靜電場及其邊值問題的解法.ppt

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1、,第3章 靜電場及其邊值問題解法The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary Value Problems,主要內(nèi)容,靜電場邊值問題、惟一性定理,鏡像法,分離變量法,靜電場基本方程與電位方程,靜電場中的介質(zhì)、導(dǎo)體與電容,2,3.1 靜電場基本方程與電位方程 Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric potential equations,3.1.1 靜電場的基本方程,靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學(xué)形

2、式為：,,（1）,（2）,（2.a）,,,（3）,（4）,（4.a）,3,3.1 靜電場基本方程與電位方程,3.1.2 電位定義,在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)， 再利用上式可方便地求得電場強(qiáng)度E 。式中負(fù)號表示電場強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。,1) 電位的引出,根據(jù)矢量恒等式,) 與 的微分關(guān)系,在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度的方向總是沿著電位減少的最快 方向，其大小等于電位的最大變化率。,4,3.1 靜電場基本方程與電位方程,設(shè)P0為參考點(diǎn),) 與 的積分關(guān)系,5,3.1 靜電場基本方程與電位方程,) 電位參考點(diǎn)的選擇原則, 場中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。, 同一

3、個物理問題，只能選取一個參考點(diǎn)。, 選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有意義。,例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場：,表達(dá)式無意義, 電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。, 電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；,6,3.1 靜電場基本方程與電位方程,3.1.2 電位方程,1) 泊松方程,2) 拉普拉斯方程,解為:,7,3.2 靜電場中的介質(zhì),3.2.1 介質(zhì)的極化, 電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩； 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷； 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。,無極性分子,有極性分子,電介質(zhì)的極化過程,8,3.2 靜電場中的介質(zhì),式中 為體積元 內(nèi)

4、電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向 正極化電荷。,用極化強(qiáng)度P表示電介質(zhì)的極化程度，即,C/m2,電偶極矩體密度,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中,電介質(zhì)的極化率,無量綱量。,9,3.2 靜電場中的介質(zhì),3.2.2 介質(zhì)中的高斯定理,相對介電常數(shù),（真空中）,（電介質(zhì)中）,,定義電位移矢量（ Displacement）,則有,電介質(zhì)中高斯定律的微分形式,代入 ,得,,其中,相對介電常數(shù)；,介電常數(shù)，單位（F/m）, 在各向同性介質(zhì)中, D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。,a）高斯定律的微分形式,10,3.2 靜電場中的介質(zhì),圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D

5、 線、E 線和P 線的分布。, D 線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷；, P 線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。, E 線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；,D線,E線,P線,D、E與 P 三者之間的關(guān)系,11,3.3 靜電場中的導(dǎo)體,靜電場中的導(dǎo)體具有以下特征： 導(dǎo)體內(nèi)部各處電場強(qiáng)度為零 導(dǎo)體內(nèi)部不存在任何凈電荷,電荷都一面電荷的形式分布于導(dǎo)體表面; 導(dǎo)體為一等位體,其表面為等位面; 導(dǎo)體表面切向電場為零,而只有法向電場分量,簡單媒質(zhì)中導(dǎo)體表面處的電場強(qiáng)度為:,3.3.1 靜電場中的導(dǎo)體,12,3.3 靜電場中的導(dǎo)體,3.3.2 電容,定義電容:,一、孤立導(dǎo)

6、體的電容,孤立導(dǎo)體球的電勢:,當(dāng)R確定時,,例: 用孤立導(dǎo)體球要得到1F 的電容，球半徑為大？,單位: 1F（法拉）=1C/V=,13,3.3 靜電場中的導(dǎo)體,二、兩個導(dǎo)體的電容,求電容的兩條途徑,1)先假定兩導(dǎo)體帶等量異號的電量Q,通過計(jì)算電場得出兩導(dǎo)體 間的電壓U,然后計(jì)算出電容,2)先假定兩導(dǎo)體間的電壓U,通過計(jì)算電場得出電量Q,然后計(jì)算出電容,電容與電場強(qiáng)度的大小無關(guān),但與電場強(qiáng)度的分布有關(guān).電容值取決與導(dǎo)體的形狀,尺寸以及介電常數(shù),14,3.3 靜電場中的導(dǎo)體,,三、幾種典型的電容器及電容,,,1) 平行板電容器,,板間場強(qiáng)：,,,電勢差：,,,電容：,2) 圓柱形電容器,,,,,,

