《結構力學》PPT課件

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1、超靜定結構,超靜定結構與靜定結構在計算方面的主要區(qū)別,靜定結構的內(nèi)力只要根據(jù)靜力平衡條件即可求出，而不必考慮其它條件，即：內(nèi)力是靜定的。 超靜定結構的內(nèi)力則不能單由靜力平衡條件求出，而必須同時考慮變形協(xié)調(diào)條件，即：內(nèi)力是超靜定的。,求解超靜定結構的計算方法,從方法上講基本有兩種：力法和位移法。 從歷史上講分傳統(tǒng)方法和現(xiàn)代方法。 傳統(tǒng)方法： 精確法： (1)力法(Force method)：取某些力作基本未知量。 (2)位移法(Displacement method)：取某些位移作 基本未知量。 (3)混合法(Mixture method): 既有力的未知量,也有位移未知量。,漸近

2、法 : （1）建立力學方程組，數(shù)學上漸近； （2）從結構的力學模型入手逐步逼近。 現(xiàn)代方法： 矩陣法 ： （1）矩陣力法； （2）矩陣位移法; （3）矩陣混合法 。,第 五 章,力 法,Force method,5-1 超靜定結構的組成和超靜定次數(shù),一、超靜定結構 1、幾何組成： 具有多余 約束的幾何不變體系。,,FP1,,FP2,,FP1,,FP2,,FRB,,FRC,,FRD,2、靜力特性： 超靜定結構的反力和內(nèi)力不能完全地由靜力平衡條件唯一地加以確定。 未知力的數(shù)目平衡方程的數(shù)目。,,FP,A,B,,FxA,,FyA,MA,,FyB,,FP,,,,Fy

3、A,FyB,FxA,,3、超靜定結構的類型,（1） 超靜定梁,（3）超靜定拱,（二）、超靜定次數(shù),1、超靜定次數(shù)的確定及確定方法 超靜定次數(shù) n 多余約束的個數(shù)。 幾何： n= - W 靜力：超靜定次數(shù)=未知力個數(shù) - 平衡方程個數(shù) n = 把超靜定結構變成靜定結構，所需撤除約束的個數(shù)。,撤除多余約束的方式與相應 多余約束力之間的關系,,X1,,,X1,X1,1,反力Fy,1,軸力FN,,,X1,X2,2,反力Fx Fy,,,X1,X1,,,X2,X2,2,軸力FN,剪力 FQ,,X1,,X2,,X3,3,反力Fx,Fy,M,,,X1,,,X2,X3,3,軸力FN 剪力FQ 彎矩M,,,

4、X1,1,,,X1,1,反力偶 M,彎矩 M,提問：,1、切開一個閉合框，去掉幾個約束？有什么規(guī)律可循？如右圖：,,,2、在受彎桿上加一個復鉸，等于去掉幾個約束？反之，在結構上拿去一個復鉸，等于去掉幾個約束？如下圖：,2、基本體系（結構）與基本未知量,力法基本體系（結構）： 幾何不變（無多余約束，有多余約束）體系；計算是可能的。幾何可變或瞬變體系不能作基本體系。 計算簡便，同一結構可選不同的基本體系。 力法基本未知量： 與去掉的多余約束相應的多余未知力。,例：,,X1,n = 1,,X1,X1,X1,,,瞬變,,X1,n = 1,,X1,X1,X1,,,瞬變,,,X1,,,X2,X3,X4

5、,X5,,,,,,,,,X1,X2,X3,X4,X5,n = 5,,,,,,,問：還可以選什么樣的基本體系？,,X1,n = 1,問：還可以選什么樣的基本體系？,,,X1,,X1,,X1,,,X1,瞬變,左下圖所示基本體系是否正確？,n =3 5=15,提問: 還可以選什么樣的基本體系?,,X1,,X2,n = 2,請考慮以上兩個基本體系，哪一個計算起來更方便？,,,,,X1,X1,X2,X2,,,,,,,,,,,,,,,,,X1,X2,X3,X4,X1,X2,X3,X4,n = 4,請考慮以上兩個基本體系， 哪一個計算起來更方便？,5-2 力法基本概念,一、基本思路： 力法的三個基本概念（三

6、要素） 1、力法的基本未知量(fundamental unknown)（與多余約束相應的）多余力。 如圖：與靜定結構相比較，有一個多余力，只要能計算出X1(X1=YB)，其余的問題為靜定結構問題。,2、力法基本體系（結構）（去掉多余約束的）靜定結構,基本體系(fundamental system)的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)與原結構完全相同。 基本體系所受荷載：原荷載+多余力X1。（本身是靜定結構，又可代表原超靜定結構，因此是過渡橋梁）。 3、基本方程(equation of force method) 變形條件 與X1相應的位移條件，基本體系沿多余未知力X1方向的位移1應與原結構沿X1方

