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1、數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)電子課件,鄭州大學(xué)電子信息工程學(xué)院 2020年8月21日,第一章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),1.1 概述,1.1.1 脈沖波形和數(shù)字波形 圖1.1.1幾種常見的脈沖波形，圖(a)為矩形波、圖(b)為鋸齒波、圖(c)為尖峰波、圖(d)為階梯波。,脈沖信號(hào)的參數(shù),通常規(guī)定：0表示矩形脈沖的低電平；1表示矩形脈沖的高電平，如圖1.1.3波形所示。,矩形脈沖數(shù)字表示法,1.1.2 數(shù)制和碼制,一、數(shù)制 每一位的構(gòu)成 從低位向高位的進(jìn)位規(guī)則 我們常用到的： 十進(jìn)制，二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制,十進(jìn)制，二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制,逢二進(jìn)一,逢八進(jìn)一,逢十進(jìn)一,逢十六進(jìn)一,十進(jìn)制數(shù)325.12用位
2、置計(jì)數(shù)法可以表示為 任意一個(gè)具有n為整數(shù)和m為小數(shù)的二進(jìn)制數(shù)表示為 八進(jìn)制有07個(gè)數(shù)碼，基數(shù)為8，它的計(jì)數(shù)規(guī)則是“逢八進(jìn)一”。八進(jìn)制一般表達(dá)式為,,,,十六進(jìn)制數(shù)的符號(hào)有0、1、2、、8、9、A、B、C、D、E和F，其中符號(hào)09與十進(jìn)制符號(hào)相同，字母AF表示1015。十六進(jìn)制的計(jì)數(shù)規(guī)則“逢十六進(jìn)一”，一般表示形式為 例如：,,,二、數(shù)制間的轉(zhuǎn)換 各種進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制 十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制 所以,,二進(jìn)制轉(zhuǎn)換與十六進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制正好和上述過程相反,,三、二進(jìn)制數(shù)算術(shù)運(yùn)算,算術(shù)運(yùn)算 二進(jìn)制數(shù)的0/1可以表示數(shù)量，進(jìn)行 加，減，乘，除等運(yùn)算 二進(jìn)制數(shù)的正、負(fù)號(hào)也是
3、用0/1表示的。 在定點(diǎn)運(yùn)算中，最高位為符號(hào)位（0為正，1為負(fù)） 如 +89 = （0 1011001） -89 = （1 1011001）,二進(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼：,最高位為符號(hào)位（0為正，1為負(fù)） 正數(shù)的補(bǔ)碼和它的原碼相同 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼 = 數(shù)值位逐位求反 + 1 如 +5 = （0 0101） -5 = （1 1011） 通過補(bǔ)碼，將減一個(gè)數(shù)用加上該數(shù)的補(bǔ)碼來實(shí)現(xiàn),7 4 = 3 7 + 8 = 3 （舍棄進(jìn)位） 4 + 8 = 12 產(chǎn)生進(jìn)位的模 8是-4對(duì)模數(shù)12的補(bǔ)碼 特別要注意的是，運(yùn)算過程中所有的數(shù)都用補(bǔ)碼表示。,1110 0110 = 1000 （14 - 6 = 8） 11
4、10 + 1010 = 11000 =1000（舍棄進(jìn)位） （14 + 10 = 8） 0110 + 1010 =24 1010是- 0110對(duì)模24 （16） 的補(bǔ)碼,,16,8,4,12,14,2,6,10,,四、BCD碼（Binary Coded Decimal） 8421BCD碼與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換是直接按位轉(zhuǎn)換，例如 BCD碼除842l碼外，常用的還有2421碼、余3碼、余3循環(huán)碼、BCD格雷碼等等,,,1.2 基本邏輯函數(shù)及運(yùn)算定律,基本概念 邏輯：事物的因果關(guān)系 邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：邏輯代數(shù) 在二值邏輯中的變量取值： 0/1 邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用字母A、
5、B、C、表示。其取值只有0或者l兩種。這里的0和1不代表數(shù)量大小，而表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，如，電平的高、低；晶體管的導(dǎo)通、截止；事件的真、假等等。,1.2.1 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算,與（AND） 或（OR） 非（NOT）,以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；以Y=1表示燈亮，Y=0表示等不亮；三種電路的因果關(guān)系不同：,與,條件同時(shí)具備，結(jié)果發(fā)生 Y=A AND B = A&B=AB=AB,或,條件之一具備，結(jié)果發(fā)生 Y= A OR B = A+B,非,條件不具備，結(jié)果發(fā)生,幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算,與非 或非 與或非,幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算,異或 Y= A B
6、,幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算,同或 Y= A B,一、運(yùn)算定律,1.2.2 邏輯代數(shù)的運(yùn)算定律及規(guī)則,證明方法：推演 真值表,用真值表證明 的正確性。,二、邏輯代數(shù)的常用公式,,,,,,,,,,,,三、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,代入規(guī)則 ------在任何一個(gè)包含A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。,應(yīng)用舉例：,,反演規(guī)則 -------對(duì)任一邏輯式,變換順序 先括號(hào)，然后乘，最后加,不屬于單個(gè)變量的上的反號(hào)保留不變,應(yīng)用舉例：,,一、邏輯函數(shù) Y=F(A,B,C,) ------若以邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定
