有限元分析基礎.ppt

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1、有限元分析基礎,2010.8,2,內容結構,第一章 概述,第六章 空間問題的有限單元法,第七章 軸對稱旋轉單元,第五章 等參元,第四章 平面結構問題的有限單元法,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,第二章 結構幾何構造分析,3,1.1 有限單元法的概念,1.2 有限單元法基本步驟,1.3 工程實例,第一章 概述,4,第一章 概述,1.1 有限單元法的概念,基本思想:借助于數學和力學知識，利用計算機技術而解決工程技術問題。 Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis,,5,第一章 概述,三大類型(按其推導方法分): (1) 直接剛度法

2、(簡稱直接法): 根據單元的物理意義，建立有關場變量表示的單元性質方程。 (2) 變分法 直接從求解泛函的極值問題入手，把泛函的極植問題規(guī)劃成線性代數方程組，然后求其近似解的一種計算方法。 (3) 加權余量法 直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種近似解法。,,6,1.2 有限單元法基本步驟,(1) 待求解域離散化 (2) 選擇插值函數 (3) 形成單元性質的矩陣方程 (4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程 (5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程 (6) 其它參數計算,第一章 概述,7,圖1-2 工程問題有限單元法分析流程,第一章 概述,8,1.3 工程實例,,(a) 鏟運機舉升工況測試,,第一

3、章 概述,(b) 鏟運機工作裝置插入工況有限元分析,圖1-3 WJD-1.5型電動鏟運機,9,第一章 概述,(a) KOMATSU液壓挖掘機 (b) 某液壓挖掘機動臂限元分析 圖1-4 液壓挖掘機,10,,,圖1-5 駕駛室受側向力應力云圖 圖1-6 接觸問題結構件應力云圖,第一章 概述,11,第一章 概述,,,圖1-7 液壓管路速度場分布云圖 圖1-8 磨片熱應力云圖,圖1-9 支架自由振動云圖,12,第二章 結構幾何構造分析,2.1 結構幾何構造的必要性,2.2 結構計算基本知識,2.3 結構幾何構造分析的自由度與約束,2.4 自由度計算公式,13,2.1 結構幾何構造

4、的必要性,結構是用來承受和傳遞載荷的。如果不計材料的應變，在其受到任意載荷作用時其形狀和位置沒有發(fā)生剛體位移時，稱之為幾何不變結構或幾何穩(wěn)定結構，反之則稱為幾何可變結構或幾何不穩(wěn)定結構。幾何可變結構不能承受和傳遞載荷。對結構進行幾何構造分析也是能夠對工程結構作有限單元法分析的必要條件。,第二章 結構幾何構造分析,14,(a) 結構本身可變 (b) 缺少必要的約束條件 (c) 約束匯交于一點 圖2-1 幾何可變結構,第二章 結構幾何構造分析,15,2.2 結構計算基本知識,2.2.1 結構計算簡圖,實際結構總是很復雜的，完全按照結構的實際情況進行力學分析是不可能的，也是不必要的，因此在對實際

5、結構進行力學計算之前，必須將其作合理的簡化，使之成為既反映實際結構的受力狀態(tài)與特點，又便于計算的幾何圖形。這種被抽象化了的簡單的理想圖形稱之為結構的計算簡圖，有時也稱為結構的力學模型。 結構計算所常用的結點和支座的簡化形式: （1）結點： 鉸結點； 剛結點； 混合結點。 （2）支座： 活動鉸支座； 固定鉸支座 ； 固定支座 ； 定向支座,第二章 結構幾何構造分析,16,2.2.2 結構的分類與基本特征,按結構在空間的位置分 結構可分為平面結構和空間結構兩大類 (2) 按結構元件的幾何特征分 桿系結構： 梁、拱、桁架、剛架、桁構結構等 。 板殼結構

6、 實體結構實體結構的長、寬、高三個尺寸都很 大，具有同一量級。 混合結構,第二章 結構幾何構造分析,17,(3) 按結構自由度分 靜定結構自由度為零的幾何不變結構。其特征: a. 靜定結構的內力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。 b. 靜定結構的內力及支座反力與材料的性質和截面特征（幾何尺寸，形狀）無關。 c. 靜定結構上無外載荷作用時，其內力及支座反力全為零。 d. 若靜定結構在載荷作用下， 結構中的某一部分能不依靠于其它部分， 獨立地與載荷保持平衡時，則其它部分的內力為零。 e. 當將一平衡力系作用于靜定結構的一個幾何不變部分時，結構的其余部分都無

7、內力產生。 f. 當靜定結構中的一個內部幾何不變部分上的載荷作等效變換時，其余部分的內力不變。 g. 當靜定結構中的一個內部兒何不變部分作構造改變時，其余部分的內力不變。,第二章 結構幾何構造分析,18,,超靜定結構自由度大于零的幾何不變結構。其特性： a. 超靜定結構僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多個，但同時滿足結構變形協(xié)調條件的解僅有一個。 b. 超靜定結構的內力及支反力不僅與載荷有關，而且與林料的力學性能和截面尺寸有關。 c. 超靜定結構在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差等而產生的位移會受到多余約束的限制，結構內必將產生內力。 d. 超靜定結構中的

8、多余約束破壞后，結構仍然保持幾何不變性，因而仍有一定的承載能力， 不致整個結構遭受破壞。 e. 超靜定結構由于具有多余的約束，因而比相應的靜定結構具有較大的剛度和穩(wěn)定性， 在載荷作用下，內力分布也較均勻，且內力峰值也較靜定結構為小。,第二章 結構幾何構造分析,19,,第二章 結構幾何構造分析,(1) 具有奇數跨的剛架 正對稱載荷作用,2.2.3 結構對稱性的利用 對稱結構在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產生正對稱的位移，反對稱的位移為零；對稱結構在反對稱載荷下，對稱軸截面上只有反對稱的位移，正對稱的位移為零。,(a) 對稱剛架 （b) 變形狀態(tài)分析 (c) 對稱

