《高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)一般常數(shù)項級數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)一般常數(shù)項級數(shù)（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、一、交錯級數(shù)及其審斂法一、交錯級數(shù)及其審斂法 二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂 第三節(jié)第三節(jié)一般常數(shù)項級數(shù)一般常數(shù)項級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八章 一一、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法 定義定義1 各項符號正負(fù)相間的級數(shù)nnuuuu1321)1(稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù).定理定理1 (Leibnitz 判別法)若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù);),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收斂,且其和,1uS 其余項滿足.1nnur.,2,1,0nun其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:)()()(21243212nnnuuuuuuS)(
2、)()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調(diào)遞增有界數(shù)列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級數(shù)收斂于S,且,1uS:的余項nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束;!)12(1)1(!71!51!311)1(1nn例例16 判別下列交錯級數(shù)的斂散性:.10)1(104103102101)2(1432nnn!)12(1nun解解 (1)由于機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束!)12(12)12(1nnn且,0!)12(11nun所以，由萊布尼茲判別法，知原交錯級數(shù)收斂.
3、,0!)12(1limlimnunnnnnn10)1(104103102101)3(1432上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束)1(101011nnuunnnn解解 (2)由于un 0，11110n又因為.01nnuu所以所以，由萊布尼茲判別法，知原交錯級數(shù)收斂.,010limxxx所以.010limlimnnnnnu二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂 定義定義 對任意項級數(shù),1nnu若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級111)1(nnn,!)1(1)1(11nnn1110)1(nnnn1nnu收斂,1nnu數(shù)1nnu為條件收斂
4、.均為絕對收斂.例如例如:絕對收斂絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂條件收斂.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2 絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證證 設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)比較審斂法顯然,0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂)(21nnuu 且nv,nu收斂,令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例17 判斷下列級數(shù)的斂散性:1111.1121)1()3(;1)1()2();(!)1(2nnnnnnnnnnana為常數(shù)解解(1),!naunn,01limlim1nauunnnn,!,1收斂知級數(shù)由比值判別法nnna因此1!nnna絕對收斂.機動
5、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束.1)1()2(11nnn解解(2)對任意的正整數(shù) n，有,01111nnunnu,01limnn及,1)1(,11收斂知級數(shù)由萊布尼茲判別法nnn,)21(11)1(111級數(shù)的發(fā)散而級數(shù)ppnnnnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束.1)1(11條件收斂故級數(shù)nnn121121)1()3(nnnnn解解(3),11212nnnnunnnulim,0limnnu.)11(21)1(12發(fā)散因此級數(shù)nnnnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnn1121lim,12e,0limnnu從而練習(xí)練習(xí)1 證明下列級數(shù)絕對收斂:.)1()2(;sin)1(1214n
6、nnnennn證證:(1),1sin44nnn而141nn收斂,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)令,2nnenu nnnuu1lim limn12)1(nennen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收斂,絕對收斂.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.),3,2,1(0nun設(shè),1limnunn且則級數(shù)).()1(11111nnuunn(A)發(fā)散;(B)絕對收斂;(C)條件收斂;(D)收斂性根據(jù)條件不能確定.分析分析:,1limnunn由,11nun知(B)錯;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)()1(1111nnuun11111)1(nunu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為收斂級數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判別法:01nnuu0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1)1(收斂概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對收斂絕對收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂條件收斂1nnu稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)
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