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1、勞斯穩(wěn)定判據(jù),設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為,將上式中的各項(xiàng)系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表,勞斯穩(wěn)定判據(jù),表中,用同樣的方法，求取表中其余行的系數(shù)，一直到第 n+1 行排完為止。,勞斯穩(wěn)定判據(jù),勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)的變換，去判別特征方程式的根在 s 平面上的具體分布，其結(jié)論是：,2）如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在 s 平面的右半平面上的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,1）如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根在 s 平面的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，是控制精度（準(zhǔn)確度）的一種度量，是控制系
2、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。在實(shí)際系統(tǒng)中，引起穩(wěn)態(tài)誤差的因素是多種多樣的。,1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性,2、系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性,,5個(gè)指標(biāo),穩(wěn)態(tài)誤差,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,1、“穩(wěn)態(tài)”是什么概念？,2、穩(wěn)態(tài)誤差是怎樣定義的？,3、穩(wěn)態(tài)誤差有幾種？,4、定義在輸入端和定義在輸出端兩種計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差方法有何區(qū)別？,5、在兩個(gè)輸入下怎樣計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差？,6、系統(tǒng)根據(jù)什么分為0型、I型、II型？,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素很多，如系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的參數(shù)以及輸入量的形式等。必須指出的是，這里所說(shuō)的穩(wěn)態(tài)誤差并不考慮由于元件的不靈敏區(qū)、零點(diǎn)漂移、老化等原因所造成的永久性的誤差。,在穩(wěn)態(tài)條件下，期望輸出cr(t)與實(shí)際輸出c
3、(t)之差定義為反饋系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差： 給定輸入下的誤差給定誤差 擾動(dòng)輸入下的誤差擾動(dòng)誤差,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,穩(wěn)態(tài)誤差的定義,圖所示的這樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，其輸入量和輸出量通常為不同的物理量，因而系統(tǒng)的誤差不能直接用它們的差值來(lái)表示。,用輸入量與反饋量的差值來(lái)定義系統(tǒng)的誤差，即,這樣定義的誤差，在實(shí)際中是可以量測(cè)的。如果需要把上述定義的誤差折算為輸出量綱來(lái)表示，那只要把它除以 H(s) ，即,如果系統(tǒng)穩(wěn)定，且其穩(wěn)態(tài)誤差的終值存在，則該值可用終值定理求得，即,（3-27）,（3-28）,上式表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不僅與其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，而且也與輸入信號(hào)的形式和大小有關(guān)，即系統(tǒng)的
4、結(jié)構(gòu)和參數(shù)的不同，輸入信號(hào)的形式和大小的差異，都會(huì)引起系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的變化。,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,說(shuō)明：,1）誤差是從系統(tǒng)輸出端來(lái)定義的，它是輸出的希望值與實(shí)際值之差，這種方法定義的誤差在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無(wú)法測(cè)量，因而一般只具有數(shù)學(xué)意義。,2）偏差是從系統(tǒng)的輸入端來(lái)定義的，它是系統(tǒng)輸入信號(hào)與主反饋信號(hào)之差，這種方法定義的誤差，在實(shí)際系統(tǒng)中是可以測(cè)量的，因而具有一定的物理意義。,3）對(duì)單位反饋系統(tǒng)而言，誤差與偏差是一致的。,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,系統(tǒng)型別,設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為,稱(chēng)為零型系統(tǒng),稱(chēng)為 I 型系統(tǒng),稱(chēng)為 II 型系統(tǒng),系統(tǒng)的型別以 來(lái)劃分,優(yōu)點(diǎn)：
5、1可以根據(jù)已知的輸入信號(hào)形式，迅速判 斷是否存在穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。,2系統(tǒng)階數(shù)m,n的大小與系統(tǒng)型別無(wú)關(guān)，且 不影響穩(wěn)態(tài)誤差的數(shù)值。,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,利用終值定理計(jì)算,應(yīng)用終值定理的條件是sE(s)在s左半平面及虛軸上解析，或者說(shuō)sE(s)的極點(diǎn)位于左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）。,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,位置（階躍）誤差系數(shù),終值定理：,斜坡（速度）誤差系數(shù),拋物線（加速度）誤差系數(shù),控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,求系統(tǒng)的給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差可以先求穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù),0型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)，誤差系數(shù)=K,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中不含積分環(huán)節(jié),三種典型輸入下有三個(gè)誤差系數(shù)的
6、計(jì)算公式，而三個(gè)誤差系數(shù)對(duì)應(yīng)于“0”“I”“II”型系統(tǒng)又分別有三種情況。,0型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)，輸出始終不會(huì)等于輸入，存在穩(wěn)態(tài)誤差。,1、0型系統(tǒng),階躍信號(hào)輸入,2、I型系統(tǒng),I 型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)誤差系數(shù)無(wú)窮大,I 型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差 輸出最終等于輸入,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含一個(gè)積分環(huán)節(jié),控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,3、II 型系統(tǒng),II 型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)誤差系數(shù)無(wú)窮大,II 型系統(tǒng)，階躍輸入時(shí)沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差,輸出最終等于輸入,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含兩個(gè)積分環(huán)節(jié),控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,斜坡信號(hào)輸入,令,靜態(tài)速度誤差系數(shù),令,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,加速度信號(hào)輸入,令,靜態(tài)加速度誤差系數(shù),令,控制
