同示值處的絕對誤差實際上未必處處相等，但對使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能

10、按最壞情況處理，即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對誤差是個常數(shù)且等于xm，人們把這種處理叫作誤差的整量化。 由式(2.l-7)和(2.1-9)可以看出，為了減小測量中的示值誤差，在進(jìn)行量程選擇時應(yīng)盡可能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿度值的23為宜。 電工儀表用引用誤差(m)來劃分準(zhǔn)確度等級S：0.1, 0.2,0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0。例S=1， m1%。,例2.1-3 某1.0級電流表，滿度值xml00A，求測量值分別為x1100A，x280A，x320A時的絕對誤差和示值相對誤差。 解：由式(2.l-9)得到絕對誤差,前已敘述，可以認(rèn)為絕對誤差是不隨測量值改

11、變的。 而測得值分別為100A、80A、20A時的示值相對誤差各不相同，分別為,可見在同一量程內(nèi)，測得值越小，示值相對誤差越大。 由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，測量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時，二者才相等(不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差)，否則測得值的準(zhǔn)確度數(shù)值將低于儀表的準(zhǔn)確度等級。,例2.1-4 要測量100的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為0300和l.0級、測量范圍為0l00的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。 解：對于0.5級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差,按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對誤 差x1=xm1=1.5，因此示值相對誤

12、差,同樣可算出用l.0級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差,可見用1.0級低量程溫度計測量所產(chǎn)生的示值相對誤差反而小一些，因此選l.0級溫度計較為合適。 在實際測量操作時，一般應(yīng)先在大量程下，測得被測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測量，以盡可能減小相對誤差。, 分貝誤差 分貝誤差是用對數(shù)形式表示的一種誤差，常用于表示增益(衰減)或聲強(qiáng)等傳輸函數(shù)的值，單位為分貝(dB) 。 設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(比如放大器，或衰減器)輸入、輸出電壓的測得值分別為Ui和Uo，則電壓增益Au的測得值為,(2.1-10),用對數(shù)表示為,(2.1-11),Gx稱為增益測得值的分貝值。,設(shè)A為電壓增益實際值，其

13、分貝值G=20lgA 由式(2.1-2)及(2.1-11)，有,(2.1-12),(2.1-13),由此得到增益誤差,(2.1-14),令 ，則式(2.1-14)可寫成,(2.1-15),上式即為分貝誤差的一般定義式。 若測量的是功率增益，分貝誤差定義為,(2.1-16),例2.1-5 某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui1.2mV時，測得輸出電壓Uo6 000mV，設(shè)Ui誤差可忽略，Uo的測量誤差 2 = 3%，求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差A(yù)，相對誤差 x 及分貝誤差 dB 。 解：電壓放大倍數(shù),電壓增益的分貝值,輸出電壓絕對誤差,因忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對誤

14、差,電壓增益相對誤差,電壓增益分貝誤差,實際電壓分貝增益,如果在測量中，使用的儀器是用分貝作單位，則分貝誤差直接按 x = x A 來計算。例如某衰減器標(biāo)稱值為20dB，經(jīng)檢定為20.5dB，則其分貝誤差dB為,2.1.3 容許誤差 測量儀器的誤差是產(chǎn)生測量誤差的主要因素。為了保證儀器示值的準(zhǔn)確，必須在出廠時由檢驗部門對其誤差進(jìn)行檢驗。容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。容許誤差有時就稱作儀器誤差，它是衡量電子測量儀器質(zhì)量的最重要的指標(biāo)。 在14節(jié)曾敘及的電子測量儀器的精度和穩(wěn)定性等，都可用儀器的容許誤差來表征。我國部頒標(biāo)準(zhǔn)電子測量儀器誤差的一般規(guī)定中規(guī)定：

15、用工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差等四項指標(biāo)來描述電子測量儀器的容許誤差。,l. 工作誤差 工作誤差是在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為任意可能的組合時，儀器誤差可能達(dá)到的最大極限值。 這種表示方法的優(yōu)點(diǎn)是， 對使用者非常方便，可以利用工作誤差直接估計測量結(jié)果誤差的最大范圍。 缺點(diǎn)是，工作誤差是在最不利的組合條件下給出的，而實際使用中構(gòu)成最不利組合的可能性很小。因此，用儀器的工作誤差來估計測量結(jié)果的誤差會偏大。,2. 固有誤差 固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件(參見表2.1-1)時，儀器所具有的誤差。這些基準(zhǔn)條

16、件是比較嚴(yán)格的，所以這種誤差能夠更準(zhǔn)確地反映儀器所固有的性能，便于在相同條件下，對同類儀器進(jìn)行比較和校準(zhǔn)。,表2.1-1 電子測量設(shè)備的基準(zhǔn)條件,3. 影響誤差 影響誤差是當(dāng)一個影響量在其額定使用范圍內(nèi)(或一個影響特性在其有效范圍內(nèi))取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件時所測得的誤差。例如溫度誤差、頻率誤差等。只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時才給出，它是一種誤差的極限。 4. 穩(wěn)定誤差 穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。習(xí)慣上以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時間。,例如，DS-33型交流數(shù)字電壓