7、。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。 注： 邏輯函數(shù)表達(dá)式的運(yùn)算順序?yàn)橄人憷ㄌ?hào)內(nèi)，后括號(hào)外；先算與，后算或； 非號(hào)下面有一個(gè)括號(hào)時(shí)，括號(hào)可以省去，如 可以寫成,1.3 邏輯函數(shù)及其表示方法,,,二、邏輯函數(shù)的表示方法,真值表 邏輯式 邏輯圖 波形圖 卡諾圖 計(jì)算機(jī)軟件中的描述方式 各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換,真值表 由邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成真值表時(shí)，將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯表達(dá)式求出函數(shù)值，列成表，即可得到真值表。,邏輯式 將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運(yùn)算式表示就得到邏輯式。 邏輯圖 用邏輯圖形符號(hào)表示邏輯運(yùn)算關(guān)系，與邏輯電路的實(shí)現(xiàn)相對(duì)應(yīng)。邏輯圖與邏輯函數(shù)表達(dá)式
8、也可以互相轉(zhuǎn)換 a 用邏輯圖形符號(hào)代替邏輯函數(shù)式中的運(yùn)算符號(hào)，就可以畫出邏輯圖了 b 根據(jù)邏輯門的連接方式和每個(gè)門的邏輯功能逐級(jí)寫出它的表達(dá)式,波形圖 將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來畫成時(shí)間波形。,各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換：,邏輯式 真值表,,【例1.3.1】已知邏輯函數(shù),列出真值表。,真值表 邏輯式： 找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值組合 每組輸入變量取值對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量 將這些變量相加即得 Y 把輸入變量取值的所有組合逐個(gè)邏輯式中求出Y，列表,,,【例1.3.2】已知真值表如表1.3.2所示，寫出邏輯函數(shù)式。,,
9、邏輯圖 邏輯式 1. 用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符,,邏輯式 邏輯圖 1. 用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符 2. 從輸入到輸出逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)算式。,,最小項(xiàng) m： m是乘積項(xiàng) 包含n個(gè)因子 n個(gè)變量均以原變量和反變量的形式在m中出現(xiàn)一次,對(duì)于n變量函數(shù) 有2n個(gè)最小項(xiàng),1.3.2 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式： 最小項(xiàng)之和 最大項(xiàng)之積,最小項(xiàng)舉例：,兩變量A, B的最小項(xiàng) 三變量A,B,C的最小項(xiàng),最小項(xiàng)的編號(hào)：,最小項(xiàng)的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1 全體最小項(xiàng)之和為1 任何兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0 兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)之和可以合并，消去一對(duì)
10、因子，只留下公共因子。 ------相鄰：僅一個(gè)變量不同的最小項(xiàng) 如,邏輯函數(shù)最小項(xiàng)之和的形式：,例：,利用公式 可將任何一個(gè)函數(shù)化為,邏輯函數(shù)最小項(xiàng)之和的形式：,例：,最大項(xiàng)：,M是相加項(xiàng) 包含n個(gè)因子 n個(gè)變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一次 如：兩變量A, B的最大項(xiàng),對(duì)于n變量函數(shù) 2n個(gè),最大項(xiàng)的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0 全體最大項(xiàng)之積為0 任何兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1,最大項(xiàng)編號(hào)方法是：把使最大項(xiàng)為0的那一組邏輯變量組合成二進(jìn)制數(shù)，與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是該最大項(xiàng)的編號(hào)。 n 個(gè)變量的最大項(xiàng)一共有 個(gè),,從真值表歸納邏輯函數(shù),邏輯函數(shù)有
11、兩種標(biāo)準(zhǔn)表示形式，一是最小項(xiàng)的與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)之和形式；另一種是標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式，也稱為最大項(xiàng)之積形式。 一、從真值表求最小項(xiàng)之和形式 1、找出使邏輯函數(shù)為1的變量組合； 2、寫出使函數(shù)為1的變量取值組合對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)； 3、將這些最小項(xiàng)相或，即得到標(biāo)準(zhǔn)的最小項(xiàng)之和表達(dá)式。,,二、從函數(shù)真值表求最大項(xiàng)之積形式的方法如下： 1、在真值表中找出邏輯函數(shù)為0的變量組合； 2、寫出對(duì)應(yīng)于函數(shù)為0的最大項(xiàng)； 3、將所有最大項(xiàng)相與。 利用恒等式 可以把任何一個(gè)邏輯函數(shù)寫成最小項(xiàng)項(xiàng)之和形式.,,,,1.4 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法,1.4.1 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式 最簡(jiǎn)與或 ------包含