7、向的位移相等，即： 1 =0。,基本思路,l,q,EI,原結構,,,MA,,FyA,,FyB,q,,,X1,基本體系,,,,,1P,q,,X1,,,,,11,FxA,,變形條件： 1 = 0 基本體系 原結構 由疊加原理： 1 = 11 + 1P= 0 式中： 11基本體系在未知力X1單獨作用下，沿 X1方向的位移11 =11 X1 。 1P基本體系在荷載單獨作用下沿X1方向 的位移。 1 、 11 、 1P 、 11的方向與X1方向一致，規(guī)定為正。,,,,,,11,由 1 = 11 + 1P= 0 可知 11 X1 + 1P= 0 上式為一次

8、超靜定結構的力法基本方程。 至此力法的基本概念已建立。 其中系數(shù)11和自由項1P都是基本體系即靜定結構的位移。,X1=1,,,,X1=1,,,l,M1 圖,,,ql2/2,,MP 圖,系數(shù)和自由項計算,(圖形自乘) 代入變形條件， 得： X1= - 1P/11= 3ql/8 () 最后彎矩圖可用疊加原理（也可將X1作用在基本體系上，用平衡條件求其余的反力內(nèi)力） M= X1M1+MP,,M= X1M1+MP,,ql2/8,ql2/8,力法的基本特點：,（1）、以多余未知力作為基本未知量。 （2）、以去掉多余約束的靜定結構（也可以是超靜定結構）作為基本體系。 （3）、基本體系在解除多

9、余約束處的位移 = 原結構在該處的位移，由此建立力法方程。,力法方程即位移條件方程： 基本體系在多余力和荷載（或其他因素）共同作用下，各多余未知力作用點的相應位移應與原結構相應點的位移相同。,二、多次超靜定結構的計算,1、以一個三次超靜定結構為例,位移條件： 1 = 0 2 = 0 3 = 0,,,FP1,FP2,,,FP1,FP2,,X1,,X2,X3,,位移條件： 1 = 0 2 = 0 3 = 0 1 = 0 基本體系沿X1方向的位移=原結構B點的水平位移。 2 = 0 基本體系沿X2方向的位移=原結構B點的豎向位移。 3 = 0 基本體系沿X3方

10、向的位移=原結構B點的轉角位移。,,應用疊加原理把位移條件分解為：,FP1,FP2,應用疊加原理把位移條件寫成展開式： （1）、 X1 =1單獨作用于基本體系，相應位移 11 21 31 未知力X1單獨作用于基本體系，相應位移 11 X1 21 X1 31 X1 （2）、 X2 =1單獨作用于基本體系，相應位移 12 22 32 未知力X2單獨作用于基本體系，相應位移 12X2 22 X2 32X2,,,（3）、 X3=1單獨作用于基本體系，相應位移 13 23 33 未知力X3單獨作用于基本體系，相應位移 13 X3 23 X3 33 X

11、3 （4）、荷載單獨作用于基本體系，相應位移 1P 2P 3P,,X1方向的位移1 1=11X1+12X2+13X3+ 1P X2方向的位移2 2=21X1+22X2+23X3+ 2P X3方向的位移3 3=31X1+32X2+33X3+ 3P,三次超靜定結構的力法方程： 11 X1+12 X2+13 X3+ 1P = 0 21 X1+22 X2+23 X3+ 2P = 0 31 X1+32 X2+33 X3+ 3P = 0 注: 方程左邊是基本體系的位移 。 方程右邊是原結構的相應位移 。,,討論：,（1）、力法方程（典型方程）的物理意義：基本體系中，由

12、全部未知力和已知荷載共同作用，在去掉多余約束處的位移應等于原結構相應位移。,（2）、同一結構可取不同的力法基本體系和基本未知量，但力法基本方程的形式一樣，由于基本未知量的實際含義不同，則位移（變形）條件的實際含義不同。 （3）、方程中ij和iP是靜定結構的位移，這樣超靜定結構的反力、內(nèi)力計算就轉化為靜定結構的位移計算問題。,原結構,基本體系,,,X3,X1 X1,,,X2 X2,X3,X3,,,X1,,X2,,2、n次超靜定結構的力法典型方程,11X1+12X2+ +1nXn+ 1P = 0 21X1+22X2+ +2nXn+ 2P = 0 (7-4) n1X1+n2

13、X2++ nnXn+ nP = 0 (n次超靜定結構在荷載作用下的力法典型方程） 基本未知量：n個多余未知力X1 、X2、 Xn； 基本體系：從原結構中去掉相應的n個多余約束后所得的靜定結構； 基本方程：n個多余約束處的n個變形條件。,,力法典型方程的討論：,（1）、（7-1）式可寫成矩陣形式: X + P = 0 系數(shù)矩陣、柔度矩陣 （2）、力法方程主系數(shù)： ii0,恒為正 . 因為ii是Xi=1作用在自身方向上，所產(chǎn)生的位移系數(shù)，所以不為零，恒為正。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3)、副系數(shù)： ij (ij) 可正、