9、性利用 圖2-22對稱性利用示意圖,20, 對稱剛架承受反對稱載荷作用,(a) 對稱剛架 (b) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性利用 圖2-23 反對稱性利用示意圖,第二章 結構幾何構造分析,21,(a) 變形狀態(tài)分析 (b) 對稱性利用 圖2-24對稱性利用示意圖,(2) 具有偶數跨的剛架 正對稱載荷作用,第二章 結構幾何構造分析,22, 反對稱載荷作用,(b) 反對稱性狀態(tài)分析,,,第二章 結構幾何構造分析,(a) 變形狀態(tài)分析,(c) 反對稱性受力分析 (d) 反對稱性利用

10、 圖2-25對稱性利用示意圖,23,2.3 結構幾何構造分析的自由度與約束,(1) 自由度 指結構在所在空間運動時，可以獨立改變的幾何參數的數目，也就是確定該結構位置時所需的獨立參數的數目。 (2) 約束 指減少結構自由度的裝置，即限制結構結構運動的裝置。 a. 支座鏈桿的約束 b. 鉸的約束: 單鉸； 復鉸； 完全鉸與不完全鉸。,,,第二章 結構幾何構造分析,24,第二章 結構幾何構造分析,(1)桁架自由度計算公式,一個平面體系的自由度計算結果，不外下述三種可能： a. W0 表明結構缺少必要的約束， 可運動， 故結構必定是幾何可變體系。 b. W=0 表明結構具有保證幾何不變

11、所需的最少的約束數。 c. W0 表明結構具有多余約束。,2.4 自由度計算公式,桁架中的結點數為j，桿件數為g，支座鏈桿數為z，則桁架的自由度W 為,(2) 平面混合結構的自由度計算公式,25,3.1 結構離散與向量表示,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,3.2 位移函數及單元的剛度矩陣,3.3 坐標變換及單元剛度矩陣,3.4 整體剛度矩陣,3.5 約束處理及求解,3.6 計算示例,3.7 ANSYS桁架結構計算示例,3.8ANSYS剛架結構計算示例,26,3.1 結構離散與向量表示,工程上許多由金屬構件所組成的結構，如塔式桁構支承架、起重機起重臂架、鋼結構橋梁、鋼結構建筑等可以歸結

12、為桿系結構。桿系結構按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結構。 桿系結構可以由桿單元、梁單元組成。,,,(a) Liebherr塔式起重機 (b) Liebherr履帶式起重機,(c) 鋼結構橋梁 (d) 埃菲爾鐵塔 圖3-1 桿系結構,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,27,3.1.1 結構離散化,由于桿系結構本身是由真實桿件聯(lián)接而成，故離散化比較簡單，一般將桿件或者桿件的一段( 一根桿又分為幾個單元 )作為一個單元，桿件與桿件相連接的交點稱為結點。 桿系結構的離散化的要點可參考如下： a. 桿件的轉折點、匯交點、自由端、集中載荷作用點

13、、支承點以及沿桿長截面突變處等均可設置成結點。這些結點都是根據結構本身特點來確定的。 b. 結構中兩個結點間的每一個等截面直桿可以設置為一個單元。 變換為作用在結點上的等效結點載荷。,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,28,c. 變截面桿件可分段處理成多個單元，取各段中點處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿進行計算。 d. 對曲桿組成的結構，可用多段折線代替，每端折線為一個單元。如若提高計算精度，也可以在桿件中間增加結點。 e. 在有限元法計算中，載荷作用到結點上。當結構有非結點載荷作用時，應該按照靜力等效的原則將其,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,(a) 結

14、點載荷處理方式 (b) 等效結點載荷處理方式 圖3-2桿系結構離散化示意圖,29,,3.1.2 坐標系,圖3-3 坐標系示意圖,為了建立結構的平衡條件，對結構進行整體分析，尚需要建立一個對每個單元都適用的統(tǒng)一坐標系，即結構坐標系或稱之為整體坐標系、總體坐標系。,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,30,3.1.3 向量表示,在有限單元法中力學向量的規(guī)定為：當線位移及相應力與坐標軸方向一致時為正，反之為負；轉角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標軸正向相一致時為正。對于任意方向的力學向量，應分解為沿坐標軸方向的分量。,,,,剛架結構示意圖 (b) 結點位移和結點力

15、分向量 圖3-4 平面剛架分析示意圖,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,31,結點位移列向量為,單元e結點位移列向量為,結點力向量為,,單元e結點力列向量為,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,32,3.2 位移函數及單元的剛度矩陣,3.2.1 軸向拉壓桿單元的位移的函數,有限單元法分析中，雖然對不同結構可能會采取不同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構建的位移函數的數學模型的性能、能否真實反映真實結構的位移分布規(guī)律等，直接影響計算結果的真實性、計算精度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數應當滿足下列要求: a. 單元位移函數的項數，至少應

16、等于單元的自由度數。它的階數至少包含常數項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應視單元的類型而定。,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,33,,,由單元結點位移，確定待定系數項 當 時， 當 時， 所以 用結點位移表示 其中 、 分別表示當 ， 時； ， 時的單元內的軸向位移狀態(tài)，故稱為軸向位移形函數。,,,,,,,,,,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應變狀態(tài)應當全部包含在位移函數中。 c. 單元的位移函數應保證在單元內連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調性。,34,3.2.2 梁單元平面彎曲的位移函數

