福建省三明市第一中學(xué)2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題理特保班

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1、三明一中2015～2016上學(xué)期高二年段月考2 （理科特保班） 數(shù)學(xué)試卷 （總分150分，時(shí)間：120分鐘） （注意：請(qǐng)將所有題目的解答都寫到“答題卷”上） 一、選擇題(本題12小題，每小題5分，共60分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確答案填入答題卷中。) 1．下列各組向量中不平行的是（ ） A． B． C． D． 2．若，則（ ） A． B． C． D． 3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若， 則（ ） A．+－ B．－+－ C．－++ D．－+

2、 4．函數(shù)在區(qū)間上最大值與最小值分別是（ ） A. 5,-4 B. 5,-15 C. -4,-15 D. 5,-16 5．若向量，且與的夾角余弦為，則等于（ ） A． B． C．或 D．或 y x O y x O y x O y x O A. B. C. D. 6．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系 中，不可能正確的是 ( ) 7．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），

3、若、、三向量共 面，則實(shí)數(shù)λ等于 （ ） A． B． C． D． 8. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ） A． B． C． D． 9．若A，B，C，則△ABC的形狀是（ ） A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．不等邊銳角三角形 D．等邊三角形 10.設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則 (　　) A．a(chǎn)＜－1 B．a(chǎn)＞－1

4、C．a(chǎn)＞－ D．a(chǎn)＜－ 11．已知，，，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng) 取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 （ ） A． B． C． D． 12．對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1）30，則必有（ ） A．f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）￡2f（1） C．f（0）＋f（2）32f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1） 二、填空題(本題4小題，每小題5分,共20分) 13．已知向量，若，則______；若

5、則______． 14. 曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 ． 15．若，且，則與的夾角大小為_______． 16.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是 ． 三、解答題（共6題，70分），解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17.(本題滿分10分) 用長(zhǎng)為18 m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問該 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ 18.（本題滿分12分) 如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩

6、 垂直，且，，是的中點(diǎn)。 （1）求異面直線與所成角的余弦值； （2）求BE和平面所成角的正弦值。 19.(本題滿分12分) 如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)。 （1）求證：AB1⊥面A1BD； （2）求二面角A－A1D－B的余弦值； （3）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離。 20.(本題滿分12分) 已知函數(shù). （Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若對(duì)于都有成立，試求的取值范圍； 21.(本題滿分12分) A D B C D D D 如圖，在直三棱柱中， （1）求證 （2

7、）在上是否存在點(diǎn)使得 （3）在上是否存在點(diǎn)使得？ 22.(本題滿分12分) 設(shè)曲線：，表示的導(dǎo)函數(shù)。 （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)的極值； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，是否存在 唯一，使直線的斜率等于？并證明你的結(jié)論。 草 稿 紙 三明一中2015—2016上學(xué)期高二年段月考2 （理科特保班） 數(shù)學(xué) 參考答案 一、選擇題(共 12 小題，每題5分

8、，共60分) 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B B C D A B C A D C 二、填空題（共4小題，每題5分，共20分） 13. ； 14. ； 15. ； 16. . 三、解答題（6題，共70分） 17.（10分）解:設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x（m），則長(zhǎng)為2x(m)，高為. 故長(zhǎng)方體的體積為 從而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜時(shí)，V′（x）＜0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大

9、值就是V（x）的最大值。從而最大體積V＝V′（x）＝9×12-6×13=3(m3)，此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m，高為1.5 m. 答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為3 m3。 18.（12分） 解：（1）以為原點(diǎn),、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有、、、 <>所以異面直線與所成角的余弦為. （2）設(shè)平面的法向量為 則 由 由， 則，故BE和平面的所成的角正弦值為 19. （12分） 解：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)． 為正三角形，． 在正三棱柱中， 平面平面， x z A B C D O F y 取

10、中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，， ，，． ，， O1 ，． 平面． （2）設(shè)平面的法向量為． ，．，， 令得 由（1）知平面，為平面的法向量． 二面角的余弦值為． （3）由（2），為平面法向量， ． 點(diǎn)到平面的距離． 20. （12分） 解: (I) 直線的斜率為1.函數(shù)的定義域?yàn)椋? ∵，∴，∴. ∴. .由解得；由解得. ∴的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是. (II) ，由解得；由解得. ∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減. ∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，. ∵對(duì)于都有成立，∴即可. 則. 由解得.∴的取值范

11、圍是. 21. （12分）解：直三棱柱，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則， （1），， （2）假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得，則，其中，于是,則，由于，且 所以得，所以在上存在點(diǎn)使得，這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合。 （3）假設(shè)在上存在點(diǎn)使得，則其中則，又由于，，所以存在實(shí)數(shù)成立，所以，所以在上存在點(diǎn)使得，且是的中點(diǎn)。 22. （12分） 解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，令，得，?dāng)時(shí)，，所以遞增；當(dāng)時(shí)，，所以遞減。所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為 （Ⅱ）的定義域?yàn)?，，令? 當(dāng)時(shí)，在上恒成立 即在單調(diào)遞減，故無極值 當(dāng)時(shí)，由得， 由得， 在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減 故時(shí)有極大值，無極小值 （Ⅲ）存在唯一，使直線的斜率等于。 證明如下：的斜率 設(shè)函數(shù)， 則。 設(shè)函數(shù)，則， ∴在上遞減，∴，即， ∵，∴，∴，∴， 同理可證，∴在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn) 又∵，∴在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) ∴在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)， 故存在唯一，使直線的斜率等于。