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1、對(duì)于上述所談及的兩種平面問(wèn)題： 平衡方程（ 22） 2個(gè) 幾何方程（ 28） 3個(gè) 物理方程（ 212） 3個(gè) 注 :雖然八個(gè)方程可解八個(gè)未知函數(shù) ,但由于求解時(shí)會(huì) 產(chǎn)生待定函數(shù) (常數(shù) );所以要想得出具體的解答還 必需利用邊界條件來(lái)確定待定函數(shù)。 邊界條件有三類： 位移、應(yīng)力、混合邊界條件 共計(jì)八個(gè)未知函數(shù) 、、、、、、、含 vu xyyxxyyx 2 6.邊界條件 八個(gè)方程 在位移邊界問(wèn)題中，物體在全部邊界上的位移 分量是已知的，即： 式中： 是位移的邊界值； 邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)或邊界上 已知的位移分量
2、。 二、應(yīng)力邊界條件 邊界上面力分量為已知。 建立邊界上微元體的應(yīng) 力分量與面力分量的關(guān)系 （） vvuu ss , vu ss、 vu、 一 .位移邊界條件 二、應(yīng)力邊界條件 在邊界上的楔形體（單位厚度）如圖所示： yx xy x y nX nY xf yf 彈性體內(nèi)單元體斜面上的 應(yīng)力分量與坐標(biāo)面應(yīng)力的 關(guān)系有 (靜力平衡 ) m l p p yyx xyx y x 單元體斜面恰為邊界面則 面力分量與坐標(biāo)面應(yīng)力的 關(guān)系有應(yīng)力邊界條件 y x syyx xyx f f m l 注意：以上
3、在推導(dǎo)時(shí)，斜 面上的應(yīng)力 px,py采用矢量 符號(hào)規(guī)定與面力相同 。 特例 --邊界面與坐標(biāo)軸平行時(shí) o x 上面： l=0 ， m = -1 左面： 右面： l=-1 l=1 m = 0 m = 0 下面： l=0 ， m = 1 y ysxy xsx fm fl )(0 )(1 (1).左右兩面 (2).上下兩面 xsyx ysy
4、 fm fl )(1 )(0 應(yīng)力邊界條件的寫(xiě)法是：左端為邊界上微元體的 應(yīng)力分量；右端為面力分量。可以各自采用各 自的符號(hào)規(guī)定。但需要用邊界的方向余弦 y x syyx xyx f f m l qYX ,0 qYX ,0 0 Y qX 0 Y qX x y 0)(,)(: 0)(,)(: 0)(,)(: 0)(,)(: syxsy syxsy sxysx sxysx q q q q 下 上 左 右 舉例： 邊界面于坐標(biāo)軸平
5、行時(shí)的簡(jiǎn)單寫(xiě)法 : 每個(gè)邊界條件只含有一個(gè)應(yīng)力分量 (l=0 or m=0) 邊界上的面力 按應(yīng)力分量的符號(hào)規(guī)定，不考慮 l,m 圖中的面力采用矢量 符號(hào)規(guī)則 1;0 ml ysxy xsx fm fl )(0 )(1 (1).左右 (2).上下 X1m Y0l syx sy )( )( 三、混合邊界條件 1、在一部分邊界上的位移分量為已知，另一 部分邊界上應(yīng)力分量已知。 2、在 同一 邊界上，已知一個(gè)位移分量和一個(gè) 應(yīng)力分量。 x y 0 0)( v f v s xs x )( b圖 x y o )( a圖 0 0 yxy s
6、f uu 例 1：小錐度桿承受軸向拉力。利用邊界條件證明，橫截面上， 除正應(yīng)力 外，還有剪應(yīng)力 。并確定邊界上 、 與 的關(guān)系。 (假設(shè)任何界面上 y方向的正應(yīng)力均勻分布 ) xy y xy y x )( yA P y 解： s in,c os c os,c os ynm xnl 由 ysysxy xsxysx fm fm 0s inc o s 0s inc o s sysxy syxsx 22 tgyA ptgysx tgyA ptgysxy P
7、 y o y n yf xf xy y x yx 例 寫(xiě)出應(yīng)力邊界條件。 設(shè) 液體比重 為 解： 1）右邊界（ x=0） 0 0 0 xxy xx y 2）左邊界（ x=y tg） s in ) 2 c o s (,c o s c o s,c o s ynm xn 0,0 yx ffy n O x y y O x y y y n 由： y sysxy xsxysx fm fm 0s inc os 0s inc os sysxy sxysx s inc o s ml
8、 y x syyx xyx f f m l 唯一性定理 表述 1：在沒(méi)有初始應(yīng)力的情況下，如果邊界 條件足以確定全部剛體位移，則彈性力學(xué)邊值問(wèn) 題的解答是唯一的。 表述 2：在沒(méi)有初始應(yīng)力的情況下，彈性力學(xué) 邊值問(wèn)題的解在相差一組剛體位移的意義下是唯 一的。 證明概要 ：只要證明在體力和面力都為零的情況 下，邊值問(wèn)題只可能有零解 (應(yīng)力、應(yīng)變和位移 全為零 )。后者則需要用到應(yīng)變能的概念。 據(jù)此，任何一組應(yīng)力應(yīng)變和位移，如果它們確能 滿滿足方程和邊界條件，就肯定是該問(wèn)題的解。 疊加原理 疊加原理 ：兩組外力同時(shí)作用在物體上 所產(chǎn)生的結(jié)果等于他們分別作用產(chǎn)