17、梁單元平面彎曲僅考慮結點的四個位移分量 ， ， ， ，由材料力學知,各截面的轉角: 故梁單元平面彎曲的位移表達式可分為僅包含四個待定系數 ， ， ， 的多項式 單元結點位移條件 當 時 ， 當 時 ，,,,,,,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,35,,,,稱為形函數矩陣。,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,36,3.2.3 單元的應力應變 在彈性范圍內，并且不考慮剪力的影響時，平面剛架單元內任一點的軸向線應變由兩部分組成，即軸向應變與彎曲應變之和，其軸向應變與平面桁架軸向應變相同。 軸向應變?yōu)? 彎曲應變?yōu)? y為梁單元任意截面上任意

18、點至中性軸 (x軸)的距離。 得出平面剛架單元應變,,,圖3-5 彎曲應變計算示意圖,,,則,,平面剛架梁單元的應變轉換矩陣。,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,37,3.2.4 平面剛架梁單元的剛度矩陣 梁單元的i，j結點發(fā)生虛位移為,,單元內相應的虛應變應為,,由虛功原理有,由于結點虛位移 的任意性，故上式可寫成,上式稱為局部坐標下的平面剛架單元的剛度方程，簡稱為單剛。,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,38,橫截面積A 橫截面對形心軸z的靜矩S 橫截面對主慣性軸z的慣性矩I 得到四個3 3子塊所組成的局部坐標系下的平面剛架梁單元的單元剛度矩陣。

19、,,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,39,平面桁架的單元剛度矩陣為,,空間桁架單元每個結點有3個位移分量，其單元結點位移列向量,,空間桁架局部坐標下的單元剛度矩陣是66的,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,40,空間剛架單元每個結點有6個位移分量，其單元結點位移列向量,,空間剛架局部坐標下的單元剛度矩陣是1212的。,,(a) 桿單元i端產生單位位移 (b) 桿單元j端產生單位位移 圖3-6 平面桁架單元剛度系數的物理意義,(a) 梁單元i端產生單位位移 (b) 梁單元j端產生單位位移,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,41,,(c) 梁單元i端產生單位角

20、位移 (d) 梁單元j端產生單位角位移 圖3-7 平面剛架單元剛度系數的物理意義,3.2.5 單元的剛度矩陣的性質 a. 單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質有關。僅與單元的橫截面積A、慣性矩I、單元長度l、單元的彈性模量E有關。 b. 單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元剛度矩陣對角線兩側對稱位置上的兩個元素數值相等，即，根據是反力互等定理。 c. 單元剛度矩陣是一個奇異陣。 d. 單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,42,3.3 坐標變換及單元剛度矩陣,3.3.1 坐標變換 在整體坐標系中單元結點力向量和結點位

21、移列向量 可分別表示成,,,,,(a) 向量轉換分析 (b) 向量轉換 圖3-8 向量轉換示意圖,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,43,,對于梁單元如圖3-8(b)所示，則有,,可簡寫為,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,44,同理,,式中 平面剛架梁單元的從局部坐標系向整體坐標系的轉換矩陣。,,,3.3.2 整體坐標系下的單元剛度矩陣,,式中 整體坐標下的單元剛度矩陣。,,,和 一樣， 為對稱陣、奇異陣。,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,45,3.4 整體剛度矩陣,3.4.1 整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結構剛度矩陣或總體剛度 矩陣，簡稱總

22、剛。 整體剛度矩陣的求解是建立在結構 平衡條件的基礎之上， 因此研究對象以整體坐標系為 依據。,圖3-9 載荷向量示意圖,如右圖所示剛架結構，其結點載荷列向量分別為,,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,46,結構載荷列向量,結點位移列向量,,,,,,建立結點平衡條件方程式如右表。,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,47,用分塊矩陣的形式，建立桿端內力與結點位移的關系式。,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,48,,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,49,,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,50,單元剛度矩陣由22的子矩陣組成， 每個子矩陣是33的方陣。

23、的上角標表示單元編號，下角標表示單元j端單位位移所引起的i端相應力。 將桿端內力與結點位移關系式代入結點的平衡條件方程式中，經整理得：,,簡寫為,稱之為結構原始平衡方程。其中,,為整體剛度矩 陣。,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,51,3.4.2 整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標系下，矩陣按照結點編號的順序組成的行和列的原則，將全部單元剛度矩陣擴展成nn方陣后對號入座疊加得到。,對于單元1,,對于單元2,,對于單元3,,單元剛度矩陣集成得出整體剛度矩陣,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,52,3.4.3 整體剛度矩陣的性質 整體剛度矩陣 中位于主對角線上

24、的子塊 ，稱為主子塊，其余 為副子塊。 a. 中主子塊 由結點i的各相關單元的主子塊擴展之后疊加求得，即 b. 當結點i、 j為單元e的相關結點時， 中副子塊 為該單元e相應的副子塊，即 。 c. 當結點i、 j為非相關結點時， 中副子塊 為零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有關。 e. 為對稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整體剛度矩陣時沒有考慮結構的邊界約束條件。,,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,53,,g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū)域的寬度與結點編

