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1、 牛頓定律習(xí)題解答
X
A
B
習(xí)題2―1圖 案
習(xí)題2—1 質(zhì)量分別為mA和mB的兩滑塊A和B通過(guò)一個(gè)輕彈簧水平連接后置于水平桌面上,滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)為,
系統(tǒng)在水平拉力作用下勻速運(yùn)動(dòng),如圖所示。如
突然撤去外力,則剛撤消后瞬間,二者的加速度
aA和aB分別為:[ ?。?
(A) aA=0,aB=0。(B) aA>0,aB<0。(C) aA<0,aB>0。(D) aA<0,aB=0。
解:原來(lái)A和B均作勻速運(yùn)動(dòng),各自所受和外力都是零,加速度亦為零;在突然撤去外力的瞬間,B的受力狀態(tài)無(wú)顯著改變,加速度仍為零;而A則由于力的撤消
2、而失衡,其受到的與速度相反的力占了優(yōu)勢(shì),因而加速度小于零。所以應(yīng)該選擇答案(D)。
習(xí)題2—2 如圖所示,用一斜向上的力(與水平成30角),將一重為G的木塊壓靠在豎直壁面上,如果不論用怎樣大的力,都能不使木塊向上滑動(dòng),則說(shuō)明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù)的大小為:[ ?。?
(A) ?!?B) 。 (C) 。 (D) 。
解:不論用怎樣大的力,都不能使木塊向上滑動(dòng),應(yīng)有如下關(guān)系成立
即
所以應(yīng)當(dāng)選擇答案(B)。
30
習(xí)題2―2圖
A
B
習(xí)題2―3圖
C
3、
習(xí)題2—3 質(zhì)量相等的兩物體A和B,分別固定在彈簧的兩端,豎直放在光滑的水平面C上,如圖所示。彈簧的質(zhì)量與物體A、B的質(zhì)量相比,可以忽略不計(jì)。如果把支持面C迅速移走,則在移開(kāi)的一瞬間,A的加速度大小為aA=
,B的加速度大小為aB= 。
解:此題與習(xí)題2—1類(lèi)似,在把C移走之前,A、B均處于力學(xué)平衡狀態(tài),它們各自所受的力均為零,加速度亦為零;把C迅速移開(kāi)的一瞬間,A的受力狀態(tài)無(wú)明顯改變,加速度仍然是零;而B(niǎo)由于C的對(duì)它的支持力的消失,只受到自身重力和彈簧對(duì)它向下的彈性力,容易知道此兩力之和為2mBg,因此,B的加速度
4、為2g。
習(xí)題2─4 一水平放置的飛輪可繞通過(guò)中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng),飛輪輻條上裝有一個(gè)小滑塊,它可在輻條上無(wú)摩擦地滑動(dòng)。一輕彈簧的一端固定在飛輪轉(zhuǎn)軸上,另一端與滑塊連結(jié)。當(dāng)飛輪以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí),彈簧的長(zhǎng)度為原來(lái)的f倍,已知時(shí),f=f0,求與f的函數(shù)關(guān)系。
解:設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l 0,則有
?、?
令得
②
①、②聯(lián)立得
這就是與f的函數(shù)關(guān)系。
習(xí)題2―5圖
A
B
L
x
習(xí)題2—5 質(zhì)量m=2.0kg的均勻繩,長(zhǎng)L=1.0m,兩端分別連接重物A和B,mA=8.0kg,mB=5
5、.0kg,今在B端施以大小為F=180N的豎直拉力,使繩和物體向上運(yùn)動(dòng),求距離繩下端為x處繩中的張力T(x)。
解;重物A和B及繩向上運(yùn)動(dòng)的加速度為
在距離繩下端為x處將下半段隔離出來(lái),依牛頓第二定律有
代入已知數(shù)據(jù)即可得到
習(xí)題2―6圖 案
B
A
[注意:在本題的計(jì)算中我們?nèi)=10m/s2]
習(xí)題2—6 一名宇航員將去月球。他帶有彈簧秤和一個(gè)質(zhì)量為1.0kg的物體A。到達(dá)月球上某處時(shí),他拾起一塊石頭B,掛在彈簧秤上,其讀數(shù)與地面上掛A時(shí)相同。然后,他把A和B分別掛在跨過(guò)輕滑輪的輕繩的兩端,如圖所示。若月球表面的重力加速度為1.6
6、7m/s2,問(wèn)石塊B將如何運(yùn)動(dòng)?
