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1、狀態(tài)矢量的線性變換,2011年 4月18日,2,狀態(tài)向量的線性變換（坐標變換）,5.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性 對于一個給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應地有許多種狀態(tài)空間表達式描述同一系統(tǒng)，也就是說系統(tǒng)可以有多種結構形式。所選取的狀態(tài)矢量之間，實際上是一種矢量的線性變換。,設給定系統(tǒng)為：,我們可以找到任意一個非奇異矩陣T，將原狀態(tài)向量x作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量z，設變換關系為,則新的狀態(tài)空間表達式為,例1-1 設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,新的狀態(tài)變量為,在如此選定的狀態(tài)變量的情況下，新的狀態(tài)空間表達式為,如另外選取變換矩陣,以新的狀態(tài)向量所描述的狀態(tài)空間表達式為,這樣，便得
2、到了一個對角形的系統(tǒng)矩陣，使狀態(tài)變量之間的耦合解除，為研究系統(tǒng)的狀態(tài)解耦問題提供了一條途徑。,線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣的特征值是表征系統(tǒng)的動力學特性的一個重要參數(shù)。系統(tǒng)的狀態(tài)方程將可通過適當?shù)木€性非奇異變換轉換為由特征值表征的標準形。并且，當特征值為兩兩相異時，標準形具有對角線標準型的形式。而特征值為非互異時，標準形一般為約當標準形。這種以特征值表征的標準形狀態(tài)方程，對于分析系統(tǒng)的結構特性是非常直觀的。,5.2 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量,系統(tǒng)特征值：系統(tǒng) 的特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，也就是特征方程 的根。方陣A有n個特征值,系統(tǒng)的不變量和特征值的不變性：同一系
3、統(tǒng)，經非奇異變換后，得 其特征方程為,可以證明系統(tǒng)經過非奇異變換后，其特征值是不變的，證明如下:,而特征值經非奇異變換是不變的，那么系數(shù) 也是不變量。所以稱特征多項式的系數(shù)是系統(tǒng)的不變量。,特征方程可以寫成多項式的形式,由于特征值全由特征多項式的系數(shù) 唯一地確定,特征矢量：一個n維矢量pi經過以A為變換陣的變換，得到一個新矢量 ，即 。如果矢量pi經過變換后，方向不變，僅長度變化 倍，即,則稱 為A的對應于 的特征矢量，此時有,5.3 狀態(tài)空間表達式變換為Jordan標準型,將狀態(tài)空間表達式,變換為,根據系統(tǒng)矩陣A, 求其特征值，可
4、以直接寫出系統(tǒng)的約旦標準型矩陣J,有重根（q個重根）,無重根時,而欲得到控制矩陣 和輸出矩陣 ，則必須求出變換矩陣T。T與A陣的形式和有無重根有關系。,5.3.1 A陣為任意形式 （1）特征值無重根時，則變換矩陣T由A的特征矢量構成，,由于特征值 互異，故特征向量 線性無關，從而由它們構成的矩陣 必為非奇異，既矩陣T的逆存在，從而有,如果變換矩陣 兩邊乘A，有,由特征矢量的定義：,兩邊左乘 ，得到,例 將下列狀態(tài)方程變換為對角線標準形,A的特征方程為：,既,解得,1）對應于 的特征矢量 ，按定義：,同理，解得對應于 和 的特
5、征矢量為,在構成變換矩陣T為,則變換后各有關矩陣分別為：,（2）A陣的特征值有重根時 設A的特征根有q個 的重根，其余（n-q）個根為互異根，則轉換矩陣T的計算公式為 ，其中， 是對應于（n-q）個單根的特征矢量，對應于q個重根的各向量求法如下,例 將下列狀態(tài)方程變換為Jordan標準形,先求A的特征值：,對應于 的特征矢量 由下式求得。,再求對應于 的另一個廣義特征矢量,最后確定 的特征矢量,可以得到,于是變換矩陣：,變換后各矩陣分別為：,5.3.2 A陣為友矩陣型,1）A的特征值無重根時，其變換矩陣是一個Vandermonde矩陣,例 已知某系統(tǒng)的動態(tài)方程為,試將系統(tǒng)化為對角形。,系統(tǒng)特征方程為,1= 1,2= 2,3= 3,解1) 有三個不等的特征根。特征向量滿足下列條件：,當1 = 1時，則,取 ，得到 對應的特征向量 為,同理可得,解2) 用友矩陣特性。,矩陣A的特征值為： 三個特征值相異,2）A的特征值有重根時，以有 的m重根為例,3）A的特征值有共軛復根時，以4階系統(tǒng)其中有一對共軛復根為例，見p41,
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