25、號有關，非零元素分布在以對角線為中心的帶狀區(qū)域內，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖3-10(a)。在包括對角線元素在內的區(qū)域中，每行所具有的元素個數叫做把半帶寬，以d表示。 最大半帶寬等于相鄰結點號的最大差值加 1 與結點自由度數的乘積，結點號差越大半帶寬也就越大。計算機以半帶寬方式存儲，見圖3-10(b)。半帶寬越窄，計算機的存儲量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運算次數。其效果對大型結構顯得尤為突出。 圖3-10 整體剛度矩陣存儲方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求逆，必須作約束處理方能正確地將結點位移求出，進而求出結構的應力場。,(a) 帶狀分布規(guī)律,(b) 帶狀

26、存儲,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,54,3.5 約束處理及求解,3.5.1 約束處理的必要性 建立結構原始平衡方程式 時，并未考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結構處理成一個自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結構。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解?？梢詤⒄盏?2 章的原則，結合實際工程結構引入支承條件，即對結構原始平衡方程式 做約束處理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為,,3.5.2 約束處理方法 約束處理常用方法有填0置1法和乘大數法。采用這兩種方法不會破壞整體剛度矩陣的對稱性、稀疏性及帶狀分布等特性。,第三章 桿系結構靜力分析的

27、有限單元法,55,,,下面以圖3-11所示剛架結構為例，解釋如何進行約束處理。對于下圖所示剛架結構,設結點位移列向量為 設結點載荷列向量為,,,,固定支座 (b) 支座強迫位移已知 圖3-11 結構約束,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,56,其原始平衡方程式為,,按照每個結點的位移分量將上式展開為,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,57,對于如圖3-11(a)所示，結構約束（支座）位移全部為零，此時做約束處理時，采用填0置1法比較適宜。 對于如圖3-11(b)所示，某約束（支座）位移為給定的強迫值，此時做約束處理時，采用乘大數法比較適宜。 (1) 填0置1法

28、如右圖所示結點1、3處為固定支座，可知 將整體剛度矩陣中與之相對應的主對角元素全部置換成1， 相應行和列上的其它元素均改為0。 同時，所在同一行上的載荷分量替換成0，則有,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,58,,,則,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,也可簡便地采用劃行劃列的辦法。在整體剛度矩陣中將與約束位移為 0 的行和列劃掉，包括相關的所在行的位移和載荷向量。,59,處理后得基本平衡方程 (2) 乘大數法 右圖所示剛架，結點1為固定支座，結點3處在方向的約束為已知強迫位移。即 將整體剛度矩陣中與之相對應的主對角元素全部乘以一個大數N，一般取 。

29、同時，將相應同一行上的載荷分量替換成 N 乘以其主對角剛度系數和給定的強迫位移（包括零位移）。,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,60,,,得到,由于N 足夠大，可以近似認為,,,則得出,,同時得到,,,求出位移 之后，即可以求出結構的應力場 。,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,61,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,用有限單元法計算空間剛架結構，在原理上及推導過程與計算平面剛架結構相同。在此不再重復。但應注意到，由于空間的每一結點一般具有六個自由度，故計算較之復雜些。,3.6 計算示例 設兩桿的桿長和截面尺寸相同，,桿件長 m。,圖3-12 剛架受力簡圖,62

30、,結構離散化后 將結構劃分為4個結點、3個單元,截面積,，慣性矩,(2) 求結點載荷 首先須求局部坐標系中固定端內力,,,,(a) 單元1作為兩端固定梁反力示意圖 (b) 單元2作為兩端固定梁反力示意圖 圖3-13內力示意圖,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,63,單元1,單元2,,在局部坐標系下單元載荷列向量,單元1,,單元2,,單元3,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,64,為了求出在整體坐標下的載荷列向量，先求單元得坐標轉換矩陣,,單元1、2,,,單元3,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,65,求各單元在整體坐標下的等效結點載荷,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限

31、單元法,66,,求剛架的等效結點載荷,,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,67,因為無結點載荷作用，總結點載荷即為等效結點載荷。,(3) 求單元剛度矩陣 由于單元1、2、3的尺寸相同，材料彈性模量相同，故,,,梁單元的局部坐標下的剛度矩陣表達式,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,68,,則,（4）求整體坐標系中的,,單元1,,單元2,,單元3,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,69,,（5）求結構整體剛度矩陣,,利用剛度集成法,,（6）建立原始平衡方程式,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,70,（7）引入約束條件解方程組,由于1、3、4為固定端，

32、 修改整體剛度矩陣中的13，612行與列， 以及載荷列向量中的相應的行，既約束處理。,建立基本平衡方程,即,,得到,（8）求各桿的桿端力,,,,單元3結點位移列向量,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,71,單元1桿端內力計算,,單元2桿端內力計算,,單元3桿端力計算,,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,72,（9）作內力圖,（a） 剛架軸力圖,（b） 剛架剪力圖,（c） 剛架軸彎矩圖 圖3-14 剛架內力圖,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,73,3.7 ANSYS桁架結構計算示例,,=1m;,,=1m; 材料為Q235;,（1）選擇單元類型,運行PreprocessorEle

33、ment TypeAdd/Edit/Delete,,在結點8上施加豎直向下的集中載荷F60000N， 約束為結點1處約束X,Y方向自由度，結點5處約束Y方向自由度。,,圖3-15 桁架結構示意圖 圖3-16 桁架各單元橫截面圖,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,圖3-17 單元類型對話框,74,圖3-18 單元類型庫對話框,（2）設置材料屬性,運行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models,,,,圖3-19選擇材料屬性對話框 圖3-20設置材料1屬性對話,（3）設置單元截面形式,選擇菜單PreprocessorSectionsBeam

