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2、星繞日運動的軌道與能量 例題 6（雙星問題） 一、對宇宙中復(fù)雜的天體受力運動的簡化 （ 1）天體通常相距很遠，故可將天體處理為質(zhì)點 . （ 2）很多時候，某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個是主要的： a、可將該兩天體作為二體問題處理 . b、 施力天體由于某些原因 （ 如質(zhì)量相對很大 ） 在某慣性系中可認(rèn)為幾乎不動，這 時問題很簡單 （我們通常討論的就是這種情況） . 二、引力問題的基本動力學(xué)方程 如圖，行星 m在太陽 M的有心引力作用下運動 . v r 太 陽 m M rv rv 行星的橫向加速度 等于零 . ( = )rr dvardt 有徑向
3、動力學(xué)方程 2 2()rr d v M mm a m r Gd t r 解題知識與方法研究 在太陽慣性參照系中， 由牛頓運動定律和引力定律 v r 太 陽 m M rv rv 211sin22rv r 常 量 此式變化后即得開普勒第二定律： 表明： 開普勒第二定律不過角動量守恒定律的特殊表現(xiàn) . 開普勒第二定律不僅適用于行星的橢圓運動也將 適用于有心引力作用下的任何行星軌道運動 . 又因萬有引力為保守力，故“太陽 +行星”系統(tǒng)的機 械能守恒 2 21 ()2 Mmm v G r 常 量 當(dāng)然，此方程也不限于 行星做橢圓軌道運動！ 因為引力為有心力
4、，故行星對太陽參考軸角動量 守恒 2s i n rr m v r m v r m 常 量 三、天體繞日運動的軌道與能量 0r r v M m 根據(jù)萬有引力定律和其他牛頓力學(xué)定律（角動 量守恒、機械能守恒等）可導(dǎo)出在如圖的極坐標(biāo)下 的繞日運動的天體的 軌道方程 ： 22 2 2 2 3 2. , 1 . 1 c os p L ELr p e e GM m G M m （其 中 ， ） 軌道方程為一圓錐曲線方程： （ 1） 01Ee時 ，， 為 橢 圓 ， （即開普勒第一定律）； 2G M mE a 總能量為： （ 2） 01Ee時 ，， 為 雙曲 線 的一
5、 支， 總能量為： GMmE a O x y ( ,0)Fc M m a b r o a b c m M r x y 焦 點 M 位 于 其 中 一 個 內(nèi) 焦 點 M位 于 01Ee時 ，， 為 拋物 線 ，（ 3） 總能量為： 0E F Mm x y O自行計算出上述三個能量值！ （能否不用高等數(shù)學(xué)？） M 位 于 焦 點. 例 1（天體軌道的判定） 如圖，太陽系中星體 A做半徑為 R1的圓運動，星體 B作拋 物線運動 . B在近日點處與太陽的相距為 R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運動方 向也相同 . 設(shè) B運動到近日點時， A恰好運動到 B與太陽連線上 . A
6、、 B隨即發(fā)生某種強烈 的相互作用而迅速合并成一個新的星體 . 其間的質(zhì)量損失可忽略 . 試證明新星體繞太陽的 運動軌道為橢圓 . 解 計算新星體 C的機械能 . 在徑向： 可認(rèn)為在 A、 B靠攏過程中質(zhì)心未動 . 所以 C到太陽的距離為 123 AB AB m R m RR mm 在切向： A、 B合并過程中動量也守恒， ()A B C A A B Bm m v m v m v 則有 研究式中的 vA、 vB： 1 .A GMv R故因 A作圓運動， C AB M日 ( ) 1R 2R 疑難題解答研究 Cv AvBv 3R .CR 3設(shè) 距 日 , 三星 速 度如 圖
7、 1 2AB AB mm R mm 所以 2 2 B GMv R 利用， C星體的機械能為 1 1 1 ( )() 22 AB AB AB AB G M M m mm m G mmR R mm 因此，新星體 C的軌道為橢圓 . 題后思考 本題能不能直接判斷？ EAm），距離為 d，在引力作用 下繞不動的質(zhì)心作圓周運動 . 設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點 . 在超新星爆炸中，質(zhì)量為 M的星體 損失質(zhì)量 M. 假設(shè)爆炸是瞬時的、球?qū)ΨQ的，并且對殘余體不施加任何作用力（或作用 力抵消），對另一顆星也無直接作用 . 試求，在什么條件下，余下的新的雙星系統(tǒng)仍
