高中數(shù)學(xué) 2-2-2第2課時 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 活頁規(guī)范訓(xùn)練 新人教A版選修2-1

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1、第2課時 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 雙基達(dá)標(biāo) (限時20分鐘) 1.橢圓+=1的一個焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 (  ). A.± B.± C.± D.± 解析 由條件可得F1(-3,0),PF1的中點(diǎn)在y軸上, ∴P坐標(biāo)(3,y0),又P在+=1的橢圓上得y0=±, ∴M的坐標(biāo)(0,±),故選A. 答案 A 2.如圖所示,直線l:x-2y+2=0過橢

2、圓的左焦點(diǎn)F1和一個頂點(diǎn)B,該橢圓的離心率為(  ). A. B. C. D. 解析 由條件知,F(xiàn)1(-2,0),B(0,1),∴b=1,c=2, ∴a==, ∴e===. 答案 D 3.已知橢圓+=1的上焦點(diǎn)為F,直線x+y-1=0和x+y+1=0與橢圓分別相交于點(diǎn)A,B和C,D,則AF+BF+CF+DF= (  ). A.2 B.4 C.4

3、 D.8 解析 如圖,兩條平行直線分別經(jīng)過橢圓的兩個焦點(diǎn),連接 AF1、FD.由橢圓的對稱性可知,四邊形AFDF1(其中F1為橢 圓的下焦點(diǎn))為平行四邊形, ∴AF1=FD,同理BF1=CF, ∴AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8. 答案 D 4.直線y=x+2與橢圓+=1有兩個公共點(diǎn),則m的取值范圍是________. 解析 由消去y, 整理得(3+m)x2+4mx+m=0. 若直線與橢圓有兩個公共點(diǎn), 則解得 由+=1表示橢圓知,m>0且m≠3. 綜上可知,m的取值范圍是(1,3)∪(3,+∞). 答案 

4、(1,3)∪(3,+∞) 5.橢圓x2+4y2=16被直線y=x+1截得的弦長為________. 解析 由消去y并化簡得x2+2x-6=0. 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2), 則x1+x2=-2,x1x2=-6. ∴弦長|MN|= = = ==. 答案  6.已知直線l:y=kx+1與橢圓+y2=1交于M、N兩點(diǎn),且|MN|=.求直線l的方程. 解 設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn) M(x1,y1),N(x2,y2), 由消y并化簡,得(1+2k2)x2+4kx=0, ∴x1+x2=-,x1x2=0. 由|MN|=,得(x1-x2)2+(y1-y

5、2)2=, ∴(1+k2)(x1-x2)2=, ∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=. 即(1+k2)(-)2=. 化簡,得k4+k2-2=0,∴k2=1,∴k=±1. ∴所求直線l的方程是y=x+1或y=-x+1. 綜合提高(限時25分鐘) 7.已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率是,過橢圓上一點(diǎn)M作直線MA,MB分別交橢圓于A,B兩點(diǎn),且斜率分別為k1,k2,若點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱,則k1·k2的值為 (  ). A. B.- C. D.- 解析 設(shè)點(diǎn)M(x,y)

6、,A(x1,y1),B(-x1,-y1), 則y2=b2-,y12=b2-, 所以k1·k2=·==-=-1=e2-1=-, 即k1·k2的值為-. 答案 D 8.已知橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,直線l:x=2,點(diǎn)A∈l,線段AF交C于點(diǎn)B,若=3,則||= (  ). A. B.2 C. D.3 解析 設(shè)點(diǎn)A(2,n),B(x0,y0). 由橢圓C:+y2=1知a2=2,b2=1, ∴c

7、2=1,即c=1,∴右焦點(diǎn)F(1,0). ∴由=3得(1,n)=3(x0-1,y0). ∴1=3(x0-1)且n=3y0. ∴x0=,y0=n. 將x0,y0代入+y2=1,得 ×()2+(n)2=1. 解得n2=1,∴||===.所以選A. 答案 A 9.已知F1、F2為橢圓+=1的兩個焦點(diǎn),過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若|F2A|+|F2B|=12,則|AB|=________. 解析 由題意知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由a=5, 可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|

8、=8. 答案 8 10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A1,A2,B1,B2為橢圓+=1(a>b>0)的四個頂點(diǎn),F(xiàn)為其右焦點(diǎn),直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T,線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn),則該橢圓的離心率為________. 解析 直線A1B2的方程為+=1,直線B1F的方程為+=1,二者聯(lián)立,得T(, ), 則M(,)在橢圓+=1(a>b>0)上, ∴+=1, c2+10ac-3a2=0,e2+10e-3=0,解得e=2-5. 答案 2-5 11.已知過點(diǎn)A(-1,1)的直線與橢圓+=1交于點(diǎn)B、C,當(dāng)直線l繞點(diǎn)A(-1,1)旋轉(zhuǎn)時,求弦BC中點(diǎn)M的

9、軌跡方程. 解 設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)B(x1,y1),C(x2,y2), 弦BC中點(diǎn)M(x,y), 則+=1,① +=1.② ②-①,得(-)+(-)=0. ∴(x2+x1)(x2-x1)+2(y2+y1)(y2-y1)=0.③ 當(dāng)x1≠x2時,=x,=y(tǒng),=, 又∵③式可化為(x1+x2)+2(y1+y2)·=0. ∴2x+2·2y·=0,化簡得x2+2y2+x-2y=0. 當(dāng)x1=x2時,由點(diǎn)M(x,y)是線段BC中點(diǎn), ∴x=-1,y=0,顯然適合上式. 總之,所求弦中點(diǎn)M的軌跡方程是x2+2y2+x-2y=0. 12.(創(chuàng)新拓展)如圖所示,點(diǎn)A、B分別是橢圓+

10、=1長軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值. 解 (1)由已知可得點(diǎn)A(-6,0),F(xiàn)(4,0), 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y), 則=(x+6,y),=(x-4,y). 由已知得 則2x2+9x-18=0, 即得x=或x=-6. 由于y>0,只能x=,于是y=. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,). (2)直線AP的方程是x-y+6=0. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0), 則M到直線AP的距離是, 于是=|m-6|, 又-6≤m≤6,解得m=2, 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離d,有 d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2 =(x-)2+15, 由于-6≤x≤6. ∴當(dāng)x=時,d取最小值.

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