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1、 1.1等腰三角形 (4) ----等邊三角形的判定
教學(xué)目標(biāo):
1.理解等邊三角形的判別條件及其證明,理解含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其證明,并能利用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的問題.
2.經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程,建立初步的符號(hào)感,發(fā)展抽象思維.
3.經(jīng)歷實(shí)際操作,探索含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程,發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力。
4.在具體問題的證明過程中,有意識(shí)滲透分類討論、逆向思維的思想,提高學(xué)生的能力。
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):
重點(diǎn):等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明以及含30°角
2、的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.
難點(diǎn):含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.
課前準(zhǔn)備:
教師準(zhǔn)備:直尺、兩個(gè)帶30度角的三角板、多媒體課件.
學(xué)生準(zhǔn)備:每生準(zhǔn)備兩個(gè)含30度角的相同的三角尺.
教學(xué)過程:
一、復(fù)習(xí)回顧,創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課
知識(shí)回顧:在等腰三角形中,有一種特殊情況,就是底邊與腰相等,這時(shí),三角形三邊相等。
師生一同歸納明確,此時(shí)的三角形叫等邊三角形 。(正三角形)
問題1:等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形,具有哪些性質(zhì)呢?
學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案中完成對(duì)等邊三角形的性質(zhì)復(fù)習(xí)鞏固。
問題2:(1)具備什么條件的三角形是等
3、邊三角形?
(2)具備什么條件的等腰三角形是等邊三角形呢?
師:本節(jié)課我們就來探索等邊三角形的判定定理.
處理方式:在回顧舊知識(shí)中提出問題,讓學(xué)生自由發(fā)言,適當(dāng)補(bǔ)充.回顧等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形特有性質(zhì);如邊的關(guān)系、角的關(guān)系,三線合一等一些重要性質(zhì).從而順利導(dǎo)入新課, 具備什么條件的三角形是等邊三角形? 那么具備什么條件的等腰三角形是等邊三角形?本節(jié)課詳細(xì)探討“等邊三角形判定定理”.
【板書課題:1.1等腰三角形(4)】
設(shè)計(jì)意圖:開門見山,利用問題引入新課,直接提出問題:等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形,具有哪些性質(zhì)呢?又如何判定一個(gè)三角形是等腰(邊)三角形呢?從而引入
4、新課.
二、合作探究,展示交流
自主學(xué)習(xí),嘗試解決
1、 等邊三角形的判定定理
等邊三角形的性質(zhì):等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每個(gè)角都等于.
思考:反過來,具有什么性質(zhì)的三角形是等邊三角形呢?
(1)三個(gè)角 的三角形是等邊三角形.
(2)有一個(gè)角是 的等腰三角形是等邊三角形
查檢學(xué)生預(yù)習(xí)情況
探究一、三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
師:請(qǐng)說明你的理由?
生:理由:∵∠B=∠C,
∴AB=AC.
∵∠A=∠C,
∴AB=BC.
∴AB=AC=BC.
∴△ABC是等邊三角形.
探究二、
5、有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.
師:請(qǐng)說明你的理由?
生:以∠A=60°來說明.
∵AB=AC,
∴∠C=∠B.
∵∠A=60°.
∴.
∴∠A=∠B=∠C.
∴ △ABC是等邊三角形.
生:以∠B=60°或∠C=60°來說明
∵AB=AC, ∠B=60°,
∴∠C=∠B=60°.
∴∠A=.
∴∠A=∠B=∠C.
∴ △ABC是等邊三角形.
師:能用文字語言描述這個(gè)結(jié)論嗎?
生:有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。
教師在課件中依次展示出兩種等邊三角形的判定定理
6、的符號(hào)語言。
課堂小結(jié):等邊三角形的判定方法:
1. 三邊相等的三角形是等邊三角形.(定義)
2. 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
3. 有一個(gè)內(nèi)角等于60 °的等腰三角形是等邊三角形.
三、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(1)
判斷正誤:
(1)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形. ( )
(2)有兩個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形. ( )
(3)有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形. ( )
(4)有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形. ( )
(5)三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形.
7、 ( )
處理方式:這兩個(gè)問題是以不同的三角形為出發(fā)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生思考等邊三角形的判定方法,分別得到兩個(gè)定理.問題二60°的角可能是頂角,也可能是底角,應(yīng)關(guān)注得出證明思路的過程,引導(dǎo)學(xué)生全面的思考問題,并有意識(shí)地滲透分類的思想. 應(yīng)讓學(xué)生自主思考,充分交流證明過程。同時(shí),注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所得的定理符號(hào)語言規(guī)范學(xué)習(xí)和運(yùn)用。
設(shè)計(jì)意圖:從等邊三角形的性質(zhì)回顧轉(zhuǎn)入到問題:具有什么性質(zhì)的三角形是等邊三角形呢?得到問題后,師生討論、交流,然后再去證明.提醒學(xué)生運(yùn)用分類思想,思考問題要全面、周到 .經(jīng)歷定理的探究過程,即明確有關(guān)定理,同時(shí)提高學(xué)生的合作意識(shí)和探究能力.圖文并茂形
8、式歸納等邊三角形的判定方法,可利于學(xué)生加深理解及認(rèn)識(shí)。緊跟著,通過一組判斷題練習(xí)達(dá)到對(duì)等邊三角形判定方法的鞏固學(xué)習(xí)。
四、操作探究,獲取新知
我們還學(xué)習(xí)過直角三角形,今天我們研究一個(gè)特殊的直角三角形:含30°角的直角三角形.小組合作探究:
1用兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺你能拼出一個(gè)等邊三角形嗎?說說你的理由
2.量一量含30°角的直角三角尺的最短直角邊與斜邊你有什么發(fā)現(xiàn)?