34、Common Sections,圖3-21梁截面設置對話框,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,75,（4）定義實常數,運行Real ConstantsAdd/Edit/Delete,圖3-22 設置LINK1單元的實常數,（5）建立模型,首先生成結點，運行主菜單PreprocessorModeling Create Nodes In Active CS; 再生成單元，運行主菜單 PreprocessorModelingCreateElementsAuto NumberedThru Nodes穿越結點命令。,圖3-23 創(chuàng)建結點對話框,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,76,圖3-24

35、通過結點建立單元,圖3-25 桁架的有限元模型,（6）施加約束,運行主菜單SolutionDefine Loads ApplyStructuralDisplacementOn Nodes,圖3-26 結點施加約束對話框,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,77,（7）施加載荷 運行主菜單SolutionDefine LoadsApplyStructural Force/MomentOn Nodes。,圖3-27 結點施加載荷對話框,（8）求解 運行主菜單 Solution SolveCurrent LS，分析當前的負載步驟命令， 彈出如圖3-28所示對話框，單擊OK，開始運行分析。分

36、析完畢后， 在信息窗口中提示計算完成， 單擊Close將其關閉。,（9）后處理 運行主菜單 General PostprocPlot Results Contour PlotNodal Solu命令，運行DOF Solution Displacement vector sum，出現桁架軸向應力云圖。,圖3-29 云圖顯示對話框,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,圖3-28 求解對話框,78,圖3-30 位移云圖,選擇Stressvon Mises stress，則出現桁架位移云圖,圖3-31 云圖顯示對話框,圖3-32 軸向應力云圖,桁架的位移云圖可知，最大位移發(fā)生在桁架的中部，最大位移

37、為 m。 桁架的軸向應力云圖可知，最大應力發(fā)生在2單元。最大應力45.9MPa。,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,79,3.8 ANSYS剛架結構計算示例,圖3-33 剛架示意圖,約束形式為：A、D點施加全約束。在BC梁中點處受到豎直向下集中載荷的作用F1=20000N， AB柱的中點處受水平向右的集中載荷 F2=10000N；AB2m， BC2m，材料為鋼材，彈性模量E=2.11011Pa，泊松比=0.3。,（1）選擇分析范疇,圖3-34選擇分析范疇對話框,在主菜單中單擊Preferences菜單， 彈出Preferences for GUI Filter

38、ing窗口， 選擇Structural， 然后單擊OK按鈕。,,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,80,（2）選擇單元類型 運行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete， 彈出Element Types對話框，選擇BEAM188單元。,圖3-35 單元類型對話框,圖3-36 單元類型庫對話框,（3）設置單元截面形式 運行PreprocessorSectionBeamCommon Sections，彈出 Beam Tool 對話框，W1選項欄中填寫0.1，W2選項欄中填寫0.2，t1t4中填寫0.008。 設置完畢單擊OK按鈕。,圖3-37 梁截

39、面設置對話框,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,81,（4）設置材料屬性 運行PreprocessorMaterial Props Material Models，彈出Define Material Model Behavior對話框。雙擊Isotropic選項，彈出Linear Isotropic Properties for Material Number1對話框，在EX選項欄中設置數值2.1e11，在PRXY選項欄中設置數值0.3。設置完畢單擊OK按鈕。,圖3-38 選擇材料屬性對話框,圖3-39 設置材料屬性對話框,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,82,（5）建立模型

40、 設置材料屬性對話框運行PreprocessorModelingCreateKeypointsIn Active CS。創(chuàng)建關鍵點1，在NPT選項欄中設置數值1， 表示設置的關鍵點號為1，在X,Y,Z欄中設置數值0，0，0，表示關鍵點1的坐標為：（0,0,0）。同理設置關鍵點2，3，4。坐標分別為（0,2,0），（2,2,0），（2,0,0）。 運行PreprocessorModelingCreate LinesLinesStraight Line， 彈出Create Straight Line 對話框。 分別拾取點 1-2, 3-4,2-3。并經過布爾運算將兩直線相加。,圖3-40 創(chuàng)建

41、關鍵點對話框,圖3-41 創(chuàng)建直線對話框,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,83,圖3-42 剛架模型,（6）劃分網格 選擇剛架的單元屬性，運行Preprocessor MeshingMesh AttributesPicked lines，彈出Line Attributes對話框。拾取剛架后彈出Meshing Attributes對話框，采取默認設置。 點擊OK。,圖3-43 劃分網格拾 取線對話框,圖3-44設置網格單元屬性,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,84,選擇 PreprocessorMeshingSize Cntrls Manual Size LinesPick

42、ed Lines，選擇剛架，彈出對話框。在NDIV一欄中輸入30，單擊OK。最后在Mesh Tool中自由劃分網格。,圖3-45 定義單元尺寸拾取線對話框,圖3-46 設置線上單元尺寸對話框,（7）施加約束 運行 Solutiondefine Loads ApplyStructure Displacement On Keypoints，選擇關鍵點1，選擇ALL DOF。同理對關鍵點4進行全約束。,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,85,圖3-47 對關鍵點施加全約束,（8）施加載荷。 將圖形結點顯示，運行PlotCtrlsNumbering，激活Node Numbers后面的選框，

43、使它變成on形式。選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructure Force/ MomentOn Nodes。拾取結點17，施加集中載 荷Fy=-20000N。 同理，在結點7上施加集中載荷Fx=10000N。,圖3-48 編號顯示設置對話框,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,86,,,,圖3-49 拾取點對話框 圖3-50 施加約束、載荷后的剛架有限元模型,（9）求解 選擇 SolutionSolveCurrent LS，彈出如右圖所示對話框，單擊OK按鈕，開始計算。計算結束會彈出計算完畢對話框，單擊Close關閉對話框，計算完畢。,圖3-51 求