7、15,3.3 靜電場中的導(dǎo)體,,,16,3.4 靜電場中的邊界條件,,,3.4.1 和 的邊界條件,1、兩種介質(zhì)之間的邊界條件,在交界面上不存在 時，E、D滿足折射定律。,折射定律,17,3.4 靜電場中的邊界條件,2、介質(zhì)與導(dǎo)體之間的邊界條件,表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的 D 就等于該點(diǎn)的自由電荷密度 。,當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的銜接條件為：,18,3.4 靜電場中的邊界條件,,,3.4.2 電位的邊界條件,1、兩種介質(zhì)之間的電位邊界條件,因此,設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d， ,則,表

8、明: 在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。,在介質(zhì)分界面上，,所以,19,3.4 靜電場中的邊界條件,,,3.4.2 電位的邊界條件,2、介質(zhì)與導(dǎo)體之間的電位邊界條件,兩種介質(zhì)之間,介質(zhì)與導(dǎo)體之間,20,3.4 靜電場中的邊界條件,,,例題:3.4-1,例題:3.4-2,21,一、靜電場邊值問題,,已知場域邊界上各點(diǎn)電位值,,,分布型問題 給定場源分布，求任意點(diǎn)場強(qiáng)或位函數(shù),邊值型問題 給定邊界條件，求任意點(diǎn)位函數(shù)或場強(qiáng),,,,靜態(tài)場問題,第一類 邊界條件,第二類 邊界條件,第三類 邊界條件,,,,,,一、二類邊界條件的線性組合，即,,已知場域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù),,3.5 靜電場邊值問題，唯一

9、性定理 Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness Theorem,,,,,,直接求解,高斯方法求解,間接求解,22,分布型問題解法,3.5 靜電場邊值問題，唯一性定理,,,,,,直接求解(2.1-8),高斯方法求解 (2.1-16),間接求解 (3.1-9)-(3.1-12),23,計(jì)算法,實(shí)驗(yàn)法,圖解法,,,,,,邊值型問題解法,有限差分法,有限元法,邊界元法,矩量法,,,,,,,,,鏡像法,分離變量法,復(fù)變函數(shù)法,格林函數(shù)法,,,,,,,,,3.5 靜電場邊值問題，唯一性定理,24,惟一性定理為靜電場問題的多種解法(試探

10、解、解析解、數(shù)值解等）提供了思路及理論根據(jù)。,二、惟一性定理Uniqueness Theorem,,對于任一靜電場，若整個邊界上的邊界條件給定(可能給出一部分邊界上的位函數(shù)，另一部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù))，則空間中的場就惟一地確定了。,證明見P.86 P.87(反證法),也就是說，滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，這就是靜電場惟一性定理。,3.5 靜電場邊值問題，唯一性定理,25,用虛設(shè)的鏡像電荷來替代實(shí)際邊界,將原來具有邊界的空間變成同一媒質(zhì)空間，使計(jì)算簡化。, 3.6 鏡像法Image Method,確定鏡像電荷的個數(shù)、位置與大小，使鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的場保持原有邊

11、界條件不變，根據(jù)唯一性定理，所得的解是唯一的。,鏡像法:,要點(diǎn)：,26,一、導(dǎo)體平面附近的點(diǎn)電荷,,,,圖3.6-1 導(dǎo)體平面附近的點(diǎn)電荷與其鏡象法等效處理,設(shè)一無限大接地導(dǎo)體平面附近有一點(diǎn)電荷q，它與導(dǎo)體板的垂直距離是h，如圖3.6-1(a)所示。,現(xiàn)求（1）導(dǎo)體上方（即z0的空間）的電位分布； （2）導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷。,, 3.6 鏡像法,27,,,,(1)設(shè)想將導(dǎo)體板抽去，使整個空間充滿同一種媒質(zhì)，在與原來點(diǎn)電荷對稱的位置上放置一 的鏡像點(diǎn)電荷來代替原導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷.,, 3.6 鏡像法,* 這時，在z0的空間里任一點(diǎn)p(x,y,z)的電位就等于原點(diǎn)電荷q和鏡像 所產(chǎn)生電位的總

