北京市2020年石景山一模及答案

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1、2020年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試一模 數(shù) 學(xué) 本試卷共6頁(yè)，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效，考試結(jié)束后上交答題卡． 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． 1. 設(shè)集合，，則等于 A. B. C. D. 2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù), 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 A. B. C. D. 3. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是 A. B.

2、 C. D. 4. 圓的圓心到直線的距離為1，則 A. B. C. D. 5. 將位志愿者分配到博物館的個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館至少人，不同的分配 方案有（ ）種 A. B. C. D. 6. 如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1， 粗線表示一正方體被某平面截得的幾 何體的三視圖，則該幾何體的體積為 A. B. C. D. 7. 函數(shù)（）的最小正周期為，則滿足 A. 在上單調(diào)遞增 B. 圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C. D. 當(dāng)時(shí)有最小值 8. 設(shè)是等

3、差數(shù)列，其前項(xiàng)和為. 則“”是“為遞增數(shù)列”的 A.充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 9. 設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，使得 ，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，那么下列函數(shù)： ① ；② ；③ ； 具有性質(zhì)的函數(shù)的個(gè)數(shù)為 A. B. C. D. 10. 點(diǎn)分別是棱長(zhǎng)為的正方體中棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng).若面，則的長(zhǎng)度范圍是 A. B. C. D. 第二部分（非選擇題共110分） 二、填空題共5小題，每小題5分，共25分． 11. 已

4、知向量 ， ，則__________． 12. 已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，且 ，則_________． 13. 能夠說(shuō)明“設(shè)是任意非零實(shí)數(shù)，若“，則”是假命題的一組 整數(shù)的值依次為______________． 14. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于 點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則__________． 15. 石景山區(qū)為了支援邊遠(yuǎn)山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由13名一線中小學(xué)教師 三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程． 16.（本小題14分） 如圖，在

5、正四棱錐中，，． （Ⅰ）求證：面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 17.（本小題14分） 2020年，北京將實(shí)行新的高考方案.新方案規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目，考生還需從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目．若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定．例如，學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定，“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案． 某校為了解高一年級(jí)840名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取60名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選

6、考科目人數(shù)如下表： 性別 選考方案確定情況 物理 化學(xué) 生物 歷史 地理 政治 男生 選考方案確定的有16人 16 16 8 4 2 2 選考方案待確定的有12人 8 6 0 2 0 0 女生 選考方案確定的有20人 6 10 20 16 2 6 選考方案待確定的有12人 2 8 10 0 0 2 (Ⅰ)估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？ (Ⅱ)從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出2名，求恰好有一人選“物理、化學(xué)、生物” 的概率； （Ⅲ）從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出2名，

7、 設(shè)隨機(jī)變量，求的分布列和期望. 18.（本小題14分） 已知銳角，同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)： ① ② ③ ④ (Ⅰ)請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說(shuō)明理由； (Ⅱ)求的面積. 19.（本小題15分） 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為. 直線過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值； （Ⅲ）延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求此時(shí)直線的斜率． 20. （本小題14分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過(guò)上一點(diǎn)作的切線，

8、判斷：可以作出多少條切線，并說(shuō)明理由． 21.（本小題14分） 有限個(gè)元素組成的集合，，記集合中的元素個(gè)數(shù)為，即.定義，集合中的元素個(gè)數(shù)記為,當(dāng)時(shí)，稱集合具有性質(zhì). (Ⅰ)，，判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由； （Ⅱ）設(shè)集合，且，若集合具有性質(zhì)，求的最大值； （Ⅲ）設(shè)集合，其中數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為有理數(shù)，判斷集合集合是否具有性質(zhì)并說(shuō)明理由. 數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考 一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分． 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7

9、8 9 10 答案 B C D A A B D C C B 二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分． 11．； 12．； 13． ；答案不唯一 14．； 15. 小學(xué)中級(jí) ． 三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共85分．解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 16．（本小題14分） （Ⅰ）證明：聯(lián)結(jié)． 在正四棱錐中， 底面． 因?yàn)槠矫妫? 所以． …………3分 在正方形中，， 又因?yàn)椋? 所以面． …………6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，兩兩垂直， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立