14、可負、可為零。 由位移互等定理可知： ij =ji ij由單位力Xj=1作用產(chǎn)生的沿Xi方向的位移系數(shù)。 （4）、自由項： iP 可正、可負、可為零。 iP由荷載單獨作用產(chǎn)生的沿Xi方向的位移。 （5）、計算出X1 、X2、 Xn后，由疊加原理 M=M1X1+M2X2++MnXn+MP FQ= FQ1X1+ FQ2X2++FQnXn+ FQP FN=FN1X1+ FN2X2+ +FNnXn+ FNP,,,,,,,,,,,5 - 3 超靜定剛架和排架,1、超靜定剛架 類型：單跨超靜定梁、多跨超靜定梁、單層單跨超靜定剛架、多層多跨超靜定剛架。 計算特點：（一般只考慮彎曲

15、變形）,系數(shù)和自由項的計算:,例：用力法計算圖示剛架。各桿EI=常數(shù),n=2,基本體系,解：,(1)、 判定超靜定次數(shù)： n=2 ； 選定基本體系和基本未知量 ； 可選不同的基本體系，挑選計算比較簡便的，進行分析計算。 力法方程： 11X1+12X2+1P = 0 21X1+22X2+2P = 0,(2)、作M i 、MP 圖，求、 (用第一種基本體系）,11 =(1/2ll) (2/3l)+ (ll)l/EI = 4 l 3/3EI 22=11= 4l3/3EI 12=21= -(ll) l/EI = - l3/EI,,1P= -(1/3ql2/2l)

16、3/4l +(ql2/2l)l)/EI = -5ql4/8EI,2P=(ql2/2l)l =ql4/2EI,,（3）、解方程 （求解未知量）,力法方程：（可消去 l3/EI） 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0 -X1+4/3X2+ ql/2 = 0 解出： X 1 =3ql/7 X2 = - 3ql/56,（4）、作內(nèi)力圖,彎矩圖,M =M1X1+M2X2+MP=3ql/7M1-3ql/56M2+ MP,,,,,MBC=3ql/7l-3ql/560-ql2/2= - ql2/14 (上邊受拉),MBD=3ql/70-3ql/

17、56l+0 = - 3ql2/56 (上邊受拉),MBA=3ql/7(-l) -3ql/56l+ql2/2=ql2/56=MAB (右邊受拉),彎矩圖：,剪力由桿件平衡計算； 軸力由結點平衡計算,24ql/56,4ql2/56,-32ql/56,3ql2/56,3ql/56,3ql/56,24ql/56,32ql/56,3ql/56,FQ圖,FQBC=,FQBD=,FN圖,5ql/8,32ql/56,3ql/56,-5ql/8,FNBA=,討論：,1、一個超靜定結構,可選不同的基本體系進行計算。當然希望選擇計算較為簡便的。 本題如選第二個基本

18、體系，則有：12=21=0。（為什么？） 力法方程可寫為： 11X1+1P = 0 22X2+2P= 0,2、荷載作用下超靜定結構反力、內(nèi)力的特點： 多余力（反力、內(nèi)力）的大小只與各桿件的相對剛度有關，而與其絕對剛度無關，同一材料所構成的結構，其反力內(nèi)力也與材料的性質(zhì)（彈性模量）無關。 右上圖剛架的各桿彎矩值與例題中各桿的彎矩值是否相同？,如不同，為什么？,3、變形曲線草圖可根據(jù)彎矩圖大致畫出。,2、鉸接排架,計算特點： 橫梁 : EA= 柱:,計算中注意階梯柱的圖的圖乘問題。,例：用力法計算圖示兩跨不等高排架,解：超靜定次數(shù) n=2 ， 選基本體系和基本未知量， 力法基本方程： 11 X

19、1+12 X2+1P = 0 21 X1+22 X2+2P = 0,基本體系和基本未知量,1 、 2 為切口處兩個截面的軸向相對位移。變形條件為：切口處的兩個截面沿軸向應仍保持接觸，沿軸向的相對位移為零。 提問： （1）如果水平桿的EA，是有限值，力法方程是否與上面的列法一致？在計算方程的系數(shù)時應注意些什么？ （2）選取基本體系時如將水平桿拿掉，方程應如何列？（水平桿的EA= 或EA，有何區(qū)別？）,2、系數(shù)和自由項 11 =（1/266)2/36/EI1 +(1/266)2/36/EI2 =504/EI2,22=21/233)2/33/EI1 +2 (1/237)(2/33

20、+1/310) +(1/2107)(1/33+2/310)/EI2 =2270/3EI2,,16/3,,,23/3,,12=21=-(1/266)(2/310+1/34) = - 144/EI2,1P= 0 2P= -(1/2201)(8/93)/EI1 +(-1)(1/2207)(2/33+1/310) +(1/21607)(1/33+2/310)/EI2 = - 14480/EI2,3、解方程（消去1/EI2） 504X1 -144X2 = 0 -144X1+2270/3X2-14480/3 =0 X1=1.927kN X2=6.745kN 4