44、解對話框,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,87,（10）后處理 顯示位移云圖：運行 General PostprocPlot Results Contour PlotNodal Solu。 彈出如下圖所示對話框，運行DOF SolutionDisplacement vector sum顯示剛架位移云圖。,,,,圖3-52 云圖顯示對話框 圖3-53 剛架的位移云圖,第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法,88,4.1 平面應力問題,第四章 平面結構問題的有限單元法,4.2 平面應變問題,4.3 平面問題的離散化,4.4 平面三結點三角形單元,4.5 ANSYS平面結構計算示例

45、,89,嚴格地說，任何彈性體都是處于三維受力狀態(tài)，因而都是空間問題，但是在一定條件下，許多空間問 題都可以簡化成平面問題。 平面問題可以分為兩類：平面應力問題和平面應變問題。,圖4-1 平面問題應力狀態(tài),第四章 平面結構問題的有限單元法,90,4.1 平面應力問題,圖4-2(a) 平面應力問題,如圖所示的深梁結構，其厚度方向的尺寸遠比其它兩個方向的尺寸小得多，可視為一薄板。它只承受作用在其平面內的載荷，且沿厚度方向不變，計算時以中性面為研究對象。其力學特點是：,,平面應力問題的應力應變轉換矩陣即彈性矩陣為：,。,第四章 平面結構問題的有限單元法,91,圖4-2(b) 平面應變問題,4.2 平

46、面應變問題,圖示為一圓形涵洞的橫截面。其長度方向上的尺寸遠比其它兩個方向上的尺寸大得多，同樣，載荷作用在xy坐標面內，且沿z軸方向均 勻分布。其力學特點是：,,但一般情況下,平面應變問題的彈性矩陣只需將式(4-1)中的E換成,換成,，,即可。,。,第四章 平面結構問題的有限單元法,92,無論是平面應力問題還是平面應變問題的應力,,與 應變,,之間的關系均為：,,,,，其中：,為初應變。,式中,4.3 平面問題的離散化,(a) 三結點三角形單元 (b) 四結點正方形單元 (c) 四結點矩形單元 (d) 四結點四邊形單元,圖4-3 平面問題單元的主要類型,第四章 平面結構問題的有限單元法,93,

47、圖4-4(a)表示的是帶有橢圓孔的平板，在均勻壓力作用下的應力集中問題。圖4-5(b)是利用結構的對稱性，采用三結點三角形單元而離散后的力學模型，各單元之間以結點相連。,,,,(a) 均勻受力板力學模型 (b) 力學模型離散化,圖4-4 平面問題有限單元法的計算力學模型,第四章 平面結構問題的有限單元法,94,4.4 平面三結點三角形單元,4.1.1 位移函數,,圖4-5 三角形單元,如果把彈性體離散成為有限個單元體，而且單元很小時，就很容易利用其結點的位移，構造出單元的位移插值函數，即位移函數。,,位移函數矩陣形式：,第四章 平面結構問題的有限單元法,95,簡寫為：,由于位移函數適

48、用于單元中的任意一點，所以帶入3個結點的坐標后，得出結點處位移函數為,簡寫為：,第四章 平面結構問題的有限單元法,96,解出,,其中，,是三角形單元的面積，當三角形單元結點i、j、m按逆時針次序排列時，則有,4.4.2 形函數矩陣,第四章 平面結構問題的有限單元法,97,,其中記號,表示將i、j、m進行輪換后，可得出另外兩組帶腳標的a、b、c的公式。,單元位移函數為結點位移的插值函數，即,,第四章 平面結構問題的有限單元法,(4-9),98,令,,在式(4-10)中表示的 稱為形函數，于是位移函數表達式用形函數表示為：,(4-10),,(4-11),寫成矩陣形式,,(4-12),第四

49、章 平面結構問題的有限單元法,99,由幾何方程知,,將式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏導數，得,(4-13),,4.4.3 單元的應力與應變,第四章 平面結構問題的有限單元法,100,,簡寫為：,(4-14),,由于B是常量，單元內各點應變分量也都是常量，這是由于采用了線性位移函數的緣故，這種單元稱為常應變三角形單元。,(4-15),第四章 平面結構問題的有限單元法,101,由彈性力學的物理方程可知，其應力與應變有如下關系：,,(4-16),將式(4-14)代入式(4-16)，得,,(4-17),,式中,(4-18),S稱為應力轉換矩陣，對平面應力問題，其子矩陣為,(4-19),由式(

50、4-17)看出，應力分量也是一個常量。在一個三角形單元中各點應力相同，一般用形心一點表示。其應變也可同樣表示。,第四章 平面結構問題的有限單元法,102,用虛功原理來建立結點力和結點位移間的關系式，從而得出三角形單元的剛度矩陣。,(a) 實際力系 (b) 虛設位移,圖4-6 彈性體虛功原理的應用,4.4.4 三角形單元剛度矩陣,第四章 平面結構問題的有限單元法,103,結點力列向量和應力列向量分別為,,,結點虛位移列向量和虛應變列向量為,,,用虛功原理建立三角形單元的虛功方程為,,,由式(4-12)式知,，,代入式(4-20)得,(4-20),第四章 平面結構問題的有限單元法,10