12、的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)的因子也最少，稱為最簡(jiǎn)的與--或邏輯式。,1.4.2 常用公式化簡(jiǎn)法 反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。 1、并項(xiàng)法 解：,,,,,2、吸收法 利用 可以將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量 解： 3、消因子法 利用常用公式 可將 中的 消去,,,,,,,,4、消項(xiàng)法 利用常用公式 將多余項(xiàng) 消去 解： 5 配項(xiàng)法 利用重復(fù)律 和互補(bǔ)律 ，將一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，然后與其他項(xiàng)合并，重新組合之后再化簡(jiǎn)。,,,,,,,,用配項(xiàng)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 解：,,,,1.5 邏輯
13、函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn),1.5.1 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和的以圖形的方式表示出來 以2n個(gè)小方塊分別代表 n 變量的所有最小項(xiàng)，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上也是相鄰的（只有一個(gè)變量不同），就得到表示n變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖。,表示最小項(xiàng)的卡諾圖,2變量卡諾圖 3變量的卡諾圖,4變量的卡諾圖,5變量的卡諾圖,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),把邏輯函數(shù)寫成最小項(xiàng)之和形式，然后在卡諾圖方格中，找出對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的位置，并填入1，在其余位置上填入0，就得到了該邏輯函數(shù)的卡諾圖。 任何一個(gè)邏輯函數(shù)等于它的卡諾圖中填入1的最小項(xiàng)之和,用卡諾圖表示邏
14、輯函數(shù),例：,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),1.5.2 用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù),依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項(xiàng)的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。,合并最小項(xiàng)的原則： 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子 四個(gè)排成矩形的相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去兩對(duì)因子 八個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三對(duì)因子,兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子,1、畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖 2、找出可以合并的最小項(xiàng) 3、選取可以合并的乘積項(xiàng)。選取的原則是： 畫矩形圈時(shí)應(yīng)包含所有的最小項(xiàng)，即應(yīng)覆蓋卡諾圖中所有的1 ； 方格中的1可以被一個(gè)以上的圈所包圍 ； 圈的個(gè)數(shù)盡可能的少。這是因?yàn)槊?/p>
15、一個(gè)圈對(duì)應(yīng)于一個(gè)乘積項(xiàng)，圈的個(gè)數(shù)越少，乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)就越少 ； 圈圍成的面積盡可能的大，但必須為 個(gè)方格。這是因?yàn)槿υ酱?，合并時(shí)消去的變量個(gè)數(shù)越多，乘積項(xiàng)的因子也越少 ；,用卡諾圖化簡(jiǎn)的步驟：,,例：,A,BC,例：,,,,,A,BC,例：,,,,,A,BC,,例：,,,化 簡(jiǎn) 結(jié) 果 不 唯 一,用卡諾圖化簡(jiǎn)下式為最簡(jiǎn)與或函數(shù)式 首先畫出函數(shù)的卡諾圖 ，如圖：,,其次，找出可以合并的最小項(xiàng)。將可以合并的最小項(xiàng)用圈畫出，如圖（a）（b）所示，其中圖（a）為不正確的圈法，因?yàn)槿Φ膫€(gè)數(shù)為四個(gè)，不是最少的；而圖（b）是正確的圈法，只有三個(gè)圈，即合并后有三個(gè)乘積項(xiàng)。合并最小項(xiàng)得到,,例： 畫出Y的卡
16、諾圖：,,,,約束項(xiàng) 任意項(xiàng) 邏輯函數(shù)中的無關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng)可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關(guān)項(xiàng)。,在邏輯函數(shù)中，對(duì)輸入變量取值的限制，在這些取值下為1的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng),在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或?yàn)?不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng),,具有約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn),無關(guān)項(xiàng)在邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用,合理地利用無關(guān)項(xiàng)，可得更簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)結(jié)果 加入（或去掉）無關(guān)項(xiàng)，應(yīng)使化簡(jiǎn)后的項(xiàng)數(shù)最少，每項(xiàng)因子最少. 從卡諾圖上直觀地看，加入無關(guān)項(xiàng)的目的是為矩形圈最大，矩形組合數(shù)最少,例：用卡諾圖化簡(jiǎn)帶約束條件的邏輯函數(shù) 約束條件： 解 畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖 ：,,,,,
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