21、、作彎矩圖 M=1.927M1+6.745M2+MP,,,5 4 超靜定桁架和組合結構,計算特點：,系數(shù):,自由項:,1、超靜定桁架,例：用力法計算圖示桁架，各桿EA=常數(shù),解：超靜定次數(shù) n=1 ，選基本體系如圖所示。 注意斜桿12不是去掉，而是截斷。 力法方程為： 11X1+1P = 0,FP,FP,,,X1,計算過程:,FN1,,FP,FP,FP,FP,FP,-FP,-FP,FNP,,,X1=1,習慣上列表計算,,FN12l,,,FN,討論：,1、桁架中的桿件（EA=常數(shù)）不是去掉而是截斷，計算ij時，不能忘記被截斷桿的軸力。如忘記會出現(xiàn)什么問題？,如在上題選基本體系時，去掉12

22、桿，則力法方程應怎樣寫呢？ 11X1+1P = - X1l /EA 為什么？,,FP,,,X1,X1,2、桁架計算中，一般列表進行計算。 3、超靜定桁架常見形式包括：多跨連續(xù)式桁架、雙重腹桿桁架。要使力法方程計算簡便選基本體系是關鍵；原則：盡量使基本體系在未知單位力作用下，許多桿的軸力為零。,,X1,X2,,請考慮以上兩個基本體系，哪一個計算起來更方便？,,,,,,,,,,,,,,,,,X1,X2,X3,X4,X1,X2,X3,X4,2、超靜定組合結構,計算特點：,梁式桿：,二力桿：只考慮軸向變形對位移的影響,,例:,圖示加勁式吊車梁,橫梁和豎桿由鋼筋混凝土做成,斜桿為16錳圓鋼,各桿剛

23、度如下: 梁式桿AB: EI=1.989104 kNm2 二力桿AD、DB: EA=2.464105 kN 二力桿CD： EA=4.95105 kN,A,B,C,D,3m,3m,1m,,,,1.5m,FP=74.2kN,A,B,C,D,,FP,,,X1,基本體系,解：,此結構是一次超靜定的，取基本體系如圖所示。力法典型方程為： 11 X1+1P = 0,A,B,C,D,,,作MP圖。 求系數(shù)和自由項。,,,,,3/2,A,B,C,D,,FP,,,,,83.475,,,55.65,MP 圖（kNm）FNP=0,,11= FN12 l /EA+M12 dx/EI,,,= 29.786910

24、-8 m/N,1P= FN1 FNP l /EA+M1MP dx/EI,,,=1154.129010 -5 m,X1= - 1P / 11 = - 38746 N= - 38.746kN,按下列公式計算最后內(nèi)力,M = - 38.746 M1+MP FN = - 38.746FN1+FN P,,,,FP,M 圖（kN m）FN1 ( kN ),,,,,,54.416,2.469,,61.263,61.263,- 38.746,5、討論：,（1）下部桁架部分支撐力為38.746kN 時，橫梁最大彎矩為54.416kNm。 （2）如沒有下部桁架支撐，則最大彎矩為83.475kNm ，由于下部桁架的

25、存在，彎矩減小了 34.8%。 （3）超靜定結構內(nèi)力分布與橫梁和桁架的相對剛度有關。下部鏈桿截面小，彎矩圖就趨向于簡支梁的彎矩圖；下部鏈桿截面大，彎矩圖就趨向于連續(xù)梁的彎矩圖。 （4）提問：如果橫梁特別“軟”，結果會怎樣？,5-9、支座移動及溫度改變時超靜定結構計算,一、溫度改變對超靜定結構的影響,1、特點： 靜定結構溫度改變時，有變形和位移，但不產(chǎn)生反力和內(nèi)力。 超靜定結構溫度改變時，有變形和位移，同時產(chǎn)生反力和內(nèi)力(稱為自內(nèi)力)。 其中： 均勻溫度改變產(chǎn)生軸向變形； 不均勻溫度改變產(chǎn)生軸向變形和彎曲變形； 無剪切變形。,靜定結構,超靜定結構,2、力法分析原理，公式,（1）

26、、原理：基本體系在溫度改變和多 余未知力的共同作用下，去掉多余約束處的位移應與原結構的位移相同。 (請同學們自己考慮力法典型方程的形式) （2）、力法基本方程： （以兩次為例） 11 X1+12 X2+1t = 0 21 X1+22 X2+2t= 0,,11 X1+12 X2+1t = 0 21 X1+22 X2+2t = 0 式 Kt溫度改變在基本體系中產(chǎn)生的沿XK方向的位移。,注：計算系數(shù)時，剛架只考慮彎曲變形；計算自由項時，剛架要同時考慮彎曲和軸向變形,,(3)、因為基本結構是靜定的，故：,例：,圖示剛架，澆注混凝土時室內(nèi)外溫度為+15o C，冬季室外為-35o C，室內(nèi)為