9、生的 結(jié)果之和。 證明概要 ：只需注意方程都是線性的， 同時(shí)邊界條件也是線性的即可。 推廣 ：以上兩組外力可以推廣到 n組外力。 分解原理 ：根據(jù)疊加原理，可以把原問(wèn) 題分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題單獨(dú)求解。 2-7.圣維南原理 (局部性原理 ) 一 .圣維南原理的敘述 描述 1、如果把物體的 一小部分邊界上 的面力以等效力系 （主矢及主矩均為相同） 代換 ，則在加載附近的的應(yīng)力發(fā)生顯著變 化，而在 稍遠(yuǎn)處 的影響可忽略不計(jì)，亦即 與載荷在邊界上的作用形式無(wú)關(guān)。 描述 2、如果物體在一小部分邊界上的 面力是一個(gè)平衡力系（主矢及主矩均為 零），則面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng) 力，遠(yuǎn)處
10、的應(yīng)力可忽略不計(jì)。 二 . 圣維南原理的應(yīng)用條件 1、必須用等效力系代替。 2、載荷區(qū)域必須比物體的最小尺寸為小（小邊界上 ) P P P A P q q )( a圖 )( b圖 )( c圖 （ 1 ）以 (b) 代 (a) 應(yīng)力邊界條件可以近似滿足。 （ 2 ）以 (b) 代 (c) 應(yīng)力邊界條件可以近似滿足 , 但 位移邊界條件不能完全滿足。 舉例 圣維南原理的應(yīng)用 所得到的應(yīng)力分量必須在所有邊界上各點(diǎn)處 嚴(yán) 格滿足應(yīng)力邊界條件 ，才是所論問(wèn)題的解答。 在小邊界上，如果不能嚴(yán)格滿足邊界條件，可 以用圣維南原理在靜力等效意義上滿足 (積分 意義上的 )邊界條
11、件。 根據(jù)這個(gè)原理：兩組面力其分布盡管不同，但 如果兩者的合力與合力矩相同 (靜力等效 )，此 時(shí)它們所產(chǎn)生的作用結(jié)果僅僅在局部有比較大 的差異，遠(yuǎn)離這個(gè)局部，結(jié)果基本相同。 靜力等效邊界條件： 對(duì)于嚴(yán)格要求的條件在局部放松 y L 2h 2h x M 線性分布的邊界力所形 成的力偶等于 M 由材力彎曲公式 ： z y I yM 嚴(yán)格面力 0 y z y x f I yM f 2h 2h x y L y 嚴(yán)格邊界條件 0 Lxxy z y Lxx I yM 只有在右端彎矩是由線性分布的外力引起時(shí)， 材料力學(xué)的公式才在右端附近嚴(yán)格成立 。 邊界的積分式 自
12、由端邊界條件： 2h 2h x y L P Pdy y d y dy h h lxxy h h lxx h h lxx 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 dy Mydy dy h h lx xy h h lxx h h lxx Axd 設(shè)中性軸為 z y z 1 懸臂梁的例子： 則邊界條件可以寫(xiě)成 (P.23 (b))： 根據(jù)圣維南原理，把給出的面力化成合力和合力矩 My d yfFdyfFdyf h h xy h h yx h h x 2 2 2 2 2 2 ,,
13、 My d yFdyFdy h h lxxyh h lxxyxh h lxx 2 2 2 2 2 2 ,, 2h 2h x y L P 用積分表達(dá)的邊界條件 對(duì)邊界條件的積分為： (P.23 (b))： 根據(jù)圣維南原理，同時(shí)還要考慮等效力矩： y d yfy d y h h xh h lxx 2 2 2 2 dyfdyf dyfdyf h h y h h lxyylxy h h x h h lxxxlxx 2 2 2 2 2 2 2 2 2h 2h x y L P 2h 2h x y L y 懸臂梁的例子： 平面
14、應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題 一 . 平面問(wèn)題基本未知量 yxyxyx xyyx ,),,(,, 1、應(yīng)力分量 （ 3個(gè)） zxyyx yxyxyx ,,,,, , 獨(dú)立的（ 3個(gè)） 2、應(yīng)變分量 zxyyx yxyxyx ,,,,,, 獨(dú)立的（ 3個(gè)） yxyxyx xyyx ,,,,, （ 3個(gè)） 3、位移分量 wyxvyxu ,,,, 獨(dú)立的（ 2個(gè)） yxvyxu ,,, （ 2個(gè)） f 平面問(wèn)題小結(jié) 平面應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題 二 . 平面問(wèn)題基本方程 1、平衡微分方程 0 xyxx fyx
15、 0 yyxy fyx （ 2-2） 同左 （ 2個(gè)） 2、幾何方程（ 3個(gè)） )82( y u x v y v x u xy y x 同左 3、物理方程（ 3個(gè)） ） 122( 1 )( 1 )( 1 xyxy xyy yxx G E E )13( )1(2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 2 xyxy xyy yxx E E E ）（ a E E E xyxy xyy yxx 122 )1(2 )( 1 )( 1 2
16、 2 用下式代換： 1,1 2 EE 、在邊界上取楔形研究（單位厚度） 如圖所示： yx y xy x xf A BD C ),c o s ( ),c o s ( ynm xnl dsmDB dslDA dsAB n yf xf yf ds ml ffml dsmdslX dsmdsldsX F xxyxx yxx x 2 : 2 1 111 :0 化簡(jiǎn)得 由 為應(yīng)力的邊界值、 syxsx ysxysy xsyxsx flm fml )()( )152( )()
17、( )()( namely 2.特例 --邊界面與坐標(biāo)軸平行時(shí) o x 上面： l=0 ， m = -1 左面： 右面： l=-1 l=1 m = 0 m = 0 下面： l=0 ， m = 1 y ysxy xsx fm fl )(0 )(1 (1).左右兩面： y x syyx xyx f f m l (2).在上下兩面 : xsyx ysy fm fl )(1 )(0
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