《高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)之二 最大值與最小值》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)之二 最大值與最小值（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、四、函數(shù)的最大值與最小值四、函數(shù)的最大值與最小值第三節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)的單調(diào)性 與曲線的凹凸性 第三三章 四、函數(shù)的最大值與最小值四、函數(shù)的最大值與最小值,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點(diǎn)極值點(diǎn)或端點(diǎn)端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法:(1)求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn))(xf),(bamxxx,21(2)最大值最大值 maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別特別:當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),)(xf,
2、ba 當(dāng) 在 上單調(diào)單調(diào)時(shí),)(xf,ba最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大 值,則也是最大 值.(小)對(duì)應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束.28)3(,244)3(,4)1(,31)2(,1)0(fffff由于例例41 求函數(shù)11243)(234xxxxf在閉區(qū)間3,3上的最大值和最小值.解解 因?yàn)閒(x)在閉區(qū)間-3,3上連續(xù)，故f(x)在-3,3上必取到最大值與最小值.241212)(23xxxf),1)(2(12xxx,因此有,244244,28,31,4,1max)(max3,3xfx.1,2,0,0)(x
3、xf得到三個(gè)駐點(diǎn)令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束.31244,28,31,4,1min)(min3,3xfx 例例42 在某組織上觀察到的細(xì)胞是高為在某組織上觀察到的細(xì)胞是高為h，半徑為，半徑為r的筆直的筆直圓柱體，若體積固定為圓柱體，若體積固定為V不變，求使圓柱體的表面積達(dá)到最不變，求使圓柱體的表面積達(dá)到最小時(shí)細(xì)胞的半徑和高度小時(shí)細(xì)胞的半徑和高度.解解 設(shè)圓柱體細(xì)胞的半徑為設(shè)圓柱體細(xì)胞的半徑為r，高為，高為h，則有，則有,2hrV,)(222為常數(shù)VrVr 此時(shí)的表面積最小，相應(yīng)的細(xì)胞圓柱體的高為此時(shí)的表面積最小，相應(yīng)的細(xì)胞圓柱體的高為,230Vr 得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn)于是得于是得 表面
4、積為表面積為rhrS222機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,242rVrS,0S令令.240320rVrVh 例例43 家鴿總是盡量避免在大面積的家鴿總是盡量避免在大面積的水面上空飛行水面上空飛行,假定鴿子從湖面上的小假定鴿子從湖面上的小船點(diǎn)船點(diǎn)B 處放飛，而鴿巢位于岸上處放飛，而鴿巢位于岸上C點(diǎn)點(diǎn)處處,鴿子并沒有選擇直線飛行，而是先鴿子并沒有選擇直線飛行，而是先飛到岸上的點(diǎn)飛到岸上的點(diǎn)D，然后再?gòu)娜缓笤購(gòu)?D 飛到飛到C為了使從點(diǎn)為了使從點(diǎn)B飛到點(diǎn)飛到點(diǎn)C時(shí)所需的能時(shí)所需的能量最小，那么點(diǎn)量最小，那么點(diǎn)D應(yīng)選擇在何處？應(yīng)選擇在何處？解解 設(shè)設(shè)A是是B到岸上的垂足，到岸上的垂足，AB=r，A
5、C=s，ADB=q q，那么，那么,sinqrBD,cotqrAD.cotqrsADACCD令令e1表示鴿子在湖面上飛行一個(gè)單位長(zhǎng)度所需要的能量，表示鴿子在湖面上飛行一個(gè)單位長(zhǎng)度所需要的能量，e2表表示鴿子在陸地上飛行一個(gè)單位長(zhǎng)度所需要的能量，則示鴿子在陸地上飛行一個(gè)單位長(zhǎng)度所需要的能量，則e1e2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 q qDABCSr設(shè)設(shè)e1=ce2，于是從點(diǎn)，于是從點(diǎn)B飛到點(diǎn)飛到點(diǎn)D再飛到點(diǎn)再飛到點(diǎn)C所消耗的總能量為所消耗的總能量為CDBDE21eeqsine1r)cot(e2qrs.)cotsin(ee22qqcrs上式中只有最后一項(xiàng)與上式中只有最后一項(xiàng)與q q 有關(guān)，為