17、表標(biāo)注的容許誤差： (1) 工作誤差：50Hz1MHz, 10mV1V量程為(1.5%讀數(shù)滿量程的0.5%)； (2) 固有誤差：1kHz, 1V時為0.4%讀數(shù)1個字； (3)溫度影響誤差： 1kHz, 1V時溫度系數(shù)為10-4/； 頻率影響誤差：50Hz1MHz為(0.5%讀數(shù)滿量程的0.1%)； (4) 穩(wěn)定誤差： 在溫度-10 +40 ，相對濕度80%以下，大氣壓為86106kPa的環(huán)境內(nèi)，連續(xù)工作7小時。,例2.1-6 用4位半數(shù)字電壓表2V檔和200V檔測量1V電壓，該電壓表各檔容許誤差均為0.03%讀數(shù)1個字，試分析用上述兩檔分別測量時的相對誤差。 解：用2V檔測量，絕對誤

18、差為,式中前一項是容許誤差的相對值部分，后一項是絕對值部分即幾個字誤差，此時后者影響較小，測量數(shù)值(顯示值)為0.999 6到1.000 4V間，有效顯示數(shù)字是四位到五位。相對誤差為,用200V檔測量，絕對誤差為,此時1個字誤差占了誤差的絕大部分(為了便于觀察，10010未按科學(xué)計數(shù)法規(guī)定寫成1.010-2，由于此時最末位1個字誤差或最末位為l時代表的數(shù)值是10mV或0.01V，因此此時電壓表顯示為0.991.01V，顯示有效數(shù)字為二到三位。相對誤差為,2.2 測量誤差的來源,1. 儀器誤差 儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機(jī)械部

19、件磨損、疲勞等因素而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。 儀器誤差細(xì)分為：讀數(shù)誤差，包括出廠校準(zhǔn)定度不準(zhǔn)確產(chǎn)生的校準(zhǔn)誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差(l個字誤差)； 儀器內(nèi)部噪聲引起的噪聲誤差； 元器件疲勞、老化及周圍環(huán)境變化造成的穩(wěn)定誤差； 儀器響應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動態(tài)誤差；探頭等輔助設(shè)備帶來的其他方面的誤差。,減小儀器誤差的主要途徑是根據(jù)具體測量任務(wù)，正確地選擇測量方法和使用測量儀器，包括要檢查所使用的儀器是否具備出廠合格證及檢定合格證，在額定工作條件下按使用要求進(jìn)行操作等。 量化誤差是數(shù)字儀器特有的一種誤差，減小由它帶給測量結(jié)果準(zhǔn)確度的影響的辦法是設(shè)法使儀器顯示

20、盡可能多的有效數(shù)字。,2. 影響誤差 影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。 對于電子測量而言，最主要的影響因素是環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等。當(dāng)環(huán)境條件符合要求時，影響誤差通?？刹挥杩紤]。但在精密測量及計量中，需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理。,3. 人身誤差 人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等而對測量實驗中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。例如指針式儀表刻度的讀取，諧振法測量L、C、Q時諧振點(diǎn)的判斷等，都很容易產(chǎn)生誤差。 減小人身誤差的主要途徑有：提高測量者的操作

21、技能和工作責(zé)任心；采用更合適的測量方法；采用數(shù)字式顯示的客觀讀數(shù)以避免指針式儀表的讀數(shù)視差等。,4. 使用誤差 使用誤差又稱操作誤差，是由于對測量設(shè)備操作使用不當(dāng)而造成的誤差。 例如，有些設(shè)備要求正式測量前進(jìn)行預(yù)熱而未預(yù)熱；有些設(shè)備要求水平放置而傾斜或垂直放置；有的測量設(shè)備要求實際測量前須進(jìn)行校準(zhǔn)(例如：普通萬用表測電阻時應(yīng)校零，用示波器觀測信號的幅度前應(yīng)進(jìn)行幅度校準(zhǔn)等)而未校準(zhǔn)，等等。 減小使用誤差的最有效途徑是提高測量操作技能，嚴(yán)格按照儀器使用說明書中規(guī)定的方法步驟進(jìn)行操作。,5、方法誤差 由于測量方法不合理所造成的誤差稱為方法誤差。 例如，用普通萬用表測量高內(nèi)阻回路的電壓，由于萬用

22、表的輸入電阻較低而引起的誤差。 測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y量計算公式不適當(dāng)簡化等原因而造成的誤差稱為理論誤差。 例如當(dāng)用平均值檢波器測量交流電壓時，平均值檢波器輸出正比于被測正弦電壓的平均值U，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系：,(2.2-1),式中 ，稱為定度系數(shù)。由于 和 均為無理數(shù)，因此當(dāng)用有效值定度時，只好取近似公式,(2.2-2),顯然兩者相比，就產(chǎn)生了誤差，這種由于計算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差.,2.3 誤差的分類,根據(jù)誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。 1. 系統(tǒng)誤差 在多次等精度測量同一量