27、+15o C。 各桿件EI=常數(shù)， E=2106N/cm2 =2107kN/m2 , =10-5。試作內(nèi)力圖。,l =4m,l =4m,- 350 C,+150 C,解： （1）基本體系如圖，n=1。 典型方程： 11 X1+1t= 0 （2）計算系數(shù)和自由項。,,X1,t1= - 500 C,t2= 00 C,注：t1、t2、是里外兩面各自的溫度改變量 。故有： t1= - 350 C - 150 C= - 500 C t2= 150 C - 150 C= 00 C,11=(ll)l+(1/2 ll)2/3l/EI =4l3/3EI I=bh3/12=7.2

28、10-3m4,,X1,t1= - 500 C,t2= 00 C,,,l,FN,,0,-1,,X1,t1= - 500 C,t2= 00 C,,,l,,0,-1,to=(-35-15)+(15-15)/2,=1/2(-35+15)-15= -25oC,t=0-(-50)=50oC,1t = (-25)(-1)l - 50/h(l2+1/2l2),= +25 l - 75l2 /h,= -1900,,,FN,（3）、解方程 X1 = -1t / 11 =1900 3EI/(4l3) =22.27EI （4）、作內(nèi)力圖 M AB =X1 M1= 22.27EI4 = 89.0

29、8EI =128.3 k N m （左拉） FNAB =X1 FN1= 22.27EI(-1) = - 22.27EI = - 32.01 k N （壓力）,,,M(kNm),FN (kN),討論：,（1）、力法方程中的自由項it是由于基本體系溫度改變引起的位移。 （2）、溫度改變引起的內(nèi)力與各桿的絕對值有關。溫度一定，截面尺寸愈大，內(nèi)力也愈大；如要改善受力，加大截面尺寸不是唯一有效的途徑。 （3）、結構內(nèi)力全部由未知力引起的（自內(nèi)力）。,（4）、桿件有溫度改變時，彎矩圖的豎標出現(xiàn)在降溫面。升溫面產(chǎn)生壓應力，降溫面產(chǎn)生拉應力（與靜定結構不同）。在鋼筋混凝土結構設計中，應特別

30、注意降溫面可能出現(xiàn)的裂縫。,二、支座移動時的計算 1、特點： 靜定結構：在支座移動作用下，只有剛體位移，無彈性變形；不產(chǎn)生反力、內(nèi)力。 超靜定結構：在支座移動作用下，有彈性變形，有位移；有反力、內(nèi)力（稱為自內(nèi)力）。 因為，超靜定結構有多余約束。,2、力法分析原理、公式,（1）原理： 基本體系在多余未知力和支座移動共同作用下，在去掉多余約束處的位移應與原結構該處的位移相同。 （2）力法方程（以兩次超靜定為例）： 11X1+12X2+1C= 1 21X1+22X2+2C= 2 方程的右端項，視所取的基本體系不同而定。,,注：,用力法求解支座移動作用下的超靜定結構，關鍵問題是: （

31、1）由于基本體系選取不同，力法方程的右端項K=？不同。 （2）方程自由項KC的定義： KC基本體系發(fā)生支座移動時，產(chǎn)生 的沿XK方向的位移。 KC= - FR KcK,,例：,圖示一等截面梁AB ，左端為固定端，右端為可動鉸。 如左端支座轉動角度已知為，右端支座下沉距離已知為a，求梁中引起的自內(nèi)力。,A,B,,,,l,,,,,,,,,,,,a,基本體系,,X1,,A,B,,,,,,,,,,,a,解：,此梁為一次超靜定?；倔w系為懸臂梁。 變形條件為基本體系在B點的豎向位移1應與原結構相同。 原結構B點的豎向位移已知為a，方向與X1相反，故變形條件可寫為： 1= -

32、 a,力法方程為： 11 X1 +1C = - a,A,B,,,,,,,,,,,,l,,X1=1,,l,,,計算系數(shù)和自由項: 11 = (1/2ll)(2/3l) /EI =l3/3EI 1C = - FR1 c1 = -( l )= - l ,,,1=,代入力法方程： 11 X1 +1C = - a l3/3EI X1 - l = - a 解出： X1 = 3EI ( a / l ) /l2 將代入彎矩疊加公式： M=M1 X1 作出彎矩圖如圖所示。,,,,3EI (a/l) /l,M 圖,說明：,1、支座移動時的計算特點： （1）、力法方程的右邊可能不為零。 （2）、力法方程的自

33、由項是由支座移動產(chǎn)生的。 （3）、內(nèi)力全部是由多余未知力引起的。 （4）、所有內(nèi)力與桿件EI的絕對值有關。,2、取不同的基本體系計算,若取右圖簡支梁作基本體系 ，則變形條件為： 簡支梁在A點的轉角應等于給定值 。 力法方程為：,11 X1 +1C= ,A,B,,X1,,,,,,a,,,,,,l,,,,,a,1=a/l,,,,X1=1,,,,1,,1/l,思考：,若取右圖所示的基本體系，力法方程的形式如何？ 方程右邊等于多少？ 力法方程的自由項應為多少？,,,,X1,,,,,,a,,,,,例：圖示剛架支座A發(fā)生水平位移a，豎向位b=4a，轉角位移=a/l，用力法求解，作M圖。 解：

