3．4 基本不等式2

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1、基本不等式 金陵中學(xué) 曹茂宏 教學(xué)目標(biāo) 1．掌握基本不等式； 2．理解基本不等式的證明過程； 3．了解分析法與綜合法． 教學(xué)過程 一、數(shù)學(xué)情境 情境：周末采摘草莓，順便買一些回來，通過仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)老板用的天平不等臂． 說明：為了突出不等臂，示意圖花的夸張一些． 問題1：如果你是買家，你愿意把草莓放長臂的盤子里？還是短臂的盤子里？為什么？ 老板提出一個(gè)方案：先放在天平的長臂的盤子里，測得的質(zhì)量為a；再放在天平的短臂的盤子里，測得的質(zhì)量為b，于是用來作為草莓的質(zhì)量． 問題2：你覺得合理嗎？ 問題3：草莓的實(shí)際質(zhì)量是多少？ 說明：由杠桿原理，推導(dǎo)． 二、

2、數(shù)學(xué)建構(gòu) 問題4：如何比較與？ 說明：這里方法很多，讓學(xué)生自由發(fā)揮，主要會有作差法，分析法和綜合法． 第1組 第2組 第3組 第4組 第5組 a b 說明：由特殊的數(shù)據(jù)，猜想一般結(jié)論，可以借助Excel． 1．猜想：如果a，b都是正數(shù)，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立． 下面是證明猜想． 證明：法1(作差法) －＝[(a＋b－2)] ＝[(2＋2－2)] ＝(－)2 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，即a＝b時(shí)，取等號． 法2(分析法) 要證≥， 只要證a＋b≥2＞0， 只要

3、證(a＋b)2≥4ab， 即證(a－b)2≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號． 法3(綜合法) 因?yàn)?a－b)2≥0， 所以(a＋b)2≥4ab＞0， 所以a＋b≥2， 所以≥． 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號． 說明：(1)教學(xué)過程中，說明分析法與綜合法的區(qū)別．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷尋求結(jié)論成立的條件．綜合法是從已知條件、定理或性質(zhì)出發(fā)證明要證的結(jié)論． (2)在作差法的過程中，詳細(xì)說明“當(dāng)且僅當(dāng)”，兩層意思：當(dāng)a＝b時(shí)，取等號；取等號，僅當(dāng)a＝b時(shí)． 2．結(jié)論的不同表征 概念：也是正數(shù)a，b的一種平均方式．稱為兩個(gè)正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為兩個(gè)正數(shù)a，b的

4、幾何平均數(shù)． 自然語言：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)． 數(shù)列的語言：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)大于等于它們的等比中項(xiàng)． 三、數(shù)學(xué)應(yīng)用 例1 證明下列不等式． (1)≥2(a＞0，b＞0) 分析：主要回顧證明不等式的一般方法，另外強(qiáng)調(diào)基本不等式的應(yīng)用． 法1：因?yàn)閍＞0，b＞0，所以＞0， 要證≥2， 只要證a＋b≥2， 只要證(－)2≥0， 因?yàn)?－)2≥0成立，所以原不等式成立． 法2：＝＋＝＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，即a＝b時(shí)，等號成立． 說明：練習(xí)為了鞏固不等式證明的一般方法，更強(qiáng)調(diào)基本不等式的“基本”． 四、課堂小結(jié) 基本不等式：≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號) 證明不等式的一般方法：作差法，分析法，綜合法 五、作業(yè)布置 必修五P98 ex1，2，3 教學(xué)反思 (1)情境的選擇還可以更加貼切，因?yàn)榉Q草莓一般不會用天平．但是，另一方面只有天平可以引出，其他情境很難引入． (2)比較與時(shí)，盡量讓學(xué)生自由發(fā)揮，由學(xué)生想想比較兩數(shù)之間大小的一般方法，把課堂交給學(xué)生． (3)原先設(shè)計(jì)的練習(xí)題比較多，但是實(shí)際教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)效果不是很好，而且有點(diǎn)沖淡本節(jié)課的主題，所以最后修改為一題，把一題講透，講清．不要貪多嚼不爛．