23、值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當(dāng)條件改變時按某種規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。 (1) 如果系統(tǒng)誤差的大小、符號不變而保持恒定，則稱為恒定系統(tǒng)誤差，否則稱為變值系統(tǒng)誤差。變值系統(tǒng)誤差又可分為累進(jìn)性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,圖2.3-1 系統(tǒng)誤差的特征 a-恒定系統(tǒng)誤差；b-累進(jìn)性系統(tǒng)誤差； c-周期性系統(tǒng)誤差； d-屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,0,(2) 系統(tǒng)誤差的主要特點(diǎn)是，測量條件一經(jīng)確定，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測量取平均值的辦法不能改變或消除誤差，具有可重復(fù)性。 系統(tǒng)誤差體現(xiàn)測量的準(zhǔn)確度，系統(tǒng)誤差小，表明測量的準(zhǔn)確度高。,(3) 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要

24、原因有： 測量儀器設(shè)計原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心，使用過程中零點(diǎn)漂移，安放位置不當(dāng)?shù)取?測量時的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致等。 采用近似的測量方法或近似的計算公式等。 測量人員估計讀數(shù)時習(xí)慣偏于某方向等原因所引起的誤差。,2. 隨機(jī)誤差 (1) 隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指相同條件下對同一量值進(jìn)行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預(yù)定的方式無規(guī)則變化的誤差。 (2) 就單次測量而言，隨機(jī)誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，其總體服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。,圖2.3-2 隨機(jī)誤差i的正態(tài)分布

25、曲線,隨機(jī)誤差的特點(diǎn)： 有界性 對稱性 抵償性,隨機(jī)誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度，隨機(jī)誤差小，則精密度高。,(3) 產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因包括： 測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。 溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干擾，地基振動等。 測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。,3. 粗大誤差 (1) 在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差。 (2) 含有粗大誤差的測得值稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不用，它不能反映被測量的真實數(shù)值。,(3) 產(chǎn)生粗大誤差的主要原因有： 測量方法不當(dāng)或錯誤。例如用普通

26、萬用表電壓檔直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓檔測量高頻交流信號的幅值等. 測量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯讀數(shù)或單位，或記錄及計算錯誤等. 測量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾，機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機(jī)性，但由于它造成的示值明顯偏離實際值，因此將其列入粗大誤差范疇。,圖2.3-3 三種誤差同時存在的示意圖,以上三種誤差同時存在的情況，可以用圖2.3-3表示， 其中A 0表示真值；小黑點(diǎn)表示各次測量值xi；i表示隨機(jī)誤差；表示系統(tǒng)誤差，xk表示壞值。,上述誤差的劃分只是相對的，它們在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。例如

27、當(dāng)電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時，可按隨機(jī)誤差取平均值的辦法加以處理，而當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時，可按系統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理。,誤差處理方法： 剔除：剔除含有粗大誤差的測量值； 求平均值：對于隨機(jī)誤差采用統(tǒng)計學(xué)求平均值的方法來消弱它的影響； 標(biāo)定+修正：對于系統(tǒng)誤差，需在測量工作前或在測量工作過程中采取一定的技術(shù)措施（例如，標(biāo)定+修正）來減小它的影響。,2.4 隨機(jī)誤差分析,如前所述，多次等精度測量時產(chǎn)生的隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。本節(jié)從工程應(yīng)用角度，利用概率統(tǒng)計的一些基本結(jié)論，研究隨機(jī)誤差的表征及對含有隨機(jī)誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。,2.4.1 測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 1.

28、數(shù)學(xué)期望 設(shè)對被測量x進(jìn)行n次等精度測量，得到n個測得值,由于隨機(jī)誤差的存在，這些測得值也是隨機(jī)變量。 定義n個測得值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值為,(2.4-1),(2.4-2),式中 Ex 也稱作總體平均值。,假設(shè)上面測得值中不含粗大誤差，則,，即,，即,,隨機(jī)誤差,系統(tǒng)誤差,絕對誤差,即絕對誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和。,(2.4-3),若一組測量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng)誤差和粗大誤差時，有,即當(dāng)消除了系統(tǒng)誤差之后，隨機(jī)誤差就等于絕對誤差。,(2.4-4),圖2.4-1 用射擊比喻測量,例：用射擊比喻測量，圖2.4-1中射擊(a)(d) ，哪些不含系統(tǒng)誤差？,2. 隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值,

29、(2.4-5),即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于0。,實際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時近似認(rèn)為,(2.4-6),(2.4-7),即,由此可見，在僅有隨機(jī)誤差的情況下，當(dāng)測量次數(shù)n足夠多時，測量值的平均值接近于真值，因此，通常將經(jīng)多次等精密度測量的算術(shù)平均值作為真值的最佳估計，即,(2.4-8),3. 殘差 各次測得值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差或殘差：,對上式兩邊分別求和，有,(2.4-10),4. 方差與標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)誤差反映了實際測量的精密度即測量值的分散程度。由于隨機(jī)誤差的抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來估計測量的精密度，而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。 方差定