34、（1）基本未知量n=2, 力法方程 : 11X1+12X2+1C= 1 21X1+22X2+2C= 2,,解法： 取基本體系如圖， 力法方程中： 1= - a(與X1方向相反) 2 = (與X2方向一致) 11X1+12X2+1C = -a 21X1+22X2+2C= 2、計算系數(shù)和自由項： 11=(1/2ll)2/3 l/EI+(1/2ll) 2/3l/2EI=l3/2EI,,,22=(1/21l)2/31/EI+ (1l)1/2EI=5l/6EI 12=21=(1/2ll) 2/3l/EI+ (1/2ll)1/2EI =7l2/12EI 1C = -(1b)=-b 2C

35、 = -(1/lb)=-b/l,,,3、列方程，求解:（a,b均寫為的函數(shù)，a=l,b =4l ),4、內(nèi)力圖,由于基本結構是靜定的，支座移動在基本結構中不產(chǎn)生反力、內(nèi)力，故原結構的內(nèi)力均為多余力引起的。 M=X1M1+X2M2 MBA= -60/11EI/l2l+ 108/11 EI/ll =48/11EI/l（右邊受拉） MAB= -60/11EI/l20+ 108/11 EI/ll =108/11EI/l（右邊受拉）,,,48/11EI/l,108/11EI/l,解法：,力法方程： 11X1+12X2+1C = 1 21X1+22X2+2C= 2 其中： 1= 0 ，

36、2 = 0 。 所以： 11X1+12X2+1C= 0 21X1+22X2+2C= 0 11= l3/6EI 22= 5l3/6EI 12 = 21= l3/4EI 1C = -1a+l = -a- l= -2l 2C= - 1b+l = -b l= - 5l,,,討論：與荷載作用下的結構計算比較,（1）、取不同的基本體系進行計算，力法方程的右端項有所不同。（為什么？） （2）、力法方程中的自由項KC是由于基本體系發(fā)生支座移動，在基本體系中沿多余力方向的位移。（如果所選基本體系的支座移動為零，則KC必為零，正確否？） （3）、支座移動作用下，超靜定結構各桿內(nèi)力與桿件EI的絕對值有關

37、。（為什么？） （4）、結構內(nèi)力全部由未知力引起的（自內(nèi)力）。,思考：,（1）、“無荷載就無內(nèi)力?！边m用范圍？ （2）、支座移動、溫度改變與荷載作用下，超靜定結構計算有何異同？ （3）、當超靜定結構發(fā)生制造誤差時，如何用力法計算？ （4）、計算超靜定結構時，在什么情況下，只需給出各桿EI的相對值？在什么情況下，必須給出各桿EI的絕對值？,5-10 超靜定結構位移的計算,一、超靜定結構的位移計算 原理：虛功原理。 方法：虛單位荷載法。,注：荷載作用下的最后內(nèi)力圖和相應的單位內(nèi)力圖，需按超靜定結構的計算方法求出。,（一）、虛擬狀態(tài)的選取,1、虛擬力狀態(tài)選取在超靜定結構上。 相應FP=1作用在

38、超靜定結構（原結構）上。 如前例，求B結點的轉角位移B。 由圖乘法可得如下結果： B = -ql3/56EI (逆時針）,2、一般作法：利用基本結構求原結構的位移,用靜定結構(基本體系)的虛擬狀態(tài),即:將相應的單位力加在基本體系上。 要點：原結構的內(nèi)力變形（位移）= 基本結構在外因和多余力共同作用下的內(nèi)力變形（位移）,求原結構的位移問題 求基本結構的位移問題 B = -(ql2/56l) 1/EI =-ql3/56EI (逆時針）,,,,由于計算超靜定結構時可采用不同的基本結構，（超靜定結構的最后內(nèi)力變形并不隨所取的基本結構不同而異），所以可以將單位力加在任一相應的基本結構上。 由圖乘可

39、得： B = -ql3/56EI (逆時針）,（二）、超靜定結構在荷載，支座移動，溫度 改變等因素作用下的位移計算公式,1、荷載作用 設超靜定結構在荷載作用下的內(nèi)力為M、FN、FQ，桿段微段變形為：,位移公式為：,2、支座移動（以超靜定剛架為例） 設超靜定結構在支座移動作用下內(nèi)力為M，桿件微段變形為：=M/EI。,位移公式為：,3、溫度改變（以超靜定剛架為例） 設超靜定結構溫度改變時內(nèi)力為M，這時，除內(nèi)力引起的彈性變形外，還有微段在自由膨脹條件下由溫度引起的變形，即：,例：圖示結構，求B 。其中a= l,b=4l,解：剛架的彎矩圖已作出。取基本體系如圖(a) =B= MiMd

