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1、考點突破,夯基釋疑,考點一,考點三,考點二,例 1,訓練1,例 2,訓練2,例 3,訓練3,第 4 講 直線、平面垂直的判定與性質,概要,課堂小結,,判斷正誤(在括號內打“”或“”) (1)直線l與平面內無數條直線都垂直，則l.( ) (2)若直線a平面，直線b，則直線a與b垂直( ) (3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面( ) (4)若平面內的一條直線垂直于平面內的無數條直線，則.( ),夯基釋疑,,,考點突破,證明(1)在四棱錐P-ABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD， ACCD，且PAACA， CD平面PAC 而AE平面PAC， CD
2、AE.,利用判定定理證明,,考點一直線與平面垂直的判定與性質,【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD， ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)CDAE； (2)PD平面ABE.,,,考點突破,(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中點，AEPC 由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD 而PD平面PCD，AEPD PA底面ABCD， PAAB 又ABAD且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD， ABPD 又ABAEA， PD平面ABE.,利用判定定理證明,,考點一直線與平面垂直的判定與性質,【例1】如圖，
3、在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD， ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)CDAE； (2)PD平面ABE.,考點突破,規(guī)律方法 (1)證明直線和平面垂直的常用方法：線面垂直的定義； 判定定理； 垂直于平面的傳遞性(ab，ab)； 面面平行的性質(a，a)；面面垂直的性質. (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想,考點一直線與平面垂直的判定與性質,,,考點突破,所以AEBC，AEABBC， 因此四邊形ABCE為菱形， 所以O為AC的中點 又F為PC的中點， 因
4、此在PAC中，可得APOF. 又OF平面BEF，AP平面BEF， 所以AP平面BEF.,考點一直線與平面垂直的判定與性質,證明(1)設ACBEO，連接OF，EC,O,,,考點突破,(2)由題意知EDBC，EDBC， 所以四邊形BCDE為平行四邊形， 因此BECD 又AP平面PCD， 所以APCD，因此APBE. 因為四邊形ABCE為菱形， 所以BEAC 又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC,考點一直線與平面垂直的判定與性質,O,,考點突破,考點二平面與平面垂直的判定與性質,,【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABAC，ABPA，AB CD，AB2CD，E，F，G，M，N分
5、別為PB，AB，BC，PD，PC的中點求證：(1)CE平面PAD； (2)平面EFG平面EMN.,證明(1)法一取PA的中點H，連接EH，DH. 因為E為PB的中點，,所以EHCD，且EHCD 因此四邊形DCEH是平行四邊形 所以CEDH. 又DH平面PAD，CE平面PAD， 因此，CE平面PAD,H,利用判定定理或面面平行證明,,,考點突破,考點二平面與平面垂直的判定與性質,,【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABAC，ABPA，AB CD，AB2CD，E，F，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點求證：(1)CE平面PAD； (2)平面EFG平面EMN.,法二連接CF.,又
6、AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形 因此CFAD 又CF平面PAD，AD平面PAD， 所以CF平面PAD 因為E，F分別為PB，AB的中點， 所以EFPA 又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD 因為CFEFF，故平面CEF平面PAD 又CE平面CEF，所以CE平面PAD,利用判定定理或面面平行證明,,,考點突破,考點二平面與平面垂直的判定與性質,,【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABAC，ABPA，AB CD，AB2CD，E，F，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點求證：(1)CE平面PAD； (2)平面EFG平面EMN.,(2)因為E，F分別為PB，
7、AB的中點， 所以EFPA 又ABPA，所以ABEF. 同理可證ABFG. 又EFFGF，EF平面EFG， FG平面EFG， 因此AB平面EFG. 又M，N分別為PD，PC的中點， 所以MNCD，又ABCD， 所以MNAB 因此MN平面EFG. 又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.,利用判定定理證明,,考點突破,規(guī)律方法 (1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a，a) (2)已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直,考點二平面與平面垂直的判定與性質,,考點突破,證明(1)因為D，E分別為棱
8、PC，AC的中點， 所以DEPA 又因為PA平面DEF，DE平面DEF， 所以直線PA平面DEF. (2)因為D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點， PA6，BC8，,,考點二平面與平面垂直的判定與性質,【訓練2】(2014江蘇卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點已知PAAC，PA6，BC8，DF5. 求證：(1)直線PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC,,考點突破,,考點二平面與平面垂直的判定與性質,【訓練2】(2014江蘇卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點已知PAAC，PA6，BC8，DF5. 求證：(1)