30、義為 時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即,(2.4-11),因為隨機(jī)誤差 ，故,(2.4-12),由于實際測量中i都帶有單位(mV，A等)，因而方差2是相應(yīng)單位的平方，使用不方便。 將式(2.4-12)兩邊開方取正平方根，得,(2.4-13),式中定義為測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差，也稱標(biāo)準(zhǔn)偏差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)差。 反映了測量的精密度， 小表示精密度高，測量值集中，大表示精密度低，測量值分散。,2.4.2 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布 1. 正態(tài)分布 理論和測量實踐都證明，測得值xi與隨機(jī)誤差i都按一定的概率出現(xiàn)。在大多數(shù)情況下，測得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的

31、增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機(jī)誤差上，等于零的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機(jī)誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測得值和隨機(jī)誤差的這種統(tǒng)計分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布，如圖2.4-1和圖2.4-2所示。,圖2.4-2 xi的正態(tài)分布曲線,圖2.4-3 i的正態(tài)分布曲線,(2.4-15),(2.4-16),由圖2.4-3可以看到如下特征： 愈小， 愈大，說明絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小，隨著的加大， 很快趨于零，即超過一定界限的隨機(jī)誤差實際上幾乎不出現(xiàn)(隨機(jī)誤差的有界性)； 大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等(隨機(jī)誤差的對稱性和抵償性)。

32、愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測量值愈集中，精密度高，反之愈大，曲線愈平坦，表明測量值分散，精密度低。,正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由眾多相互獨(dú)立的因素的隨機(jī)微小變化所造成的隨機(jī)誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。,2. 極限誤差 對于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，根據(jù)式(2.4-16)，可以算出隨機(jī)誤差落在 -, + 區(qū)間的概率為,(2.4-17),該結(jié)果的含義：在進(jìn)行大量等精度測量時，隨機(jī)誤差i落在-, +區(qū)間的測得值的數(shù)目占測量總數(shù)目的68.3，或者說，測得值落在 -, + 范圍(該范圍稱為置信區(qū)間)內(nèi)的概率(在概率論中稱為置信概率

33、)為0.683。,(2.4-18),(2.4-19),同樣可以求得隨機(jī)誤差落在 2和3范圍內(nèi)的概率為,即當(dāng)測得值xi的置信區(qū)間為Ex-2, Ex+ 2和 Ex-3, Ex+ 3 時的置信概率分別為0.954和0.997。由式(2.4-19)可見，隨機(jī)誤差絕對值大于3的概率(可能性)僅為0.003或0.3，實際上出現(xiàn)的可能極小，因此定義極限誤差為,(2.4-20),(2.4-21),3. 貝塞爾（Bessel）公式 前面分析的標(biāo)準(zhǔn)差是在n條件下導(dǎo)出的。 實際測量時n為有限次，我們改用殘差來近似或代替真正的隨機(jī)誤差i，用 表示有限次測量時標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計值，可以證明,這就是貝塞爾公式。式中，(

34、n-1) 稱為自由度。 當(dāng)nl時， 值不定，表明一次測量的數(shù)據(jù)是不可靠。,2.4.3 均勻分布 1. 均勻分布的概率分布 在測量實踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2.4-3所示。均勻分布的特點(diǎn)是，在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。,圖2.4-4 均勻分布的概率密度,(2.4-22),均勻分布誤差在電子測量中主要有下列幾種情況： 儀表度盤刻度誤差。由于儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)，所有的測量值可以認(rèn)為是一個值。例如用500V量程交流電壓表測得值是220V，在219V221 V之間分辨不清，在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有相同的誤差概率。 數(shù)字顯示

35、儀表的最低位“l(fā)(或幾)個字”的誤差。例如末位顯示為5，實際值可能是4或6間，也認(rèn)為在此范圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計中都有這種現(xiàn)象。 由于舍入引起的誤差。舍去的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是5或4或3或2或1，被進(jìn)位的可以認(rèn)為是59中任何一個。,2. 均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差,(2.4-23),(2.4-24),方差,標(biāo)準(zhǔn)差,(2.4-25),數(shù)學(xué)期望,2.5 系統(tǒng)誤差分析,2.5.1 系統(tǒng)誤差的特性 排除粗大誤差后，測量誤差等于隨機(jī)誤差 和系統(tǒng)誤差 的代數(shù)和,(2.5-1),假設(shè)進(jìn)行n次等精度測量時系統(tǒng)誤差不變，則xi 的算術(shù)平均值為

36、,(2.5-2),當(dāng)n足夠大時，由于隨機(jī)誤差的抵償性，i 的算術(shù) 平均值趨于零，因此，,(2.5-3),可見，當(dāng)系統(tǒng)誤差 與隨機(jī)誤差 i 同時存在時，若測量次數(shù) n 足夠大，則絕對誤差的算術(shù)平均值等于系統(tǒng)誤差。這說明測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)，更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。由于系統(tǒng)誤差不易被發(fā)現(xiàn)，所以更須重視，由于它不具備抵償性，所以取平均值對它無效，又由于系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因復(fù)雜，因此處理起來比隨機(jī)誤差還要困難。 消弱或消除系統(tǒng)誤差的影響，必須仔細(xì)分析其產(chǎn)生的原因，根據(jù)所研究問題的特殊規(guī)律，依賴測量者的學(xué)識和經(jīng)驗，采取不同的處理方法。,2.5.2 系統(tǒng)誤差的判斷 實際測量中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因