6、使總能量有關(guān)，為使總能量E最小，必須使最小，必須使qqcotsincy取到最小值，由于取到最小值，由于0 y)cotsin(qqcy,sincos12qqc令令得唯一的駐點(diǎn)得唯一的駐點(diǎn)結(jié)果就是最佳的飛行角度結(jié)果就是最佳的飛行角度.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束.1arccos0cq或,1cos0cq來表示來表示,其中其中C0為常數(shù)，而為常數(shù)，而M是藥物的用量。如果反應(yīng)是血壓是藥物的用量。如果反應(yīng)是血壓的變化，那么的變化，那么R用毫米銀柱高來度量；如果反應(yīng)是體溫的變化用毫米銀柱高來度量；如果反應(yīng)是體溫的變化,那么那么R用攝氏度來度量，試求人體最敏感的用藥量用攝氏度來度量，試求人體最敏感的用藥
7、量.例例44 人體對(duì)一定劑量藥物的反應(yīng)人體對(duì)一定劑量藥物的反應(yīng)R可用方程可用方程解解 由導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)反映的是因變量關(guān)于自變量變化的敏由導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)反映的是因變量關(guān)于自變量變化的敏感性，因此，度量人體對(duì)藥物的敏感性函數(shù)為感性，因此，度量人體對(duì)藥物的敏感性函數(shù)為)32(2ddMCMMR)31(2 M.2MMC 繼續(xù)求導(dǎo)，得繼續(xù)求導(dǎo)，得,2dd22MCMR令令,0dd22MR得唯一的駐點(diǎn)得唯一的駐點(diǎn))32(2MCMR機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2CM 即為人體最敏感的用藥量即為人體最敏感的用藥量 例例45 在細(xì)胞質(zhì)合成蛋白質(zhì)的過程中，蛋白質(zhì)的質(zhì)量依照下面的公式隨時(shí)間而改變 M=p+q
8、t+rt2 (p，q，r為常數(shù)，r0)求蛋白質(zhì)的最大合成量.解解 因?yàn)?2ddrtqtM,0ddtM.2rqt,02dd22rtMrqt2取得極大值所以函數(shù)在.44)2()2(22rqprrqrrqqpM這一極大值也是蛋白質(zhì)的最大合成量。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 令得唯一的駐點(diǎn)因?yàn)閮?nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件)(xf 過0 x由正正變負(fù)負(fù))(0 xf為極大值)(xf 過0 x由負(fù)負(fù)變正正)(0 xf為極小值(3)第二充分條件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf為極大值)(0 xf為極小值0)(,0)(00 xfxf
9、(4)判別法的推廣定理3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.設(shè),1)()()(lim2axafxfax則在點(diǎn) a 處().)()(xfA的導(dǎo)數(shù)存在,；且0)(af)()(xfB取得極大值;)()(xfC取得極小值;)()(xfD的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示提示:利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.設(shè))(xf在0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù),且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx則在點(diǎn)0 x處).()(xf(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且;0)0(f(C)取得極大值;(D)取得極小值.D
10、提示提示:利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.設(shè))(xfy 是方程042 yyy的一個(gè)解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf則)(xf在)(0 x(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示提示:,)(代入方程將xf0)(4)(00 xfxfA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 得令,0 xx 試問 為何值時(shí),axxaxf3sin31sin)(32x在時(shí)取得極值,還是極小.解解)(xf由題意應(yīng)有)32(f2a又)(xf)32(f )(xf取得極大值為3)(32f備用題備用題 1.,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出該極值,并指出它是極大機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上的在 1,0)(xf試求，設(shè)Nnxxnxfn,)1()().(limnMn解解)(xf,0)(xf令內(nèi)的唯一駐點(diǎn)得)1,0()1(1)1(1xnxnn2.nxn)1(1)1(nxnxn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,)(由增變減通過此點(diǎn)時(shí)易判別xfx及最大值)(nM故所求最大值為1)1(nnn)11()(nfnM)(limnMn1 e1)111(limnnn11nx
高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)之二 最大值與最小值