51、4,由于虛位移是任意的，等號兩邊可左乘,，得,,,,,(4-21),三角形單元的剛度矩陣可寫成,,,(4-22),用分塊矩陣形式表示,,(4-23),第四章 平面結構問題的有限單元法,105,結構的平衡條件可用所有結點的平衡條件表示。假定i 結點為結構中的任一公共結點，則該結點平衡條件為：,,,,i 結點的結點力列向量,,,圍繞i結點所有單元的結點力的向量和,i結點的載荷列向量。,,,4.4.5 整體剛度矩陣,第四章 平面結構問題的有限單元法,106,每個結點由兩個平衡方程組成，若結構共有n個結點，則有2n個平衡方程。整個結構的平衡條件由式(4-24)求和得到，即：,,i1，2，n,,(4-2

52、6),(4-27),其中，K為結構整體剛度矩陣； 為結構的結點位移列向量。,,(4-28),第四章 平面結構問題的有限單元法,107,將式(4-26)、式(4-27)代入式(4-25)中得,,(4-29),整體剛度矩陣也可按結點寫成分塊矩陣的形式：,,(4-30),同桿系結構一樣，整體剛度方程經過約束處理后，即可求出結點位移，進而求出所希望的應力場。,第四章 平面結構問題的有限單元法,108,4.5 ANSYS平面結構計算示例,4.5.1問題描述,如圖4-7所示長方形板ABCD，板厚0.04m，孔半徑r=0.2m，E=210GPa，泊松比=0.3，約束條件：在長方形底邊AD約束全部自由度, B

53、C邊施加垂直向下均布載荷g=10000000N/m。,圖4-7 長方形板結構,4.5.2 ANSYS求解操作過程,打開Ansys軟件，在Ansys環(huán)境下做如下操作。,,第四章 平面結構問題的有限單元法,109,圖4-8 單元類型對話框,（1）選擇單元類型 運行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，彈出Element Types對話框，如圖4-8所示。單擊Add，彈出 Library of Element Types窗口，如圖4-9所示，依次選擇Structural Solid，Quad 8 node 82，單擊OK。,圖4-9 單元類型庫對話框,第四

54、章 平面結構問題的有限單元法,110,在Element Types對話框中，如圖4-10所示，單擊Options，彈出如圖4-11所示對話框，設置K3選項欄為Plane strs w/thk，設置K5選項欄為Nodal stress，設置K6選項欄為No extra output。表示單元是應用于平面應力問題，且單元是有厚度的。,圖4-10 單元類型對話框,圖4-11 PLANE82 單元選項設置對話框,第四章 平面結構問題的有限單元法,111,（2）定義實常數 運行PreprocessorReal ConstantsAdd /Edit/Delete，彈出如圖4-12所示對話框，點擊Add，

55、彈出如圖4-13所示對話框，點擊OK，彈出如圖4-14所示對話框，在THK選項欄中設置板厚度為0.04m。設置完畢單擊OK按鈕。,圖4-12 實常數對話框,圖4-13 選擇要設置實常數的單元類型,圖4-14 PLANE82實常數設置,第四章 平面結構問題的有限單元法,112,（3）設置材料屬性 運行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models，彈出如圖4-15所示對話框，依次雙擊Structural，Linear，Elastic，Isotropic，彈出圖4-16所示對話框，在EX選項欄中設置數值 2.1e11，在PRXY選項欄中設置數值0.3。設置完畢

56、單擊OK按 鈕。,圖4-15 選擇材料屬性對話框,圖4-16 設置材料屬性對話框,第四章 平面結構問題的有限單元法,113,（4）建立模型 運行PreprocessorModelingCreateAreaRectangleBy 2 Corners，彈出如圖4-17所示對話框，設置參數， WP X選項欄中填寫0，WP Y選項欄中填寫0，Width選項欄中填寫1.5，Height選項欄中填寫1，單擊OK。繼續(xù)運行PreprocessorModelingCreateAreaCircleSolid Circle，得到如圖4-18所示對話框，在WP X選項欄中填寫0.75，WP Y選項欄中填寫0.5，

57、在Radius選項欄中填寫0.2，設置完畢點擊OK按鈕。,圖4-17 建立矩形對話框,圖4-18 創(chuàng)建實 心圓對話框,第四章 平面結構問題的有限單元法,114,進行布爾運算：PreprocessorModelingOperateBooleans SubtractAreas，先選矩形面單擊 OK，再單擊圓面，單擊OK。得 到如圖4-19所示圖形。,圖4-19 長方形板模型,（5）劃分網格 運行MeshingSize CntrlsManual SizeAreasAll Areas，彈出如圖4-20所示對話框，在SIZE選項欄中填寫0.05，點擊OK按鈕。,圖4-20 設置網格尺寸對話框,第四章

58、平面結構問題的有限單元法,115,運行MeshMesh Tool，彈出如圖4-21所示對話框，在Shape選項欄后面，選擇Tri和Free，單擊Mesh.劃分網格，網格劃分如圖4-22所示。,圖4-21 網格劃分對話框,圖4-22 劃分網格后的有限元模型,第四章 平面結構問題的有限單元法,116,圖4-23 施加全約束,（6）施加約束 選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructure DisplacementOn Lines，選擇長方形底邊，彈出圖4-23所示對話框，選擇All DOF，單 擊OK。,（7）施加載荷 選擇菜單SolutionDefine Loa

59、dsApplyStructure PressureOn Lines，彈出如圖4-24所示對話框。拾取長方形上邊，單擊OK按鈕。彈出如圖4-25所示對話框。在VALUE選項欄中填寫10000000。設置完畢點擊OK完成設置。,第四章 平面結構問題的有限單元法,117,圖4-24 拾取要施加載荷的邊,圖4-25 施加載荷對話框,（8）求解 運行SolutionSolveCurrent LS，彈出如圖4-26所示對話框。單擊OK按鈕，開始計算，計算結束會彈出計算完畢對話框，單擊Close關閉對話框，計算完畢。,圖4-26 求解當前步載荷對話框,第四章 平面結構問題的有限單元法,118,（9）后處理