解:設(shè)地球上和月球上的重力加速度分別為g和,物體A的質(zhì)量和月石B的質(zhì)量分別為m和,依題意我們有
因此有
由題給圖示可有
解得
代入已知數(shù)據(jù)可得
所以,月石B將以1.18m/s2的加速度下降。
習(xí)題2—7 直升飛機(jī)的螺旋槳由兩個(gè)對(duì)稱的葉片組成,每一葉片的質(zhì)量m=136kg,長(zhǎng)l=3.66m,求:當(dāng)它的轉(zhuǎn)速n=320r?min﹣1時(shí),兩個(gè)葉片根部的張力。(設(shè)葉片是寬度一定、厚度均勻的薄片)
解:依題意,可設(shè)葉片沿長(zhǎng)度方向單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為
dr
r
O
7、
題解2―7圖
在距葉片根部(O點(diǎn))r處取長(zhǎng)為dr的小段,其質(zhì)量為
該小段可視為質(zhì)點(diǎn),其作圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力(張力)由葉片根部通過(guò)下半段提供,即
整個(gè)葉片所需的向心力為
所以,葉片根部所受的張力大小與此力相等而方向相反。
習(xí)題2—8 質(zhì)量為45.0kg的物體,由地面以初速60.0m/s豎直向上發(fā)射,物體受到的空氣阻力為Fr=kv,且k=0.03N/(ms–1)。求:(1) 物體發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間;(2) 最大高度為多少?
解:(1) 取豎直向上為OX軸正方向,地面取為坐標(biāo)原點(diǎn)。依題意可得物體豎直方向上的牛頓方
8、程
①
分離變量并積分得
所以,物體發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間為
(2) 由①可得
分離變量并積分
[此題(2)中的積分需查積分表]
習(xí)題2—9 質(zhì)量為m的摩托車(chē),在恒定的牽引力F的作用下工作,它所受的阻力與其速率的平方成正比,它能達(dá)到的
9、最大速率是vm。試計(jì)算從靜止加速到vm/2所需的時(shí)間及所走過(guò)的路程。
解:(1) 因?yàn)槟ν熊?chē)達(dá)到最大速率時(shí)應(yīng)滿足其動(dòng)力和阻力相平衡,即
可以得到 ①
②
分離變量并積分
可以得到
把式①代入上式并整理得
(2) 由②可得
分離變量并積分
式中a=F/m,b=k/m。
經(jīng)整理最后可得
10、[在(1)的計(jì)算中需查積分公式表]
習(xí)題2—10 質(zhì)量為m的雨滴下落時(shí),因受空氣阻力,在落地前已是勻速運(yùn)動(dòng),其速率為5.0m/s。設(shè)空氣阻力大小與雨滴速率的平方成正比,問(wèn):當(dāng)雨滴速率為4.0m/s時(shí),其加速度多大?
分析:當(dāng)空氣阻力不能忽略時(shí),物體在空氣中下落經(jīng)歷一定的時(shí)間以后,將勻速下落,這個(gè)勻速下落的速度稱為“收尾速度”vT。顯然物體達(dá)到收尾速度后,其所受合外力為零。
解:由題設(shè),空氣阻力大小與雨滴速率的平方成正比,可知雨滴達(dá)收尾速度時(shí)應(yīng)有
由此解得
又因?yàn)樵谟甑蜗侣涞娜我粫r(shí)刻都有
所以
代入已知數(shù)據(jù)可得
11、
習(xí)題2─11 質(zhì)量為m的小球,在水中受的浮力為常力F,當(dāng)它從靜止開(kāi)始沉降時(shí),受到水的粘滯阻力為f =-kv(k為常數(shù))。證明小球在水中豎直沉降時(shí)的速度v與時(shí)間t的關(guān)系為
F
f
mg
小球
水
題解2―11圖
解:根據(jù)小球受力情況,依牛頓第二定律有
分離變量并積分
最后可
證畢。
H
l
O
習(xí)題2―12圖
習(xí)題2─12 頂角為的直圓錐體,底面固定在水平面上,如圖所示。質(zhì)量為m的小球系在繩的一端,繩的另一端系在圓錐的頂點(diǎn)。繩長(zhǎng)為l,且不能伸長(zhǎng),繩質(zhì)量不計(jì),圓錐
12、面是光滑的。今使小球在圓錐面上以角速度繞OH軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),求:(1) 圓錐面對(duì)小球的支持力N和細(xì)繩中的張力T;(2) 當(dāng)增大到某一值時(shí)小球?qū)㈦x開(kāi)錐面,這時(shí)及T又各是多少?
解:(1) 如圖所示,對(duì)小球列分量式牛頓方程
豎直方向: ?、?
法向: ?、?
O
題解2―12圖
①、②聯(lián)立得
(2) 離開(kāi)錐面 N=0,由①、②得
解得
,
習(xí)題2—13 在傾角為的圓錐體的側(cè)面放一質(zhì)量為m的物體,圓錐體以角速度繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),軸與物體間的距離
13、為R,如圖所示。為了使物體能在錐體該處保持靜止不動(dòng),物體與錐面間的靜摩擦系數(shù)至少為多少?并簡(jiǎn)單討論所得到的結(jié)果。
題解2―13圖
R
R
習(xí)題2―13圖
解:物體受到三個(gè)力的作用:錐面對(duì)物體的靜摩擦力f ,其方向沿錐面母線向上;錐面對(duì)物體的支持力N,方向垂直于錐面;物體自身的重力mg,方向豎直向下。依牛頓第二定律有
該矢量式方程可正交解為兩個(gè)標(biāo)量方程
沿法線方向: ?、?
沿豎直方向: ?、?
另外 ?、?
聯(lián)立①、②可解得
由③可得