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1、, 無窮級數,微積分（二）,,,第七講 非周期函數的傅立葉級數,,學習要求,對于概念和理論方面的內容，從高到低分別用 “理解”、“了解”、“知道”三級來表述； 對于方法，運算和能力方面的內容，從高到低分別用 “熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會”）三級來表述。,知道函數展開為傅里葉級數的充分條件。 能將周期函數及定義在 和 上的非周期函數展開為傅里葉級數， 能將定義在 和 上的函數展開為正弦或余弦級數。,第九章 無窮級數,第五節(jié) 傅立葉級數,非周期函數的傅立葉級數,,,,,,非周期函數的傅立葉級數,一、非周期函數的周期性延拓,二、奇延拓和偶延拓,三、任意區(qū)間上非周期函數的傅立葉級數,,,,
2、,,對于非周期函數,如果函數 只在 區(qū)間 上有定義,并且滿足狄立克 雷充分條件,也可展開成傅立葉級數.,一、非周期函數的周期性延拓,,,,,,設非周期函數 在 上有定義，則函數,稱為非周期函數 的周期延拓，,的周期函數，并且在 上有,延拓后的函數 在 上是周期為,解,所給函數滿足狄利克雷充分條件.,拓廣的周期函數的傅氏級數展開式在 收斂于 .,,,,,,,,,,,所求函數的傅立葉級數展開式為,,,,,,推廣:利用傅立葉級數展開式求出幾個特殊級數的和,,,,,,,,,,,二、非周期函數的奇偶延拓,則有如下兩種情況,,,,,,1.奇延拓,,,,,,,,
3、2.偶延拓,,,,,,,解,(1)求正弦級數.,,,,,,,,,,,(2)求余弦級數,,,,,,例4 把,展開成,(1) 正弦級數; (2) 余弦級數.,解: (1) 將 f (x) 作奇周期延拓, 則有,,,,,,(2)將,作偶周期延拓,,則有,,,,,,,說明: 此式對,也成立,,由此還可導出,據此有,,,,,,,,三、任意區(qū)間上非周期函數的傅立葉級數,,,,,,當函數定義在任意有限區(qū)間上時,,方法1,,令,即,在,上展成傅里葉級數,周期延拓,,,將,在,代入展開式,上的傅里葉級數,其傅里葉展開方法:,,,,,,方法2,,在,上展成正弦或余弦級數,奇或偶式周期延拓,,,將 代入展開式,在,上的正弦或余弦級數,,,,,,解,,,,,,,,,,,一般而言，奇延拓的收斂域不包括端點 偶延拓的收斂域包括端點,四、小結,1 以2L為周期的傅氏系數;,2 利用變量代換求傅氏展開式;,3 求傅氏展開式的步驟;,（1）.畫圖形驗證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);,（2）.求出傅氏系數;,（3）.寫出傅氏級數,并注明它在何處收斂于,4 非周期函數的展開 奇函數和偶函數的傅氏系數;正弦級數與余弦級數;非周期函數的周期性延拓;,5、需澄清的幾個問題.(誤認為以下三情況正確),a.只有周期函數才能展成傅氏級數;,
非周期函數的傅立葉級數.ppt
