內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用

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1、內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用 主干知識(shí)整合 1．函數(shù)的零點(diǎn) 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系：由函數(shù)的零點(diǎn)的定義可知，函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．所以，方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． 2．二分法 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟： 第一步：確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε； 第二步：求區(qū)間[a，b]的中點(diǎn)c； 第三步：計(jì)算f(c)： (1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)； (2)若f(a)·f(

2、c)<0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))； (3)若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))； (4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)～(4)． 3．函數(shù)模型 解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域．其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實(shí)際問(wèn)題作答：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題作出解答． 要點(diǎn)

3、熱點(diǎn)探究 探究點(diǎn)一　函數(shù)的零點(diǎn)和方程根的分布 例1 (1)[2011·天津卷] 對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2]∪ B．(－∞，－2]∪ C.∪ D.∪ (2)[2011·山東卷] 已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________. (1)B　(2)2 【解析】 (1)f(x)＝ ＝ 則f(x)的圖象如

4、圖． ∵y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)， ∴y＝f(x)與y＝c的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)， 由圖象知c≤－2，或－11>loga2，b－3<1

5、決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，既要注意利用函數(shù)的圖象，也要注意根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，把數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)． 變式題：已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx(a∈R)． (1)若函數(shù)f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值； (2)討論方程f(x)＝0解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由． 【解答】 (1)因?yàn)閒′(x)＝x－(x>0)， 又f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b， 所以解得a＝2，b＝－2ln2. (2)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)在定義域(0，＋∞)上恒大于0，此時(shí)方程無(wú)解． 當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)＝x－>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f(x)在定義域

6、(0，＋∞)上為增函數(shù)． 因?yàn)閒(1)＝>0，f＝e－1<0，所以方程有唯一解． 當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＝x－＝＝， 因?yàn)楫?dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(0，)內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)． 所以當(dāng)x＝時(shí)，有極小值，即最小值f()＝a－aln＝a(1－lna)， 當(dāng)a∈(0，e)時(shí)，f()＝a (1－lna)>0，此方程無(wú)解； 當(dāng)a＝e時(shí)，f()＝a(1－lna)＝0.此方程有唯一解x＝， 當(dāng)a∈(e，＋∞)時(shí)，f()＝a(1－lna)<0， 因?yàn)閒(1)＝>0且1<，所以方程f(x)＝0在區(qū)間(0，)上有唯一

7、解， 因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，(x－lnx)′>0，所以x－lnx>1， 所以x>lnx，f(x)＝x2－alnx>x2－ax. 因?yàn)?a>>1，所以f(2a)>(2a)2－2a2＝0， 所以方程f(x)＝0在區(qū)間(，＋∞)上有唯一解． 所以方程f(x)＝0在區(qū)間(0，＋∞)上有兩解． 綜上所述：當(dāng)a∈[0，e)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a<0或a＝e時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)a>e時(shí)方程有兩解． 【點(diǎn)評(píng)】 含有參數(shù)的方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，需要重點(diǎn)研究三個(gè)方面的問(wèn)題：一是函數(shù)的單調(diào)性；二是函數(shù)極值點(diǎn)的值的正負(fù)；三是區(qū)間端點(diǎn)的值的正負(fù)． 探究點(diǎn)二　二分法求方程的近似解 例2 用二分法求方程lnx＝在[1,

8、2]上的近似解，取中點(diǎn)c＝1.5，則下一個(gè)有根區(qū)間是________． 【分析】 只要計(jì)算三個(gè)點(diǎn)x＝1,1.5,2的函數(shù)值，然后根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理進(jìn)行判斷即可． [1.5,2]　【解析】 令f(x)＝lnx－， f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－＝ln>ln1＝0，f(1.5)＝ln1.5－＝(ln1.53－2)； 因?yàn)?.53＝3.375，e2>4>1.53，故f(1.5)＝(ln1.53－2)<(lne2－2)＝0，f(1.5)·f(2)<0，所以下一個(gè)有根區(qū)間是[1.5,2]． 【點(diǎn)評(píng)】 用二分法求方程近似解時(shí)，每一次取中點(diǎn)后，下一個(gè)有根區(qū)間的判斷原則是：若中點(diǎn)函數(shù)

9、值為零，則這個(gè)中點(diǎn)就是方程的解，若中點(diǎn)函數(shù)值不等于零，則下一個(gè)有根區(qū)間是和這個(gè)中點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間．在用二分法求方程的近似解時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)精確度確定近似解，如下面的變式． 變式題： 若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似根(精確到0.1)為(　　) A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

10、 C　【解析】 由于f(1.40625)＝－0.054<0，f(1.4375)＝0.162>0，精確到0.1，所以函數(shù)的正數(shù)零點(diǎn)為x＝1.40625≈1.4，故選C. 探究點(diǎn)三　函數(shù)模型及其應(yīng)用（含導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題） 例3 [2011·湖南卷] 如圖3－1，長(zhǎng)方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為v(v>0)，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(c∈R)．E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：(1)P或P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|v－c|×S成正比，比例系數(shù)為；(2)其他面的淋雨量之和，其值為.記y為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d＝1

11、00，面積S＝時(shí)， (1)寫(xiě)出y的表達(dá)式； (2)設(shè)0

12、＝. 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)建模、分段函數(shù)模擬的應(yīng)用．解決函數(shù)建模問(wèn)題，首要的問(wèn)題是弄清楚實(shí)際問(wèn)題的意義，其中變量是什么，求解目標(biāo)是什么，為了表達(dá)求解目標(biāo)需要解決什么問(wèn)題，這些問(wèn)題清楚了就可以把求解目標(biāo)使用一個(gè)變量表達(dá)出來(lái)．在函數(shù)模型中，含有絕對(duì)值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù)，解決分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要先解決函數(shù)在各個(gè)段上的性質(zhì)，然后把各段上的性質(zhì)整合為函數(shù)在其整個(gè)定義域上的性質(zhì)． 例4 [2011·山東卷] 某企業(yè)擬建造如圖3－2所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)

13、．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c＞3)千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元． (1)寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r. 圖3－2 【解答】 (1)設(shè)容器的容積為V， 由題意知V＝πr2l＋πr3，又V＝， 故l＝＝－r＝. 由于l≥2r， 因此03，所以c－2>0，當(dāng)r3－＝0時(shí)，r＝.