8、被約 束而不相互遠離 . 解 需計算爆炸后的總機械能 . 如圖，爆炸前兩星繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn) . 22 212 . V v M mM m G r r d 旋轉(zhuǎn)的角速度 滿足 由以 上 諸 式 得 到 .( ) ( )GGV m v Md M m d M m ， 爆炸后的瞬間，因球?qū)ΨQ爆炸所以（ M-M）位置、速度均不變 . 無作用，故 m的位置、速度也不變 . 因爆炸對星體 m也 CM m r1 2r V v 12r r d 12 ,. mMr d r dM m M m 旋轉(zhuǎn)半徑滿足 新系統(tǒng)的質(zhì)心 C還在兩星連線上的原處嗎？ 新系統(tǒng)的質(zhì)心 C還會靜止嗎？ C r2 r1
9、CM mr2 r1 ()MM m V v V vCv 新系統(tǒng)的勢能為 () P M M mEG d 新系統(tǒng)在新質(zhì)心參照系中的動能為 2211( ) ( ) ( )22K C CE M M V v m v v 由系統(tǒng)動量的質(zhì)心表達可知新系統(tǒng)質(zhì)心速度為 ( ) ( ) . ( ) ( )C m v M M V m v M V M Vv M M m M M m 注意到式中的 ( ) 0 .m v M V .()C MVv M M m 所以 進而得到系統(tǒng)在新質(zhì)心系中的動能為 2 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 () 2 ( ) K MVE M
10、 M v M M m MVmV M M m 新系統(tǒng)仍被約束的條件是 0.PKEE PKEE將 、 的表 達 式 代 入 ，整 理 得 1 ( ) .2M M m 題后思考 以后兩星還繞新質(zhì)心作圓運動嗎 ? (嚴(yán)格證明你的結(jié)論！ ) C r2 r1 CM mr2 r1 ()MM m V v V vCv () P M M mEG d () GVm d M m ， .()GvM d M m 另解 用 二體問題 折合質(zhì)量法 爆炸前： 兩星折合質(zhì)量 () .M M m M M m .MmMm 兩星折合質(zhì)量 等效的運動如圖（ a）
11、. 2 2 v M mG dd 旋轉(zhuǎn)的速度 v 滿足 得 到 ()G M mv d 爆炸后： 等效的運動如圖（ b） . 新系統(tǒng)的勢能 () . P M M mEG d 新系統(tǒng)的動能 21 2KEv 代入系統(tǒng)約束的條件 0.PKEE 解得 1 ( ) .2M M m （ b） ()MM v d M v d （ a） 題后思考 計算兩體的引力勢能時 為何不用折合質(zhì)量？ ( ) ( ) . () M M m G M m M M m d 1 2 ( ) ( )() () M M m G M m M M m d 2 1 2 兩體問題
12、 僅有兩個質(zhì)點組成的孤立系統(tǒng)，兩個質(zhì)點的質(zhì)量為 m1、 m1，相互作用力大小為 f， 從 m1至 m2的矢徑為 . R 對 m2，由牛頓第二定律有 2 2 2 2 drfm dt （） 將（ 1）代入（ 2）： 212 212 . m m d Rf m m dt 12 12 12 ()mm mmmm 令 稱 為 與 的折 合 質(zhì) 量 ，則有 2 2 3 dRf dt （） （ 3）式表明，若取 m1為參照系（一般不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立） ，則在此參照系中 m2的運動完全相同于質(zhì)量為 的質(zhì)點在中心力 的作用下按牛頓第二 定律所形成的運動，而無須考慮慣性力的作用 . f 取二者的質(zhì)心 C為參照系（慣性系） . 設(shè) C到 m1的矢徑為 . r r 1 12 1mrRmm （）有 C r 1m 2m R f f
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