7、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,表3-1 靜態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)類(lèi)型的關(guān)系,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,考慮圖3-2所示的系統(tǒng)，圖中R(S)為系統(tǒng)的參考輸入，D(s)為系統(tǒng)的擾動(dòng)作用。為了計(jì)算擾動(dòng)D(S)引起的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，設(shè)R(s)=0，且令由D(s)引起的系統(tǒng)的輸入和穩(wěn)態(tài)誤差分別為,和 。由圖得,根據(jù)終值定理求得在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為,小結(jié),1)時(shí)域分析是通過(guò)直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的時(shí)域響應(yīng)來(lái)分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。,2)二階系統(tǒng)在欠阻尼時(shí)的響應(yīng)雖有振蕩，但只要阻尼比取值適當(dāng)(如0.7左右)，則系統(tǒng)既有響
8、應(yīng)的快速性，又有過(guò)渡過(guò)程的平穩(wěn)性，因而在控制工程中常把二階系統(tǒng)設(shè)計(jì)為欠阻尼。,3)分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。,小結(jié),4)穩(wěn)定是系統(tǒng)能正常工作的首要條件。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。與外施信號(hào)的形式和大小無(wú)關(guān)。不用求根而能直接列別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱(chēng)為穩(wěn)定判據(jù)。穩(wěn)定判據(jù)只回答持征方程式的根在平面上的分布情況,而不能確定根的具體數(shù)值。,5)穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量,也是系統(tǒng)的一個(gè)重要性能指標(biāo)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與控制信號(hào)的形式、大小和作用點(diǎn)有關(guān)。,6)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)
9、精度與動(dòng)態(tài)性能在對(duì)系統(tǒng)的類(lèi)型和開(kāi)環(huán)增益的要求上是相矛盾的。解決這一矛盾的力法，除了在系統(tǒng)中設(shè)置校正裝置外，還可用前饋補(bǔ)償?shù)牧Ψ▉?lái)提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。,例題分析,例題31 圖339所示的一階系統(tǒng)，在階躍輸入時(shí)，系統(tǒng)為什么一定有穩(wěn)態(tài)誤差存在，試解釋之。,例題分析,所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 。,解 令階躍輸入 ，假設(shè)系統(tǒng)的輸出c(t)能等 ，則,。這顯然與上述的假設(shè)相矛盾。為了使這種類(lèi)型的系統(tǒng)在階躍輸入時(shí)能正常地工作,從控制原理上來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)非有穩(wěn)態(tài)誤差不可。正是由于的存在，才有放大器的輸出和在作用下的系統(tǒng)輸出c(t) 。,如在穩(wěn)態(tài)時(shí)， ，,則 ，,它們都是由
10、 所產(chǎn)生的，,例題分析,例題32 已知一階系統(tǒng)的方框圖如圖340所示。設(shè)r(t)=t，求單位斜坡輸出響應(yīng)。,例題分析,解 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,則其輸出用部分分式展開(kāi)上式，得,取拉氏反變換,,由此可見(jiàn)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)、該0型系統(tǒng)輸出量的變化率c(t)=1/2，它小于輸入信號(hào)的變化率 。這是由于0型系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)所致，從而使得具有這種結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入。,例題分析,例題33已知圖341a所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖34lb示之，試求參數(shù) 和a的值。,例題分析,解 因?yàn)樵撓到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出為,據(jù)此求得,由圖341b得,由上式求得 0.6,例題分析,由上式得,根據(jù),解得
11、 。,把式子改寫(xiě)為二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，即,表3-2 穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的類(lèi)型、輸入信號(hào)間的關(guān)系,,,例題分析,例題34 一單位反饋控制系統(tǒng)若要求：跟蹤單位斜坡輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2；設(shè)該系統(tǒng)為三階，其中一對(duì)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)為 。求滿(mǎn)足上述要求的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。,因?yàn)?即,與 相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,解 根據(jù)和的要求，可知該系統(tǒng)是I型三階系統(tǒng)，因而令其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,例題分析,由上式得,求解聯(lián)立方程組，得到，,所求的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,例題分析,例題35 己知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖342所示。試回答 (1) 時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定? (2) 時(shí)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是什么？,例題分析,解 (1)閉環(huán)的特征方程為,由于表中第一列的系數(shù)全為正值，因而閉環(huán)特征方程式的根全部位于 的左半平面，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,排勞斯表,例題分析,(2)當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,則其閉環(huán)特征方程變?yōu)?例題分析,排勞斯表,例題分析,欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，表中第一列的系數(shù)必須全為正值,即,由此得出系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是,例題分析,例題36 設(shè)一控制系統(tǒng)誤差的傳遞函數(shù)為 輸入信號(hào) ，求誤差 。,解,由于輸入是余弦信號(hào)，因而系統(tǒng)誤差的終值將不存在。下面用部分分式法去求 。因?yàn)?式中,例題分析,取拉氏反變換，得,其中 。,上式可見(jiàn)，等號(hào)右方第一項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)誤差部分。,例題分析,例題分析,
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