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1、
第三節(jié) 一般常數(shù)項級數(shù)
上節(jié)我們討論了關(guān)于正項級數(shù)收斂性的判別法，本節(jié)我們要進一步討論關(guān)于一般常數(shù)項級數(shù)收斂性的判別法，這里所謂“一般常數(shù)項級數(shù)”是指級數(shù)的各項可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零. 先來討論一種特殊的級數(shù)——交錯級數(shù)，然后再討論一般常數(shù)項級數(shù).
分布圖示
★ 交錯級數(shù)
★ 例1 ★ 例2
★ 絕對收斂與條件收斂
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 例6 ★ 例7
★ 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)（1）
★ 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)（2） ★ 例8
★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí)
★ 習(xí)題12-3 ★ 返回
內(nèi)容要點
一、
2、交錯級數(shù)收斂性的判別法；
二、絕對收斂：如果收斂，則稱為絕對收斂；根據(jù)這個結(jié)果，我們可以將許多一般常數(shù)項級數(shù)的收斂性判別問題轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)的收斂性判別問題；
條件收斂：如果發(fā)散，但收斂，則稱條件收斂.
三、了解絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)：絕對收斂的級數(shù)重排后得到的新級數(shù)也絕對收斂，且其和相等；
四、級數(shù)的乘法運算：按“對角線法”排列所組成的級數(shù)
稱為級數(shù)與的柯西乘積.
例題選講
交錯級數(shù)判別法的應(yīng)用
例1（E01）判斷級數(shù)的收斂性.
解 易見題設(shè)級數(shù)的一般項滿足:
所以級數(shù)收斂,其和用近似產(chǎn)生的誤差
注：判別交錯
3、級數(shù)（其中）的收斂性時，如果數(shù)列單調(diào)減少不容易判斷，可通過驗證當(dāng)充分大時，來判斷當(dāng)充分大時數(shù)列的單調(diào)減少；如果直接求極限有困難，亦可通過求（假定它存在）來求.
例2（E02）判斷的收斂性.
解 由于所以是交錯級數(shù).令有
即時，是遞減數(shù)列,又利用洛必達法
則有 則由萊布尼茨定理知該級數(shù)收斂.
絕對收斂與條件收斂
例3（E03）判別級數(shù)的收斂性.
解 由易見當(dāng)時，題設(shè)級數(shù)絕對收斂;
當(dāng)時，由萊布尼茨定理知收斂，但發(fā)散，故題設(shè)級數(shù)條件收斂.
例4（E04）判別級數(shù)的收斂性.
解 而收斂,收斂,故由定理知原級數(shù)絕對收斂.
例5 判定級數(shù)的收斂性.
4、
解 由有 而
可知因此所給級數(shù)發(fā)散.
例6（E05）判別級數(shù)的收斂性.
解 這是一個交錯級數(shù),令考察級數(shù)是否絕對收斂,
采用比值審斂法:
所以原級數(shù)非絕對收斂.
由可知當(dāng)充分大時,有故所以原級數(shù)發(fā)散.
例7 判別級數(shù)的收斂性.
解 因為
即且
由交錯級數(shù)審斂法，原級數(shù)收斂.另一方面,而發(fā)散,
故發(fā)散.于是級數(shù)是條件收斂的.
柯西乘積的應(yīng)用
例8（E06）證明
證 由知級數(shù)絕對收斂，故可寫成
其中
由定理 6,得
課堂練習(xí)
1. 判別級數(shù)的收斂性.
2. 設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少, 且級數(shù)發(fā)散, 試問級數(shù)是否收斂并說明理由?
高等數(shù)學(xué)備課資料：第十二章 無窮級數(shù) 03 第三節(jié)一般常數(shù)項級數(shù)
