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1、第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 通過(guò)求解一個(gè)相應(yīng)的泛函的 極小函數(shù)而得到偏微分方程邊值問(wèn) 題的解，這種理論和方法通常叫作 偏微分方程中的變分原理，簡(jiǎn)稱(chēng)變 分方法。本章通過(guò)求解一類(lèi)邊值問(wèn) 題和特征值問(wèn)題簡(jiǎn)單介紹該方法的 理論及其應(yīng)用。 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 6.1 邊值問(wèn)題與算子方程 6.1.1 薄膜的橫振動(dòng)與最小位能原理 考慮張?jiān)谄矫嬗薪鐓^(qū)域 上的均勻薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小橫振動(dòng)，薄膜的邊緣固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的總位能 為 其中， T 表示張力， F(x,y) 表示外力面密度， u
2、(x,y) 表示薄膜在點(diǎn) (x,y) 出垂直于平面方向的位移。 由于薄膜邊緣固定 , 故 可見(jiàn) , (6.1.1) 是定義在容許 函數(shù)類(lèi) 上的泛函。 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 類(lèi)似于 5.2.5小節(jié)中對(duì) Dirichlet原理的討論，可知泛函 （ 6.1.1）的極小函數(shù)就是 Poisson方程 Dirichlet問(wèn)題 的解；反之邊值問(wèn)題（ 6.1.2)的解 u 也是泛函 (6.1.1)的極小函 數(shù) ,即 于是 ,我們可以用變分方法得到邊值問(wèn)題 (6.1.2)的解 .值得注 意的是 , 為了保證極小函數(shù)的存在性 ,
3、有時(shí)必須將容許函數(shù)類(lèi)擴(kuò)大 . 此時(shí)我們得到的不一定是邊值問(wèn)題的古典解而是弱解 . 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 6.1.2 正算子與算子方程 我們稱(chēng)滿(mǎn)足等式（ Au,v)=(Av,u) 的算子 A 為對(duì)稱(chēng)算子。 設(shè) A 是定義在 Hilbert 空間 H 的某一線性稠密子集 上的線性算子， 若對(duì) 中的任意元素 u，有 且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) u=0, 則稱(chēng) A 是正算子。 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 應(yīng)用 取 Hilbet 空間為 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 可以驗(yàn)證，它們各自對(duì)應(yīng)的算子是正算子。對(duì)應(yīng)于以上三種
4、問(wèn)題算 子 的定義域分別為 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 6.1.3 正定算子 弱解存在性 設(shè) A 是 上的線性算子，若存在常數(shù) 對(duì)任意 有 則稱(chēng)算子 A 是 上的正算子。 在 上引入新內(nèi)積 由此內(nèi)積誘導(dǎo)的新范數(shù)記為 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 6.2 Laplace 算子的特征值問(wèn)題 本節(jié)考慮如下的 Laplace 算子特征值問(wèn)題： 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 6.2.1 特征值與特征函數(shù)的存在性 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題 6.2.2 特征值與特征函數(shù)的性質(zhì) 第 6章 變分法與邊值問(wèn)題
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