10、如圖所示空間直角坐標(biāo)系 . …………7分 在正方形中，因?yàn)椋? 所以． 又因?yàn)椋? 所以． 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 點(diǎn)的坐標(biāo)為． …………8分 則，． …………9分 由（Ⅰ）知，平面． 所以平面的一個(gè)法向量為． …………10分 設(shè)平面的一個(gè)法向量． 則即 令，則，． 故平面的一個(gè)法向量． …………13分 所以二面角的余弦值為． …………14分

11、 17.（本小題14分） 解：(Ⅰ)由數(shù)據(jù)知，60人中選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有8+20=28人 …1分 所以該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有 人 ………4分 (Ⅱ)選考方案確定且為“物理，化學(xué)，生物”的男生共有8人。 ……5分 設(shè)“恰好有一人選物理、化學(xué)、生物”為事件A ……6分 ……8分

12、（Ⅲ）由數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的男生中有8人選擇物理、化學(xué)和生物；有4人選擇物理、化學(xué)和歷史；有2人選擇物理、化學(xué)和地理；有2人選擇物理、化學(xué)和政治. ……9分 的可能取值為. ……12分 所以的分布列為： 0 1 ……14分 18. （本小題14分） 解：（Ⅰ）同時(shí)滿足①，②

13、，③． ………… 3分 理由如下： 若同時(shí)滿足①，④，則在銳角中， ，所以 又因?yàn)?,所以 所以,這與是銳角三角形矛盾， 所以不能同時(shí)滿足①, ④， ………… 6分 所以同時(shí)滿足②，③ . ………… 7分 因?yàn)?所以 若滿足④ 則 , 則,這與是銳角三角形矛盾 故不滿足④. ………… 9分 故滿足①，②，③． （Ⅱ）因?yàn)?，

14、 …………10分 所以 ． 解得 或． ………… 12分 當(dāng)時(shí)， 所以為鈍角，與題意不符合，所以． ………… 13分 所以△的面積． …………14分 19. （本小題15分） 解：（Ⅰ）由已知，， …………2分

15、 又，解得 …………4分 所以橢圓方程為. …………5分 （Ⅱ）設(shè)直線的方程為 聯(lián)立消去得 ，不妨設(shè) ……7分 則，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn) 所以， ………8分 所以 …………9分 所以為定值.

16、 …………10分 （Ⅲ）若四邊形為平行四邊形,則 …………12分 所以 …………13分 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 ……14分 解得 即 所以當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，直線的斜率為. ………15分 20.（本小題14分） .解：（Ⅰ）令 …………1分 所以 令，解得. …………3分 當(dāng)變

17、化時(shí)，的變化情況如下表： – 0 + 減 極小值 增 …………5分 所以在的最小值為 ……6分 令 解得. 所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立. ………7分 （Ⅱ）可作出2條切線. …………8分 理由如下：當(dāng)時(shí)，. 設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，

18、 …………9分 則 即 整理得 …………10分 令，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與切點(diǎn)的個(gè)數(shù)一一對(duì)應(yīng). ，令解得 . …………11分 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： – 0 + 減 極小值 增 所以 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 且

19、 …………13分 所以 在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的解. 所以 過(guò)點(diǎn)可作出的2條切線. …………14分 21.（本小題14分） 解：(Ⅰ)集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì). ,不具有性質(zhì); ,,具有性質(zhì). …………3分 （Ⅱ）若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則不具有性質(zhì)，理由是. 因?yàn)榍宜裕? 要使取最大，則； ，易知不具有性質(zhì)，要使取最大， 則； ，要使取最大，檢驗(yàn)可得； …………8分（Ⅲ）集合具有性質(zhì). 設(shè)等比數(shù)列的公比為為，所以且為有理數(shù)， 假設(shè)當(dāng)時(shí)有成立，則有 …………10分 因?yàn)闉橛欣頂?shù)，設(shè)且（互質(zhì)），因此有 即（1）， （1） 式左邊是的倍數(shù)，右邊是的倍數(shù)，又互質(zhì)， 顯然不成立. ……12分 所以，所以集合具有性質(zhì). ……14分