37、多種多樣，系統(tǒng)誤差的表現(xiàn)形式也不盡相同，但仍有一些辦法可用來發(fā)現(xiàn)和判斷系統(tǒng)誤差. 1. 理論分析法 凡屬由于測量方法或測量原理引入的系統(tǒng)誤差，不難通過對測量方法的定性定量分析發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，甚至計算出系統(tǒng)誤差的大小。例如用內(nèi)阻不高的電壓表測量高內(nèi)阻電源電壓就是一例。,2. 校準(zhǔn)和比對法 當(dāng)懷疑測量結(jié)果可能會有系統(tǒng)誤差時，可用準(zhǔn)確度更高的測量儀器進(jìn)行重復(fù)測量以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。測量儀器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定證書中給出修正值，目的就是發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進(jìn)行測量時的系統(tǒng)誤差。 也可以采用多臺同型號儀器進(jìn)行比對，觀察比對結(jié)果以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，但這種方法通常不能查覺和衡量理論誤差

38、。,3. 改變測量條件法 系統(tǒng)誤差常與測量條件有關(guān)，如果能改變測量條件，比如更換測量人員、測量環(huán)境、測量方法等，根據(jù)對分組測量數(shù)據(jù)的比較，有可能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。 上述2、3兩種方法都屬于實驗對比法，一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系統(tǒng)誤差。 4殘差觀察法 殘差觀察法是根據(jù)測量數(shù)據(jù)數(shù)列各個殘差的大小、符號的變化規(guī)律，以判斷有無系統(tǒng)誤差。,為了直觀，通常將殘差繪成曲線，如圖2.5-1所示。,圖2.5-1 運(yùn)用殘差觀察法判別系統(tǒng)誤差,殘差觀察法主要用來發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差。,5. 公式判斷法 通常有馬林科夫判據(jù)和阿卑-赫梅特(Abbe-Helmert)判據(jù)，分別用于判定有無累進(jìn)性系統(tǒng)誤差和周期性系

39、統(tǒng)誤差，具體參見教材P31。,2.5.3 減少或消除系統(tǒng)誤差的方法 1. 消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多，如果能找出并消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源或采取措施防止其影響，那將是解決問題的最根本辦法。例如：所采用的測量方法和依據(jù)的原理是正確的，所選用的儀器儀表類型正確，準(zhǔn)確度滿足測量要求，如要測量工作于高頻段的電感電容， 應(yīng)選用高頻參數(shù)測試儀(如LCCG-l高頻LC測量儀)，而測量工作于低頻段的電感電容就應(yīng)選用低頻參數(shù)測試儀(如WQ-5電橋、QSl8A萬能電橋)。,測量儀器應(yīng)定期檢定、校準(zhǔn)，測量前要正確調(diào)節(jié)零點(diǎn)，應(yīng)按操作規(guī)程正確使用儀器，尤其對于精密測量，測量環(huán)境（溫度、濕度

40、、大氣壓、交流電源及電磁干擾等）的影響不能忽視，必要時應(yīng)采取穩(wěn)壓/恒溫、電磁屏蔽等措施。 條件許可時，可盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器，以減小由于刻度不準(zhǔn)及分辨力不高等因素帶來的系統(tǒng)誤差。 提高測量人員的學(xué)識水平、操作技能，去除一些不良習(xí)慣，盡量消除帶來系統(tǒng)誤差的主觀原因。,2. 用修正法減小系統(tǒng)誤差 預(yù)先將測量儀器的系統(tǒng)誤差檢定出來，整理出誤差表格或誤差曲線，作為修正值，與測量值相加，即可得到基本上不包含系統(tǒng)誤差的結(jié)果。這是一般測量儀表常用方法。 由于修正值本身還有一定的誤差，因而這種方法主要應(yīng)用于工程測量。,3. 減小系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù) (1) 零示法 將待測量與已知標(biāo)

41、準(zhǔn)量相比較，當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時，零示器示值為0，此時已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。 電位差計是采用零示法的典型例子，圖2.5-2是電位差計的原理圖，其中EB為標(biāo)準(zhǔn)電壓源，RB為標(biāo)準(zhǔn)電阻，Ex為待測電壓，G為零示器(常用檢流計)。,圖2.5-2 電位差計原理圖,調(diào)節(jié)RB使IG0，則被測電壓UXUB，即,(2.5-4),該方法的優(yōu)點(diǎn)是： (1) 在測量過程中只需判斷檢測檢流計 G 有無電流，不需要讀數(shù)，因此只要求它具有足夠的靈敏度，而測量的準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)量（EB 、 R1、R2）。 (2) 測量回路無電流，導(dǎo)線上無壓降，因此誤差很小。 缺點(diǎn)：需要穩(wěn)定而準(zhǔn)確的直流電源 EB 及標(biāo)準(zhǔn)電位