12、和。,28,,,* 此時要保證z=0平面邊界條件不變，即應(yīng)為零電位。,,* 選無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)，則在z0的空間任一點(diǎn)p的總電位是：,, 3.6 鏡像法,29,,注意：僅對上半空間等效。,,可見，引入鏡像電荷 后保證了邊界條件不變；鏡像點(diǎn)電荷位于z0的空間，電位仍然滿足原有的方程。由惟一性定理知結(jié)果正確。,故對z=0平面上任意點(diǎn)有,得, 3.6 鏡像法,30,,導(dǎo)體表面的總感應(yīng)電荷,,,,可見，鏡像電荷 代替了導(dǎo)體表面所有感應(yīng)電荷對上半空間的作用。,（2）根據(jù)靜電場的邊界條件，求導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度：, 3.6 鏡像法,31,二、導(dǎo)體劈間的點(diǎn)電荷,,,,設(shè)有兩塊接地半無限大導(dǎo)體平板相

13、交成角 ，且 n為正整數(shù)，交角內(nèi)置一點(diǎn)電荷（或一線電荷）。現(xiàn)采用鏡像法求角內(nèi)的電場分布。為了不改變原有邊界條件（即導(dǎo)體板處電位為零）和交角 內(nèi)的源分布，試求鏡像的位置，以及鏡像的個數(shù)。,輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像，直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。, 3.6 鏡像法,32,, 3.6 鏡像法,注意：只有n為整數(shù)時，最后鏡像才能和原電荷重合；,導(dǎo)體交角內(nèi)任一點(diǎn)的電場就等于N個鏡像電荷與原電荷在 該點(diǎn)產(chǎn)生場的總和。,可見，,33,,,鏡像法小結(jié),* 鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場惟一性定理；,* 鏡像法的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷替代邊界上感應(yīng)電荷的分布,使計(jì)算場域?yàn)闊o限大均勻介質(zhì)；,* 鏡像法

14、的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個數(shù)、位置及大?。?* 應(yīng)用鏡像法解題時，注意：鏡像電荷只能放在待求 場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域，它只對該區(qū)域等效。, 3.6 鏡像法,34,* 只有當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合(或平行)時，才可確定積分常數(shù)，從而得到邊值問題的特解。,一、解題的一般步驟：,(a)根據(jù)邊界形狀選定坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)的邊值問題（微分方程和邊界條件）；,(b)分離變量，將一個偏微分方程分離成幾個常微分方程,并 得出通解表達(dá)式；,(c)利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的特解。,3.7 分離變量法The Method of Separation of Variables

15、,* 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程解法。,* 采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動方程的通解;,35,二、直角坐標(biāo)中的分離變量法,,拉普拉斯方程,設(shè),,因此,,,,,二維問題,3.7 分離變量法,即,36,,,,,可得,,,于是有,,式中,寫為如下形式,以方程,為例,通解的形式是,3.7 分離變量法,37,表3.7-1 直角坐標(biāo)系中解的形式的選擇,,3.7 分離變量法,（方程： ）,38,例1,圖示一無限長金屬管，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為 (V)，金屬管截面為矩形，邊長為a、b，試求金屬管內(nèi)電位的分布。,圖 金屬管的截面,(a) B.C.:,（D域內(nèi)）

16、（1）,,(b) Eq.:,解,,3.7 分離變量法,39,(C) 解式：,,,3.7 分離變量法,40,(C) 解式：,,,3.7 分離變量法,(d)定常數(shù)：,41,,,圖3.71 雙曲函數(shù),比較系數(shù)法：,（D域內(nèi)）,3.7 分離變量法,42,例3.72,,寬為d的導(dǎo)體槽如圖所示。其兩壁接地，且沿x方向無限延伸， 槽底對地電位為U0，試求,3.7 分離變量法,1、槽內(nèi)電位函數(shù) 2、槽內(nèi)電場強(qiáng)度矢量 3、y=d處內(nèi)壁的面電荷密度,（a）BC:,1、,解,（b）Eq.:,（c）解式:,X(x):無限區(qū)域非周期,Y(y)：有限區(qū)域周期性,43,,由B.C.(a) 可得,,由B.C.(b),,,至此，得,確定傅立葉系數(shù):,由B.C.(c)知,由B.C.(d),（d）定常數(shù),3.7 分離變量法,44,,,3、,3.7 分離變量法,2、,所以,