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1、Wednesday, September 23, 2020,1,第五節(jié) 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù),Wednesday, September 23, 2020,2,主要內(nèi)容 幅角定理 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù) 奈氏穩(wěn)定判據(jù)在、 型系統(tǒng)中的應用 在波德圖或尼柯爾斯圖上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。,Wednesday, September 23, 2020,3,一、幅角定理：,設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，其中：為前向通道傳遞函數(shù)， 為反饋通道傳遞函數(shù)。
2、,閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ，如下圖所示：,令：,Wednesday, September 23, 2020,4,顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：,。式中， 為F(s)的零、極點。,Wednesday, September 23, 2020,5,F(s)是復變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點 都可以在F(s)平面上找到一個相應的點 ， 稱為 在F(s)平面上的映射。,同樣，對于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線 ，也可在F(s)平面上找到一條與之相對應的
3、封閉曲線 （為 的映射）。,例輔助方程為： ，則s平面上 點（-1，j1），映射 到F(s)平面上的點 為（0，-j1）,見下圖：,Wednesday, September 23, 2020,6,同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實：s平面上 曲線 映射到F(s)平面的曲線為 ，如下圖：,曲線 是順時針運動的，且包圍了F(s)的一個極點（0），不包圍其零點（-2）；曲線 包圍原點，且逆時針運動。,再進一步試探，發(fā)現(xiàn)：若 順時針包圍F(s)的一個極點（0）和一個零點（-2），則 不包圍原點順時針運動；若 順時針只包圍F(s)的一個零點（-2），則 包圍原點且順時針運動。,這里有一
4、定的規(guī)律，就是下面介紹的柯西幅角定理。,Wednesday, September 23, 2020,7,柯西幅角定理：s平面上不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線 包圍s平面上F(s)的z個零點和p個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線 移動一周時，在F(s)平面上相對應于封閉曲線 將以順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關系為：N=z-p。,若N為正，表示 順時針運動，包圍原點；,若N為0，表示 順時針運動，不包圍原點；,若N為負，表示 逆時針運動，包圍原點。,Wednesday, September 23, 2020,8,二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：,對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系
5、統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程 ，其零點恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，因此，只要搞清F(s)的的零點在s右半平面的個數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,我們這里是應用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的。設想：,如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點的次數(shù)應為： 當已知開環(huán)右半極點數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點數(shù)。,Wednesday, September 23, 2020,9,這里需要解決兩個問
6、題： 1、如何構造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？ 2、如何確定相應的映射F(s)對原點的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性 相聯(lián)系？,它可分為三部分：部分是正虛軸， 部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓； ；部分是負虛軸， 。,第1個問題：先假設F(s)在虛軸上沒有零、極點。按順時針方向做一條曲線 包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：,Wednesday, September 23, 2020,10,F(s)平面上的映射是這樣得到的：以 代入F(s)并令 從 變化，得第一部分的映射；在F(s
7、)中取 使角度由 ， 得第二部分的映射；令 從 ，得第三部分 的映射。稍后將介紹具體求法。,得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零點數(shù)和極點數(shù)。確定了N，可求出 。當 時，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。,第2個問題：輔助方程與開環(huán)頻率特性的關系。我們所構造的的輔助方程為 ， 為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點是明顯的：,Wednesday, September 23, 2020,11,F(s)對原點的包圍，相當于 對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點的包圍次數(shù)N與 對(-1,j0)點的包圍的次數(shù)一樣
8、。,奈魁斯特路徑的第部分的映射是 曲線向右移1；第部分的映射對應 ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的關于實軸的對稱。,F(s)的極點就是 的極點，因此F(s)在右半平面的極點數(shù)就是 在右半平面的極點數(shù)。,由 可求得 ，而 是開環(huán)頻率特性。一般在 中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當 時， ，即F(s)=1。（對應于映射曲線第部分）,Wednesday, September 23, 2020,12,Wednesday, September 23, 2020,13,根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判
9、斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)。,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有 個極點，且幅相曲線逆時針包圍臨界點的圈數(shù)(-1,j0)點為R，（R0逆時針，R<0順時針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點數(shù)為： 。若 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,Wednesday, September 23, 2020,14,例5-6開環(huán)傳遞函數(shù)為： ， 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點數(shù)為0，繞(-1,j0)點的圈數(shù)R=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,Wednesday, S
10、eptember 23, 2020,15,例5-7設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： ，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：開環(huán)極點為-1， -1 j2，都在s左半平面，所以 。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時針圍繞 (-1,j2)點2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,Wednesday, September 23, 2020,16,解：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個半徑為 ，圓心在 的圓。顯然，k=1時，包圍(-1,j0)點，k<1時不包圍(-1,j0)點。,由圖中看出：當k1時，奈氏曲線逆時針包圍 (-1 , j0)點一圈，R=1 ，