42、器RB。,可用于零示法的零示器的種類很多，有光電檢流計、電流表、電壓表、示波器、調(diào)諧指示器、耳機(jī)等，只要零示器的靈敏度足夠高，測量的準(zhǔn)確度基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度，而與零示器的準(zhǔn)確度無關(guān)，從而可消除由于零示器不準(zhǔn)所帶來的系統(tǒng)誤差。 可見，零示法是減小測量誤差的一種較好的方法，因此廣泛應(yīng)用于阻抗測量(各類電橋)、電壓測量(電位差計及數(shù)字電壓表)、頻率測量(拍頻法、差頻法)及其他參數(shù)的測量中。,(2) 替代法 替代法又稱置換法。它是在測量條件不變的情況下，用一已知標(biāo)準(zhǔn)量替代待測量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而使儀器的示值不變，于是標(biāo)準(zhǔn)量的值即等于被測量值。 由于替代前后整個測量系統(tǒng)及儀器示值均未改變，因

43、此測量中的恒定系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果不產(chǎn)生影響，測量準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量的準(zhǔn)確度及指示器靈敏度。,圖2.5-3是替代法在精密電阻電橋中的應(yīng)用實例。 首先接入未知電阻Rx，調(diào)節(jié)電橋使之平衡，此時有,(2.5-5),然后用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻RB(如標(biāo)準(zhǔn)電阻箱)代替Rx，并在保持 R1R3不變的情形下通過調(diào)節(jié)RB使電橋重新平衡，則,(2.5-6),(2.5-7),因此，,圖2.5-3 替代法測量電阻,由于不改變原電路的工作環(huán)境，其內(nèi)部特性及外界因素所引起儀器示值的誤差，對測量結(jié)果不產(chǎn)生影響，所以它是一種比較精密的測量方法。 這種方法的局限性在于需要一套參數(shù)可調(diào)的標(biāo)準(zhǔn)器件，且只能用于替換參數(shù)的場合。,(3

44、) 微差法 微差法又叫虛零法或差值比較法，實質(zhì)上是一種不徹底的零示法。在零示法中須仔細(xì)調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量 B 使之與 x 相等，通常這很費(fèi)時間，有時甚至不可能做到。微差法是允許標(biāo)準(zhǔn)量 B 與被測量 x 的效應(yīng)不完全抵消，而是相差一微小量，如圖2.5-4所示。設(shè) xB，則x=B+。,圖2.5-4 微差法原理框圖,x 的示值相對誤差為,（2.5-9）,（2.5-10）,x 的絕對誤差為,（2.5-8）,由于<< B < x，則B+ B ，令，得,可見，測量誤差 主要由標(biāo)準(zhǔn)量的相對誤差B/B決定，而與測量儀器的示值誤差關(guān)系 較小。,2.6 測量誤差的合成與分配,前面誤差計算問題是關(guān)于直接測量的誤差，

45、而在很多場合下，由于進(jìn)行直接測量有困難或直接測量難以保證準(zhǔn)確度，需要采用間接測量。 通過直接測量與被測量有一定函數(shù)關(guān)系的其他參數(shù)，再根據(jù)函數(shù)關(guān)系算出被測量。在這種測量中，測量誤差是各個測量值誤差的函數(shù)。研究這種函數(shù)誤差有兩個方面的內(nèi)容，即誤差的合成與分配。,(1) 誤差合成問題：已經(jīng)被測量與各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系及各測量值的誤差，求函數(shù)的總誤差。例如，在間接測量中功率、電能、增益等量值的測量，一般都是通過電壓、電流、電阻及時間等直接測量值計算出的，如何用各分項誤差求出總誤差是經(jīng)常遇到的問題。 (2) 誤差分配問題：已經(jīng)各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系及對總誤差的要求，分別確定各個參數(shù)測量的誤差。誤差分配問題

46、在實際測量中具有重要意義。例如：制訂測量方案時，當(dāng)總誤差由測量任務(wù)被限制在某一允許范圍內(nèi)時，如何確定各參數(shù)的允許界限？,2.6.1 測量誤差的合成 設(shè)最終測量結(jié)果為y，各分項測量值為x1, x2, , xn, 且滿足函數(shù)關(guān)系，則 y=f(x1, x2, , xn) 假設(shè)各xi間彼此獨(dú)立，xi的絕對誤差為xi, y的絕對誤差為y，則y+y=f(x1+x1, x2+x2, , xn+xn ） 用泰勤公式展開，,(2.6-1),因為x<

47、遞系數(shù)。,(2.6-3),此式即相對誤差傳遞公式。 式(2.6-2)及式(2.6-3)是誤差理論的基本公式。,2.6.2 常用函數(shù)的合成誤差 1. 和差函數(shù)的合成誤差 設(shè) y = x1x2,利用式(2.6.2)得到絕對誤差,(2.6-7),當(dāng)x1、x2符號不能確定時，從最大誤差考慮，有,(2.6-8),利用相對誤差定義或式(2.6.3)得到相對誤差,(2.6-9),若誤差符號不能確定，則對于和函數(shù)，,(2.6-10),(2.6-11),對于差函數(shù),由式(2.6-11)可見，對于差函數(shù)，當(dāng)測得值x1、x2比較接近時，可能造成較大的誤差。,例2.6-1 用指針式頻率計測量放大電路的頻帶寬度，儀器的