14、 令＝m，則m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． ① 當(dāng)0時(shí)，當(dāng)r＝m時(shí)，y′＝0； 當(dāng)r∈(0，m)時(shí)，y′<0；當(dāng)r∈(m,2]時(shí)，y′>0. 所以r＝m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)． ②當(dāng)m≥2即3時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝. 規(guī)律技巧提煉 1．根據(jù)方程的解和函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，可以把方程和函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)研究方程根的分布以及采用逐步縮小方程根所在區(qū)間的方法求方程的近似解(二分法)，但在實(shí)際中我

15、們一般是求方程解的個(gè)數(shù)、或者根據(jù)解的個(gè)數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍，這時(shí)數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個(gè)等式，使兩端都是我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)f(x)，g(x)，即把方程寫(xiě)成f(x)＝g(x)的形式，這時(shí)方程根的個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢(shì)找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系． 2．二分法求方程的近似解的依據(jù)是函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，當(dāng)把方程的一個(gè)根鎖定在區(qū)間(a，b)上時(shí)，取區(qū)間的中點(diǎn)x＝，則下一個(gè)有根的區(qū)間就是根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷的，即在f的符號(hào)與f(a)，f(b)的值異號(hào)的區(qū)間內(nèi)． 3．函數(shù)模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型，解決函數(shù)

16、建模的關(guān)鍵是找到一個(gè)影響求解目標(biāo)的變量，使用這個(gè)變量把求解目標(biāo)需要的量表達(dá)出來(lái)，這樣就建立起了函數(shù)模型，然后通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、特殊點(diǎn)的函數(shù)值)等，對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出解釋，其中研究函數(shù)的性質(zhì)可以采用導(dǎo)數(shù)的方法．在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)建模時(shí)，要注意根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定函數(shù)的定義域． 教師備用例題 備選理由：例1雖然難度不大，但很容易出錯(cuò)，就是忽視了x＝6也是函數(shù)的零點(diǎn)，選此題的目的是考查學(xué)習(xí)思維的縝密性；例2考查綜合使用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象分析問(wèn)題的能力，以及綜合使用函數(shù)、不等式的知識(shí)解決問(wèn)題的能力；例3是建立一個(gè)分段函數(shù)模型，這是高考中重點(diǎn)考查的一類函數(shù)建模，從2011

17、年高考情況看，函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題有成為命題熱點(diǎn)的趨勢(shì)，建議在二輪復(fù)習(xí)中加大函數(shù)建模和解模的訓(xùn)練． 例1　[2011·山東卷] 已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】 B　當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1＝0，x2＝1.當(dāng)2≤x<4時(shí)，0≤x－2<2，則f(x－2)＝(x－2)3－(x－2)，又周期為2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)

18、(x－1)(x－3)，所以當(dāng)2≤x<4時(shí)，f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3＝2，x4＝3；同理當(dāng)4≤x≤6時(shí)，f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x5＝4，x6＝5，x7＝6，所以共有7個(gè)交點(diǎn)． 例2　若a>1，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點(diǎn)為m，g(x)＝logax＋x－4的零點(diǎn)為n，則＋的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(4，＋∞) D. 【解析】 B　如圖所示，函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點(diǎn)是函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝4－x圖象交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，函數(shù)g(x)＝logax＋x－4的零點(diǎn)是函數(shù)y＝logax與函數(shù)y＝4－x圖象交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，由于指數(shù)函數(shù)與

19、對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，直線y＝4－x與直線y＝x垂直，故直線y＝4－x與直線y＝x的交點(diǎn)為(2,2)，即是A，B的中點(diǎn)，所以m＋n＝4，所以＋＝(m＋n)＝≥1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)只要a＝即可．故所求式子的取值范圍是[1，＋∞)． 例3　某商場(chǎng)預(yù)計(jì)2011年1月份起前x個(gè)月，顧客對(duì)某商品的需求總量p(x)(單位：件)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)＝x(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．該商品第x月的進(jìn)貨單價(jià)q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)＝ (1)寫(xiě)出2011年第x月的需求量f(x)(單位：件)與x的函數(shù)關(guān)系式； (2

20、)該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場(chǎng)需求，試問(wèn)商場(chǎng)2011年第幾月銷售該商品的月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為多少元？ 【解答】 (1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝p(1)＝37，當(dāng)2≤x≤12，且x∈N*時(shí)， f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x. 驗(yàn)證x＝1符合，∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)． (2)該商場(chǎng)預(yù)計(jì)第x月銷售該商品的月利潤(rùn)為 g(x)＝ 即g(x)＝ 當(dāng)1≤x≤6，且x∈N*時(shí)，g′(x)＝18x2－370x＋1400， 令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)． 當(dāng)1≤x<5時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)5