40、s/EI - R ck = - (1/248/11EI/l l)2/31/EI - 1/l(-b) =-16/11+4 =28/11 （逆時針）,,,（一）、超靜定結構總校核依據(jù)： 結構的最后內(nèi)力圖應滿足平衡條件和變形（位移）條件。 從超靜定結構解答唯一性定理出發(fā)，結構的最后內(nèi)力圖應滿足兩個條件。滿足平衡是必要條件，但不充分；同時滿足變形條件，才是充分的。,5-11 超靜定結構的校核,尤其是力法計算結果，力法方程本身是變形條件方程，如要檢查校核，則必須使用變形條件。 1、平衡條件：用計算中未用過的平衡條件，一般取桿件或結點隔離體校核其是否平衡。 2、變形條件：因為

41、多余力是由變形條件得出的，最后內(nèi)力圖是將多余力視為主動力，按平衡條件作出的，多余力有誤，平衡條件不能反映，必須用變形條件。,（二）、變形條件校核,1、一般作法： 任意選取基本體系，任取一個多余未知力Xi，根據(jù)內(nèi)力圖算出沿Xi方向的位移i，檢查i是否與原結構中的相應位移（給定值）相等。 即： i =給定值,2、荷載作用 =0,對剛架一般只校核彎矩圖。 當結構為無鉸封閉框格剛架時，校核封閉框格的任一切口截面兩側的相對轉角，取桿中任一截面彎矩為多余未知力MK=1，變形條件為：,,(以剛架為例),,當結構中只受荷載作用，沿封閉框格的M/EI圖形總面積之和等于零。,例：校核例題的彎矩圖,解：

42、 取基本體系如圖，用右支座處的反力為X1。 驗證 DV=0 DV=-(1/23ql2/56l) (2/3 l)+(ql2/56l)l/EI =-ql4/56+ ql4/56/EI = 0 滿足變形條件，彎矩圖正確。,,例：校核圖示剛架的彎矩圖,,,,,,,,,,,,,,,,6m,6m,q=14kN/m,3EI,2EI,2EI,,,,28.8,115.2,,63.0,,,,46.8,,,,61.2,,M 圖 (kNm),圖示剛架為一封閉框格,彎矩圖如右圖所示。要校核其彎矩圖正確與否，可校核任一截面相對轉角是否為零。,,,,28.8,115.2,,63.0,,,,46.8,,,,61

43、.2,,M 圖 (kNm),,,,1,1,,,,1,,,,1,-(1/2115.26) + (1/228.86) +(1/2 63.06)-(1/246.86)+(1/261.26)/2EI +-(1/246.86) +(1/228.86) / 3EI = -3.6/EI + 21.6/EI -18/EI =0,3EI,2EI,2EI,,,,,例：定性地判斷下列彎矩圖的正誤。,,FP,,,,,,,,,,,,,請改正,請改正,5-5、 對稱結構的計算,一、選取對稱的基本體系 1、什么是結構的對稱性 （1）、結構的幾何形狀和支承情況，對某軸（或點）對稱。 （2）、桿件

44、的截面和材料性質(zhì)，對此軸（或點）也對稱。,2、對稱簡化的目的,（1）、使力法方程中盡可能多的副系數(shù)和自由項為零。 關鍵：選擇合理的基本體系，以及設置適宜的基本未知量。 一個極端情況（n次超靜定） 11X1+1P = 0 21X1+2P = 0 n1X1+nP = 0 （2）、根據(jù)結構的對稱性，有時可較簡便地定性分析結構的內(nèi)力和變形。,,,3、選取對稱的基本體系,選取對稱的基本體系，并取對稱力或反對稱力為基本未知量。 如圖，一對稱結構，沿對稱軸截面切開，得到一個對稱的基本體系。 X1、X2正對稱未知力； X3 反對稱未知力。,,,,,,,X1,X3,X2,

45、X1、X2引起的內(nèi)力、變形是正對稱的； X3引起的內(nèi)力、變形是反對稱的。 分析系數(shù)： 13=31= 0 23=32= 0,X1,X3,X2,如有荷載作用，則方程簡化為： 11X1+12X2+ 1P = 0 21X1+22X2+ 2P = 0 33X3+ 3P = 0,,4、考慮兩種荷載情況（1）、對稱荷載作用,X1,X2,MP圖是對稱的，有3P=0 因此,反對稱未知力X3=0； 只有正對稱未知力X1，X2。 故：M=M1 X1+M2 X2+MP 最后彎矩圖也是正對稱的。 結論：對稱結構在正對稱荷載作用下，反對稱未知力必為零，結構所有的反力、內(nèi)力及變形均為正對稱的。 提問：

46、彎矩圖和軸力圖是正對稱的，剪力圖卻是反對稱的，這是為什么？,,,（2）、反對稱荷載,MP圖是反對稱的，有1P=0，2P=0。 因此,正對稱未知力X1=0，X2=0。 只有反對稱未知力X3。 故：M=M3 X3+MP 最后彎矩圖也是反對稱的。 結論：對稱結構在反對稱荷載作用下，正對稱未知力必為零，結構所有的反力、內(nèi)力及變形均為反對稱的。 提問：彎矩圖和軸力圖是反對稱的，剪力圖卻是正對稱的，這是為什么？,,5、 荷載分組,任何非對稱荷載均可分解為兩部分，即：正對稱荷載和反對稱荷載。 對稱結構受一般荷載作用，可將荷載分為正、反對稱兩組，分別作用在結構上進行計算，然后將結果疊加，起到簡