48、滿度值fm10MHz，準(zhǔn)確度1，測得高端截止頻率fh 10MHz，低端截止頻率fl 9MHz，試計算頻帶寬度的合成誤差。 解：儀器的最大絕對誤差,因此，,頻帶寬度 B = fh-fl 的相對誤差：,由此可見，所用儀器為1.0級，準(zhǔn)確度已很高，但最終測量結(jié)果的相對誤差卻很大。這是由于fh、fl比較接近的緣故，屬于測量方法不當(dāng)，應(yīng)利用掃頻儀等來測量。,2. 積函數(shù)的合成誤差 設(shè) y = x1x2，由式(2.6-2) 得到絕對誤差,由式(2.6-3) 得到相對誤差,(2.6-12),(2.6-13),(2.6-14),若 都有正負(fù)號，則,3商函數(shù)的合成誤差 設(shè) y = x1/x2，

49、由式(2.6-2) 得到絕對誤差,由式(2.6-3) 得到相對誤差,(2.6-15),(2.6-16),(2.6-17),若 都有正負(fù)號，則,4冪函數(shù)的合成誤差 設(shè),(2.6-18),(2.6-19),若 都有正負(fù)號，則,5積商冪函數(shù)的合成誤差 設(shè) ，式中k、m、n、p均為常數(shù)，綜合上述各函數(shù)合成誤差公式，直接得到,(2.6-20),當(dāng) 都有正負(fù)號時，有,(2.6-21),2.6.3 系統(tǒng)誤差的合成 1. 確定性系統(tǒng)誤差的合成 對于誤差大小符號均已確定的系統(tǒng)誤差，可直接由誤差傳遞公式進(jìn)行合成。,(2.6-22),當(dāng)隨機(jī)誤差i不計時，xi=i+i=

50、i，則,(2.6-23),例2.6-2 有5個1000的電阻串聯(lián)，若各電阻的系統(tǒng)誤差分別為 1= -4， 2= 5， 3= -3， 4= 6， 5= 4，求總電阻的相對誤差R。 解：總電阻：R=R1+R2+R3+R4+R5=5000 假設(shè)隨機(jī)誤差不計，則,相對誤差,(2.6-19),(2.6-20),2. 系統(tǒng)不確定度 系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用 表示，相對系統(tǒng)不確定度用 表示，例如測量儀器的基本誤差、工作誤差等都屬此類。 (1) 絕對值合成法,(2.6-21),(2) 均方根合成法,(2.6-22),(2.6-23),一般情況下(積函數(shù)),(2.6-24),例2.

51、6-3 體育運(yùn)動會上，一人用秒表對一名短跑運(yùn)動員計時。設(shè)起跑及終點(diǎn)最大計時誤差均為0.03s，試求總的不確定性系統(tǒng)誤差。 解： 用絕對值合成法 用均方根合成法 一般地說，以誤差0.04s較為合理。,2.7 測量數(shù)據(jù)處理,2.7.1 有效數(shù)字的處理 1. 有效數(shù)字 由于測量數(shù)據(jù)或者用測量數(shù)據(jù)得到的算術(shù)平均值都含有誤差，是近似值。因此定義測量數(shù)據(jù)通常從誤差角度來定義，即它的絕對誤差不大于末位數(shù)字單位的一半時，從它左邊第一個不為0的數(shù)字算起，到右面最后一個數(shù)字(包括0)止。,判別以下測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和極限誤差： 3.1416，3.142，8700，87102 ， 0.087 ， 0.807 解

52、： 3.1416 5位有效數(shù)字， 極限(絕對)誤差0.000 05 3.142 4位有效數(shù)字， 極限誤差0.000 5 8 700 4位有效數(shù)字， 極限誤差0.5 87102 二位有效數(shù)字， 極限誤差0.5102 0.087 2位有效數(shù)字， 極限誤差0.000 5 0.807 3位有效數(shù)字， 極限誤差0.000 5,2. 數(shù)據(jù)舍入規(guī)則 對測量結(jié)果中的多余有效數(shù)字，應(yīng)按下面的舍入規(guī)則進(jìn)行： 以保留數(shù)字的末位為單位，它后面的數(shù)字若大于0.5單位，末位進(jìn)l；小于0.5個單位，末位不變；恰為0.5個單位，則末位為奇數(shù)時進(jìn)位，末位為偶數(shù)時不變，即使末位湊成偶數(shù)。簡單概括為“小

