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1、1,2.7 靜電場的邊界條件,2.8 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,2,2.7 靜電場的邊界條件,問題的提出 一般情況下求電位或場強 兩個“方程”： 無源Laplaces Equation 有源Poissions Equation 邊值問題：在給定邊界條件下求解偏微分方程。邊界條件就是不同介質(zhì)(或?qū)w)分界面兩側(cè)的場量之間的關(guān)系。 邊界條件的作用： 確定方程的解中的待定因素； 使方程通解成為適用于具體問題的特解。,3,邊界的分類,邊界的分類： 第1類: 已知整個邊界上的電位 Dirichlet Problems 狄理赫利問題 第2類: 已知整個邊界上電位的法導(dǎo) Neumann Problems 紐曼問題 第
2、3類: 已知部分邊界電位+另一部分邊界電位法導(dǎo) Hybrid Problems 混合問題,4,處于自由空間中導(dǎo)體的邊界條件,導(dǎo)體本身：等勢體 導(dǎo)體表面： 導(dǎo)體內(nèi)部：電場為零,新問題：靜電場中的電介質(zhì)呢？,5,1. 電位移矢量的邊界條件-法向,利用Gauss定理,做一個很扁很扁的“扁盒子”,---界面上自由電荷面密度,6,7,討 論,界面上沒有自由電荷時 導(dǎo)體表面,8,2. 電場強度的邊界條件-切向,利用靜電場的斯托科斯定理,9,介質(zhì)分界面上電位的連續(xù)性,,10,電介質(zhì)的邊界條件-小結(jié),1. 法向：,2. 切向：,3. 電位的連續(xù)性：,11,邊界條件,積分之，得通解,例 設(shè)有電荷均勻分布在半徑為
3、a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度 為 ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。,解: 采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程,參考點電位,,,,,12,解得,電場強度（球坐標(biāo)梯度公式）：,對于一維場（場量僅僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由 得到電場強度E的分布。,電位：,,,,,13,2.8 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,電容的定義 傳統(tǒng)的定義：兩個導(dǎo)體, 分別帶電q和q, 電位差U，則C = q/U; 自電容：孤立導(dǎo)體; 部分電容：多個導(dǎo)體, 較復(fù)雜的帶電情況, 兩兩導(dǎo)體之間的相對電容參數(shù)是一種分布參數(shù). 電容的大小與導(dǎo)
4、體系統(tǒng)的尺寸和介電常數(shù)有關(guān)，與它是否帶電無關(guān)。 只探討傳統(tǒng)定義電容的計算。,14,2.8 電容及部分電容,電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。,電容的計算思路: 1,工程上的實際電容：,電力電容器，電子線路用的各種小電容器。,定義： 單位：,試求球形電容器的電容。,解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 ,則,同心導(dǎo)體間的電壓,（孤立導(dǎo)體球的電容）,,,,,15,2，U E Q 理想電容器,電容器 Capacitor，電容Capacitance 平板電容, 兩塊板面積S, 間距d, 板間介質(zhì) , 求電容。 假設(shè)有電壓U, 板間無電荷, Laplaces Equ.,,,16,邊界
5、條件：,Dirichlet Problems,建議記住,17,解：忽略邊緣效應(yīng),,例 如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知 和 ,圖(a)已知極板間電壓U0 , 圖(b)已知極板上總電荷 ,試分別其電容。,（a）,（b）,,,,,18,例4. 特殊同軸線,求單位長度上的電容？,分析： (1) 求電容有幾種方法？ (2) 有沒有對稱性？什么座標(biāo)？,19,(1)設(shè)零電位 (2)設(shè)邊界條件： (3)柱座標(biāo)系下拉氏方程 (4)利用對稱性(與z座標(biāo)無關(guān))，猜“僅與r相關(guān)”,代入邊界條件發(fā)現(xiàn)：,20,1,2,21,一般同軸線的電容,,,22,Thinking,平行雙導(dǎo)線, 直徑d, 間距D,
6、求單位長度電容.,23,部分電容,24,假設(shè)：1、多導(dǎo)體系統(tǒng)是靜電獨立系統(tǒng) 系統(tǒng)中電場的分布只和系統(tǒng)內(nèi)各帶電體的形狀、尺寸、相互位置、介電常數(shù)有關(guān)，和系統(tǒng)以外的帶電體無關(guān)2、所有的電位移線全部從系統(tǒng)內(nèi)的帶電體發(fā)出，終止于系統(tǒng)內(nèi)的帶電體,25,26,對于n個導(dǎo)體和大地構(gòu)成的系統(tǒng)，有：,27,------自電位系數(shù),------互電位系數(shù),電位系數(shù)都為正值，且：,28,電容系數(shù)和感應(yīng)系數(shù),----電容系數(shù),----感應(yīng)系數(shù),29,kk為正， kk為負(fù),30,部分電容,31,式中：,自有部分電容：Ckk 互有部分電容：Ckn,所有的部分電容都大于0,32,例 2.10 半徑a1，a2，球心距離為d
7、，da，求導(dǎo)體系統(tǒng)的電容C11，C22，C12，C21。,另金屬球分別帶電q1，q2，電位為1，2，無窮遠(yuǎn)處電位為0：,33,34,2.9 靜電場的能量與靜電力,對于一個帶電量為q1, q2, , qn，電位分別為1, 1,, n的點電荷系統(tǒng)，可以證明，系統(tǒng)總的電場儲能為：,對于連續(xù)分布的帶電系統(tǒng)，系統(tǒng)總的電場儲能為：,35,靜電場的能量密度,36,把積分區(qū)域擴(kuò)大到整個區(qū)域,高斯散度定理,37,于是,,反射靜電場不為零的空間都儲存著靜電能,能量密度：,,各向同性,38,在半徑為R的球內(nèi)電荷均勻分布，密度，計算靜電能,1、用,已經(jīng)得到,39,2、用,已經(jīng)得到,40,靜電力,虛位移法,,,,,o,dx,x,F,,設(shè)靜電力與位移方向一致,電容器儲能：,電容器電容：,得到：,41,把一個電量為q，半徑為a的導(dǎo)體球切成兩半，求兩半球之間的電場力,作業(yè): 2.9,2.12, 2.20, 2.27, 2.32,2.33,
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