47、化計算之效果。,,,FP /2,,M /2,二、未知力分組,在某些情況下，一些對稱結構選用了對稱的基本體系，但其相應的多余未知力，既非正對稱，又非反對稱。 在此可采用未知力分組的方法。 同樣可使方程分為兩組，一組只包括正對稱未知力，另一組只包括反對稱未知力。,如圖：n=4,取對稱基本體系，但任何一個 基 本未知量都不是對稱或反對稱的。,利用未知力分組，組成廣義未知力： XA=X1+X2, XB=X1-X2; YA=Y1+Y2, YB=Y1-Y2; 力法方程中：12=21= 0，14=41= 0， 23=32= 0，34=43= 0。 方程變?yōu)閮山M，為兩個二元一次

48、線性方程組。,例：作圖示結構的彎矩圖。各桿EI=常數(shù),,20kN,,,,,,,X2,X1,X3,,,X4,解: 1、荷載分組 分析： （1）、原結構超靜定次數(shù)為4。如選對稱的基本體系，如上圖，4個基本未知量可分為兩組： X2 X3 X4正對稱未知力； X1 反對稱未知力。,(2)、正對稱荷載作用情況：（在此，我們假設忽略剛架各桿的軸向變形和剪切變形，彎曲變形非常小）。因此，當圖示正對稱荷載作用時，只有桿中有軸向壓力FP /2=10kN，其它桿中無內(nèi)力。 因為在剛架計算中，忽略軸向變形的影響，在此條件下，上述內(nèi)力情況不僅滿足平衡條件，也滿足變形條件，是真正的內(nèi)力狀態(tài)。 可知：

49、X2= - 10， X3= X4=0。 提問：、如果在剛架計算中，考慮各桿的軸向變 形的影響，則上述內(nèi)力狀態(tài)是否正確？ 、請同學自行驗證對稱荷載作用下結構的 內(nèi)力，考慮彎矩圖全為零這個結果是否正確？,（3）、反對稱荷載作用情況： 由反對稱荷載作用分析可知（對稱結構在反對稱荷載作用下，正對稱的未知力必為零），圖示基本體系下， X2 = X3 = X4=0，只有X1有值，由此計算出的反對稱荷載作用下的彎矩圖即為原結構的彎矩圖。 2、力法方程： 11X1+1P = 0,3、作M1 、MP圖， 求11 、1P 。 EI11=(1/233) 2/334+ (

50、33)32 =90,,EI1P =(1/2303) 32+(1/2603) 2/332 =630,4、解方程： X1=-1P/11 = - 630/90 = - 7kN,5、作彎矩圖 M=X1M1+MP,,習題課：超靜定結構的計算力法,重點：熟練掌握用力法求解荷載作用下的超靜定結構。 要求： 1、準確地判定超靜定次數(shù)，正確地選用基本體系。 2、掌握力法的基本原理：力法的一般作法；力法方程的物理意義。 3、理解結構在支座移動、溫度改變作用下，力法方程的特點。會計算超靜定結構的位移；并能校核超靜定結構的最后內(nèi)力圖。 4、會利用對稱性簡化計算。,復習：,力法方程：

51、 方程的物理意義；方程左右式的意思。 各系數(shù)ik的物理意義和計算方法。 自由項iP的物理意義和計算方法。,舉例：,11X1+1P=0,,FP,,FP,,X1,,FP,,FP,,X1,,FP,,FP,,X1,,FP,,,X1,11X1+1P=0,11X1+1P=0 11X1+1C= - c,11X1+1P= - X1/k,習題一： 判斷體系超靜定次數(shù)，選基本體系。,1）,n=3,n =6,,,,,,,2）,n=9,,,,,,,3）,習題二 1、 用力法計算圖示結構，作彎矩圖。各桿EI=常數(shù)。,,X1,,X1,,X1,解：1、基本未知量；基本體系。,,1,,l,l,,,,,,,ql2/8,,,,MP,2、作M1、MP圖，計算系數(shù)。 11=(2/EI)(1/2ll)(2/3l)+ (1/2ll/2)(2/3l)= l3/EI 1P=0 X1=0 M=MP,ql2/8,,,,2、圖示連續(xù)梁結構，各桿EI=常數(shù)。討論基本體系的選取。,,,FP,,X1,,X2,,X3,,X4,,X5,,X1,,,X2,,,X3,,,X4,,X5,3、 用力法計算圖示結構，作彎矩圖。各桿EI=常數(shù)。,,基本體系,,9,,,,,9,,,,,1,,,,,,,,8,,,,,,,960,,,,540,,,960,,,MP,