53、于5舍，大于5入，等于5時采取偶數(shù)法則”。,例2.7-1 將下列數(shù)字保留到小數(shù)點(diǎn)后一位：l2.341，l2.351，l2.350，l2.450。 解：12.341l2.3 (45， 進(jìn)一) l2.350 12.4 (3是奇數(shù)，5入) 12.450 12.4 (4是偶數(shù)，5舍),可見，這種規(guī)則使數(shù)據(jù)尾數(shù)為偶數(shù)的機(jī)會變大，而偶數(shù)在做除數(shù)時被除盡的機(jī)會比奇數(shù)多一些，可以減小計算機(jī)上的誤差。,根據(jù)數(shù)據(jù)舍入規(guī)則，每個數(shù)字經(jīng)舍入后，末位是欠準(zhǔn)數(shù)字，末位之前是準(zhǔn)確數(shù)字，最大舍入誤差是末位的一半。因此當(dāng)測量結(jié)果未注明誤差時，就認(rèn)為最末一位數(shù)字有“0.5”誤差，稱為“0.5誤差原則”。,3. 測

54、量結(jié)果有效數(shù)字的處理原則 測量過程中，由于存在誤差，測量結(jié)果數(shù)字的位數(shù)不能寫得太多，太多會夸大了測量的準(zhǔn)確度，當(dāng)然位數(shù)也不宜太少，太少會帶來附加誤差。 測量結(jié)果有效數(shù)字的處理原則是：根據(jù)測量的準(zhǔn)確度來確定有效數(shù)字位數(shù)（允許保留一位欠準(zhǔn)數(shù)字），與誤差的大小相對應(yīng)，再根據(jù)數(shù)據(jù)舍入規(guī)則將有效位以后的數(shù)字舍去。,例2.7-2 用一臺0.5級電壓表100V量程檔測量電壓，指示值為85.35V，試確定有效位數(shù)。 解：該表在100V檔最大絕對誤差,由于誤差為0.5V，根據(jù)“0.5誤差原則”，示值85.35V的末位應(yīng)是整數(shù)，所以測量結(jié)果應(yīng)寫成兩位有效數(shù)字。根據(jù)數(shù)據(jù)舍入規(guī)則，數(shù)據(jù)末尾0.35<0.5，所以

55、不標(biāo)注誤差的報告值應(yīng)為85V。,一般習(xí)慣于將測量結(jié)果的末位與絕對誤差對齊，因此給出標(biāo)注誤差的報告值時為85.4V0.5V。這樣就保留了兩位欠準(zhǔn)數(shù)字。,4. 有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則 當(dāng)需要對幾個測量數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算時，要考慮有效數(shù)字保留多少位的問題，以便不使運(yùn)算過于麻煩而又能正確反映測量的精確度。保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中精度最差的那一項。 (1) 加法運(yùn)算 以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)(各項無小數(shù)點(diǎn)則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn))，其余各數(shù)可多取一位。例如：,,,(2) 減法運(yùn)算 當(dāng)相減兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時，原則同加法運(yùn)算，當(dāng)兩數(shù)很接近時，有可能造成很大的相對誤差(見2. 6 例2.6-1)

56、，因此第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測量方法，第二在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字。 (3) 乘除法運(yùn)算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：,為了保證必要的精度，參與乘除法運(yùn)算的各數(shù)及最終運(yùn)算結(jié)果也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如將上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。,35和36，哪個正確？,(4)乘方、開方運(yùn)算 運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：,2.7.2 等精度測量結(jié)果的處理 當(dāng)對某一量進(jìn)行等精度測量時，測量值中可能含有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和疏失誤差，為了給出正確合理的

57、結(jié)果，應(yīng)按下述基本步驟對測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理: 利用修正值等辦法修正測量值，并將已減弱恒值系統(tǒng)誤差影響的各數(shù)據(jù)xi依次列成表格。 求出算術(shù)平均值 式中 可能包含粗大誤差在內(nèi)的平均值。, 計算殘差 ，并驗證 。, 按以 的原則，檢查和剔除粗大誤差。如果存在壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不用，而后從開始重新計算，直到所有 為止。, 利用貝塞爾公式計算標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值：, 判斷有無系統(tǒng)誤差。如有，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量。 求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的最佳估計值： 寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即,例2.7-3 對某電壓進(jìn)行了16次等精密度測量，測量數(shù)據(jù)中已計入修

58、正值，列于表2.7-1，要求給出包括誤差(即不確定度)在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。,表2.7-1 電壓測量值處理(P42),解： 求出算術(shù)平均值 計算殘差 ，并列于表中。 計算標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值：, 按著 判斷有 ，查表中第5個數(shù)據(jù) ，應(yīng)將此對應(yīng) 視為壞值加以剔除，現(xiàn)剩下15個數(shù)據(jù)。 重新計算剩余15個數(shù)據(jù)的平均值：,重新計算各殘差 列于表中。 重新計算標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值,按 再判有無壞值， ，各 均小于 ，則可認(rèn)為剩余15個數(shù)據(jù)中不再含有壞值。 對 作圖，判斷有無變值系統(tǒng)誤差，見圖2.7-1從圖中可見無明顯累進(jìn)性或周期性系統(tǒng)誤差。 計算算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差(估計值)：,寫出測量結(jié)果表達(dá)式：,圖2.7-1 的變化情況,習(xí)題2,(1) 書P59: 2.1, 2.2, 2.3 (2) 書P60: 2.8, 2.9, 2.12 (3) 書P61:2.15, 2.16, 2.19,