9、直線PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC,又因為DF5，故DF2DE2EF2， 所以DEF90，即DEEF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC 因為ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE平面ABC 又DE平面BDE， 所以平面BDE平面ABC,接上一頁,,,考點突破,(1)解在四棱錐PABCD中， 因PA底面ABCD，AB平面ABCD， 故PAAB又ABAD，PAADA， 從而AB平面PAD， 故PB在平面PAD內的射影為PA， 從而APB為PB和平面PAD所成的角 在RtPAB中，ABPA，故APB45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小為45.,考點三線面角、二面
10、角的求法,【例3】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點 (1)求PB和平面PAD所成的角的大??； (2)證明：AE平面PCD；(3)求二面角A-PD-C的正弦值,,,考點突破,(2)證明在四棱錐PABCD中， 因PA底面ABCD，CD平面ABCD， 故CDPA由條件CDAC，PAACA， CD平面PAC 又AE平面PAC，AECD 由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中點，AEPC 又PCCDC，綜上得AE平面PCD,考點三線面角、二面角的求法,【例3】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，
11、ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)證明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值,,,考點突破,(3)解過點E作EMPD，垂足為M， 連接AM，如圖所示 由(2)知，AE平面PCD， AM在平面PCD內的射影是EM， 則AMPD 因此AME是二面角APDC的平面角 由已知，可得CAD30. 設ACa，可得,考點三線面角、二面角的求法,【例3】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點 (1)求PB和平面PAD所成的角的大??； (2)證明：AE平面PCD；(3)
12、求二面角APDC的正弦值,M,,,考點突破,在RtADP中，AMPD， AMPDPAAD，,考點三線面角、二面角的求法,【例3】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)證明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值,M,,考點突破,規(guī)律方法 求線面角、二面角的常用方法： (1)線面角的求法，找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉化到一個三角形中求解 (2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角來度量平面角的作法常見的有定義法；垂面法注意利用等腰、等邊
13、三角形的性質,考點三線面角、二面角的求法,,考點突破,(1)證明如圖所示， 連接AC，AC交BD于O，連接EO. 底面ABCD是正方形， 點O是AC的中點 在PAC中，EO是中位線， PAEO. 而EO平面EDB且PA平面EDB， PA平面EDB,【訓練3】(2014天津一考)如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PDDCE是PC的中點，作EFPB交PB于點F. (1)證明PA平面EDB； (2)證明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小,考點三線面角、二面角的求法,O,考點突破,(2)證明PD底面ABCD，且DC底面ABCD， PDDCPDDC，可
14、知PDC是等腰直角三角形 而DE是斜邊PC的中線，DEPC 同樣，由PD底面ABCD，得PDBC 底面ABCD是正方形，有DCBC BC平面PDC 而DE平面PDC，BCDE. 由和推得DE平面PBC 而PB平面PBC，DEPB 又EFPB且DEEFE， PB平面EFD,考點三線面角、二面角的求法,O,,【訓練3】(2014天津一考)如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PDDCE是PC的中點，作EFPB交PB于點F. (1)證明PA平面EDB； (2)證明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小,考點突破,(3)解由(2)知，PBDF. 故EFD是二
15、面角CPBD的平面角 由(2)知DEEF，PDDB 設正方形ABCD的邊長為a，,考點三線面角、二面角的求法,O,EFD60.二面角CPBD的大小為60.,,【訓練3】(2014天津一考)如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PDDCE是PC的中點，作EFPB交PB于點F. (1)證明PA平面EDB； (2)證明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小,,1證明線線垂直的方法 (1)定義：兩條直線所成的角為90. (2)平面幾何中證明線線垂直的方法 (3)線面垂直的性質：a，bab. (4)線面垂直的性質：a，bab.,思想方法,課堂小結,2空間中直線
16、與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉化，每一種垂直的判定都是從某種垂直開始轉化向另一種垂直最終達到目的，其轉化關系為 在證明兩平面垂直時一般先從現有的直線中尋找平面的的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決,,1在用線面垂直的判定定理證明線面垂直時，考生易忽視說明平面內的兩條直線相交，而導致被扣分，這一點在證明中要注意口訣：線不在多，重在相交,易錯防范,課堂小結,2面面垂直的性質定理在立體幾何中是一個極為關鍵的定理，這個定理的主要作用是作一個平面的垂線，在一些垂直關系的證明中，很多情況都要借助這個定理作出平面的垂線注意定理使用的條件，在推理論證時要把定理所需要的條件列舉完整，同時要注意推理論證的層次性，確定先證明什么、后證明什么,（見教輔）,
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