60、 運行 General PostprocPlot ResultsContour Plot Nodal Solu，彈出如圖4-27所示對話框，運行DOF SolutionDisplacement vector sum和Stressvon Mises stress，分別顯示長方形面板的位移云圖和應力云圖。 結果顯示如圖4-28和圖4-29所示。,圖4-27 云圖顯示對話框,第四章 平面結構問題的有限單元法,119,圖4-28 位移變形云圖,圖4-29 等效應力云圖,4.5.3 結論,從圖4-28長方形面板的位移云圖可知，最大位移發(fā)生在圓孔的上部，最大位移為0.75010-4m。 從圖4-29

61、長方形面板的應力云圖可知，最大應力發(fā)生在圓孔的兩側，最大應力為32.9MPa。,第四章 平面結構問題的有限單元法,120,5.1坐標變換與平面四結點等參元,第五章 等參元,5.2平面八結點等參單元,5.3單元剛度矩陣,5.4 ANSYS等參元計算示例,121,5.1 坐標變換與平面四結點等參元,圖5-1(a)為一個任意四邊形單元，稱為實際單元。在實際單元內以對邊的中點連線建立起一個局部坐標系，通過坐標轉換把實際單元“映射”為如圖5-1(b)所示的一個正方形，此坐標系稱為單元的自然坐標系或等參數坐標系，正方形稱為基本單元，基本單元內任一 點P( ， )與實際單元內的一點P(x，y)唯一對應。,(

62、a) 直角坐標系與實際單元 (b) 自然坐標系與基本單元,圖5-1 四結點等參單元,第五章 等參元,122,實際單元與基本單元的對應關系可寫為,或,其中,,用同樣的形狀函數來插值單元內任意一點(x, y)的位移,(5-1),(5-2),第五章 等參元,123,,為此單元的結點位移列向量， 為形狀函數矩陣。這里采用了同樣的形狀函數式(5-2)，用同樣的結點插值函數表示出單元的幾何坐標x、y與u、v，這種單元稱為等參單元。,,(5-3),即：,第五章 等參元,124,5.2 平面八結點等參元,類似地可以推廣到具有更多結點的單元，如圖5-2所示,(a) 直角坐標系與實際單元 (b) 自然坐標系與

63、基本單元,圖5-2 八結點等參單元,該基本單元的位移函數可取為,,,(5-4),第五章 等參元,125,其中在頂角結點與邊中點上的形函數分別為,,,(5-6),(5-5),第五章 等參元,126,5.3 單元剛度矩陣,首先給出單元內的應變列向量，對平面問題，應有,,(5-7),按坐標變換關系式(5-1)，有,,,第五章 等參元,127,寫成矩陣表達式為：,,(5-8),由式(5-8)可解出,,,其中,,稱為坐標變換的雅可比（Jacabian）矩陣，其中,(5-9),第五章 等參元,128,,,合寫成矩陣形式有,,(5-10),將式(5-3)代入式(5-7)中，則有,,,為應變轉換矩陣，按結點分

64、塊表示，有,第五章 等參元,129,,,而 i=1,2,3,4,(5-11),將式(5-9)代入式(5-11)，即可得出此單元的應變轉換 矩陣 ，進而求出 。,,,同上，單元內的應力可表示為,,單元剛度矩陣由虛功原理求得，即,第五章 等參元,130,,(5-12),上述積分在自然坐標系內進行，得,,剛度矩陣,,(5-13),一般參數單元的計算都采用數值積分求式(5-13)的近似值，同時，為了減少計算點的數目和便于編寫程序，多采用高斯數值積分方法。二維積分法的高斯求積公式為,,(5-14),第五章 等參元,131,式中， 為對應的坐標位置 、 值， 、 為權重系數

65、，L、M為沿 、 方向的積分點數目。,,,,,,,,5.4 ANSYS平面結構計算示例,5.4.1 問題描述,一個長方形面板，如圖5-3所示，其高AB=1m，寬BC=1.5m，板厚b=0.04，孔半徑R0.2m，長方形面板的彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3，約束條件：在長方形底邊約束全部自由度。載荷：BC邊施加垂直向下均布載荷F10000000N/m。,圖5-3 長方形板結構,第五章 等參元,132,5.4.2 ANSYS求解操作過程,打開Ansys軟件，在Ansys環(huán)境下做如下操作。 （1）選擇單元類型 運行PreprocessorElement Type Add/Edit/D

66、elete，彈出Element Type對話框，如圖5-4所示。單擊Add，彈出 Library of Element Type窗口，如圖5-5所 示，選擇PLANE82。,圖5-4 單元類型 對話框,圖5-5單元類型庫對話框,第五章 等參元,133,在Element Types對話框中單擊Options對話框，彈出如圖5-6所示對話框，設置K3選項欄為Plane strs w/thk，設置K5選項欄為Nodal stress，設置K6選項欄為No extra output。表示單元是應用于平面應力問題，且單元是有 厚度的。,圖5-6 PLANE82 單元類型選項對話框,運行PreprocessorReal Constants Add/Edit/Delete。彈出如圖5-7所示對話框，點擊Add，彈出如圖5-8所示對話框，點擊OK，彈出如圖5-9所示對話框。在THK選項欄中設置板厚度為0.04m。設置完畢單擊OK按鈕完 成設置。,第五章 等參元,134,（2）設置材料屬性 運行PreprocessorMaterial Props Material Models，彈出如圖5-10所示對