思考:在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系?
生:能拼成等邊三角形.
師:誰能說明為什么得到的三角形是等邊三角形?
生1:圖(1)中因?yàn)椤鰽BC≌△ACD
9、,所以AB=AD.
又因?yàn)镽t△ABC中,∠BAC=30°,所以∠BAD=60°,有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
生2:圖(1)中,∠B=∠D=60°,所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+30°=60°,所以∠B=∠C=∠BAD=60°,即△ABC是等邊三角形.
師生操作發(fā)現(xiàn):在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°
求證:BC=AB.
分析:你能否由拼圖得到啟示,作輔助線把拼圖的另一部分構(gòu)造出來?
證明:延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD.
A
B
10、
C
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=90°.
∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS).
D
∴AB=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).
∵∠BAC=30°,
∴∠B=60.
∴△ABD是等邊三角形(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形).
∴BC=BD=AB.
師生共同總結(jié):
定理:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
師:指導(dǎo)學(xué)生利用符號(hào)語言表達(dá)定理.
用符號(hào)語言表示為:
在Rt△ABC中,∠C=90°,
∵∠BAC=30°,
∴BC=AB.(在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那
11、么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)
五、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(2):
1、直角三角形的一個(gè)角等于30°,斜邊長(zhǎng)為4,那30°角所對(duì)的直角邊為 。
2、如圖,在Rt△ABC中,∠A=60°,AC=1cm,則AB= ,△ABC的面積為 。
第2題
3、 如圖,在△ABC中,AB=AC, ∠B=15°,∠DAC是△ABC的一個(gè)外角,
∠DAC = ,若DC=3,則AC= 。
處理方式:通過兩個(gè)活動(dòng):(1)拼圖活動(dòng)讓學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角尺恰好可以拼成一個(gè)等邊三角形,(2)量一量含30°角的直角
12、三角尺的最短直角邊與斜邊的大小。從而將直角三角形中的問題轉(zhuǎn)化為“半個(gè)”等邊三角形的問題。
設(shè)計(jì)意圖:先從問題出發(fā),讓學(xué)生經(jīng)過自己的觀察、拼擺、探索發(fā)現(xiàn)并得到結(jié)論.老師在學(xué)生動(dòng)手操作中有意圍繞著定理不斷提問,引導(dǎo)學(xué)生思考,討論、發(fā)現(xiàn)結(jié)論,并師生一同證明,最后歸納得出了結(jié)論:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。這樣層層深入的學(xué)習(xí)加深學(xué)生對(duì)定理的理解與掌握。
六、學(xué)以致用,鞏固新知
呈現(xiàn)例題,在師生分析的基礎(chǔ)上,運(yùn)用所學(xué)的新定理解答例題.
例4求證:等腰三角形的底角為15°,那么腰上的高是腰長(zhǎng)的一半.
已知:如圖,在 △ABC中,AB=AC,
13、∠B =15°,CD是腰AB上的高.
求證:CD=AB.
師:這是一道文字?jǐn)⑹鲱},首先把它用已知、求的形式轉(zhuǎn)化成圖形語言和符號(hào)語言.觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△ADC中,AB=AC,∠B=∠ACB而∠DAC是△ABC的一個(gè)外角,而∠DAC=2×15°=30°,根據(jù)在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半,可求出CD=AB.
師:(糾正學(xué)生出現(xiàn)的問題,強(qiáng)調(diào)步驟的規(guī)范性.)
解:在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=15°,
∴∠ACB=∠B =15°(等角對(duì)等邊)
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.
七、盤點(diǎn)收獲,反思提升
師:通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了什么知
14、識(shí)?你有哪些感悟與收獲?
生1:本節(jié)課我學(xué)會(huì)了證明等邊三角形的判定定理和直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理.
生2:我們可以用等邊三角形的判定定理和直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單的問題.
……
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生梳理所學(xué)知識(shí)點(diǎn),以形成完整知識(shí)結(jié)構(gòu),培養(yǎng)了歸納概括能力和語言表達(dá)能力.另外有針對(duì)性的對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)加以強(qiáng)調(diào),加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握.激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的意識(shí),調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,為每一位學(xué)生都提供了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)和充分展示自己的機(jī)會(huì).
八、【自我檢測(cè)】
1、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,則AB= 。
2、在△AB
15、C中,已知∠A,∠B,∠C的度數(shù)之比分別是1:2:3,則∠C= ,若AB = ,那么BC= ,AC= 。
3、如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BCD=30°,CD是△ABC的高,且BD=2,則AD= 。
設(shè)計(jì)意圖:練習(xí)針對(duì)本節(jié)課的第二知識(shí)點(diǎn),同時(shí)也兼顧學(xué)生的學(xué)習(xí)差異進(jìn)行分層訓(xùn)練,既可以滿足了不同學(xué)生的需求,充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,同時(shí)也便于老師及時(shí)地了解學(xué)生的掌握情況.
七、布置作業(yè),落實(shí)目標(biāo)
基礎(chǔ)作業(yè):課本 第12頁(yè) 習(xí)題1.4 第 1、2題.
拓展作業(yè):導(dǎo)學(xué)案:反饋案第5題,提升案第1題
板書設(shè)計(jì):
§1.1 等腰三角形(4)
一、等邊三角形判定方法
判定定理1、2
二、30°角的直角三角形的性質(zhì)
∵在Rt△ABC中,
∠C=90°, ∠A= 30°
∴ BC= AB (AB=2BC)