11、而 ，則 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,Wednesday, September 23, 2020,17,當k=1時，奈氏曲線通過(-1,j0)點，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,當k<1時，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點，R=0， ，所以 ，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,上面討論的奈魁斯特判據(jù)和例子，都是假設虛軸上沒有開環(huán)極點，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對于、型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點）有極點，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構奈魁斯特路徑。,作業(yè)：5-6,5-7,5-8,Wednesday, September 23, 2020
12、,18,三、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在、型系統(tǒng)中的應用：,具有開環(huán)0極點系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：,可見，在原點有 重0極點。也就是在s=0點， 不解析，若取奈氏路徑同上時（通過虛軸的整個s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點而仍然能包圍整個s右半平面，重構奈氏路徑如下：以原點為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時的奈氏路徑由以下四部分組成：,Wednesday, September 23, 2020,19,部分：正虛軸， ，部分為半徑為無窮大的右半圓 ； 部分負虛軸， ，部分為半徑為無窮小的右半圓，,下面討論對于這種奈魁斯特路徑的映射 ：,1、第和
13、第部分：常規(guī)的奈氏圖 ，關于實軸對稱； 2、第部分： ， 。假設 的分母階數(shù)比分子階數(shù)高； 3、第部分： (a)對于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點 代入 中得：,Wednesday, September 23, 2020,20,(b)對于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點 代入 中得：,,所以這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的整個圓（順時針）。,,所以這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的右半圓。,Wednesday, September 23, 2020,21,結(jié)論用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應用于、型系
14、統(tǒng)。,例5-9設型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。,從圖上看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而 ，故 ，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,Wednesday, September 23, 2020,22,例5-10某型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 如下圖所示，且s右半平面無極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：,從圖上可以看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈。因 ，所以
15、 ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,Wednesday, September 23, 2020,23,特殊情況：1、若開環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點，這時應將奈氏路徑做相應的改變。如下圖：,以極點為圓心，做半徑為無窮小的右半圓，使奈氏路徑不通過虛軸上極點（確保滿足柯西幅角定理條件），但仍能包圍整個s右半平面。映射情況，由于較復雜，略。,2、如果開環(huán)頻率特性曲線通過(-1,j0)點，說明閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點。,Wednesday, September 23, 2020,24,通常，只畫出 的開環(huán)奈氏圖，這時閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)為： 。式中， 為
16、 變化時，開環(huán)奈氏圖順時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)。,Wednesday, September 23, 2020,25,注意： 1.包圍臨界點的圈數(shù)R也可以根據(jù)幅相曲線計算： 設N為幅相曲線穿越(-1,j0)點左側(cè)負實軸的次數(shù)，N+表示正穿越的次 數(shù)和（從上向下穿越），N-表示負穿越的次數(shù)和（從下向上穿越）， 則R=2N=2(N+ -N-)。 2.如果系統(tǒng)含有個積分環(huán)節(jié)，則在幅相曲線=0處逆時針補作 v/4 圓弧，再計算N。,（圖a）N- = 1, N+= 0, R= -2N- = -2,Wednesday, September 23, 2020,26,例58 已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線
17、如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán) 穩(wěn)定時K值的范圍。解: 如圖所示，開環(huán)幅相曲線與負實軸有三個交點，設交點處穿越 頻率分別為1,2,3，,Wednesday, September 23, 2020,27,對應地，分別取0K3時，開環(huán)幅相曲線分別如圖 所示，圖中按V補作虛圓弧得半閉合曲線G.,.,,Wednesday, September 23, 2020,28,四、在對數(shù)坐標圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：,開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖和對數(shù)坐標圖（波德圖）有如下的對應關系： 1、極坐標圖上單位圓對應于對數(shù)坐標圖上的零分貝線； 。 2、極坐標圖上的負實軸對應于對數(shù)坐標圖上的-180度相位線。,極坐標圖頻
18、率特性曲線在 上的正負穿越在對數(shù)坐標圖上的對應關系：在對數(shù)坐標圖上 的范圍內(nèi)，當 增加時，相頻特性曲線從下向上穿過-180度相位線稱為正穿越。因為相角值增加了。反之稱為負穿越。,Wednesday, September 23, 2020,29,對照圖如下：,穿越次數(shù)計算 正穿越一次：在L（）0時，（）由下向上穿越-線一次。負穿越一次：在L（）0時， （） 由上向下穿越-線一次。正穿越半次：在L（）0時， （）由下向上止于或由下向上起于-線。 負穿越半次：在L（）0時， （）由上向下止于或由下向上起于-線。,如果系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，需從對數(shù)相頻特性曲線(n-)點起向上補作V1
19、*180的虛直線 至(n)處，由()曲線和補作的虛直線構成曲線判斷穿越次數(shù)。,Wednesday, September 23, 2020,30,對數(shù)坐標圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：,設開環(huán)頻率特性 在s右半平面的極點數(shù)為P，對數(shù)坐標圖上幅頻特性 的所有頻段內(nèi)，當頻率增加時，對數(shù)相頻特性對-180度線的正負穿越次數(shù)差為 N=N+ - N- ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,Wednesday, September 23, 2020,31,例:利用對數(shù)頻率特性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,解：作出其開環(huán)對數(shù)頻率特性，如下圖所示。P0，因而該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 由圖可見在L()0的頻域內(nèi)()總大于180，N=0，故閉環(huán) 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,,Wednesday, September 23, 2020,32,例 利用對數(shù)頻率特性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,解：作出其開環(huán)對數(shù)頻率特性，如下圖所示。該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 含有2個積分環(huán)節(jié),且由00+時,()由0-180，用虛線 繪出相頻特性的增補部分。由圖知L()0dB的頻段上, N+0，N-1，R 2，而P 0，則Z2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,,
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