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1、產(chǎn)品設計 2 主講人：曾富洪 攀枝花學院 2 第九章 產(chǎn)品設計中的計算機輔助工程（ CAE）技術 計算機輔助工程 (Computer Aided Engineering， CAE)主要以有限元分析技術為 基礎，綜合了迅速發(fā)展中的計算力學、計算 數(shù)學、相關的工程管理學與現(xiàn)代計算技術而 形成的一門綜合性、知識密集型的學科。其 相關的軟件稱為 CAE軟件。 CAE軟件能夠?qū)?特定產(chǎn)品進行性能分析、預測和優(yōu)化，也可 以對通用產(chǎn)品進行物理、力學性能分析、模 擬、預測、評價和優(yōu)化，以實現(xiàn)產(chǎn)品的技術 創(chuàng)新。 計算機輔助工程 CAE 3 9.1.1 有限元法的發(fā)展歷史 第一次正式使用“有限單元” (Finit
2、e Element)這一術語 并提出這種離散系統(tǒng)分析方法的是美國加州大學伯克利 分校的 R.W.Clough教授 (1960)。在有限單元技術的發(fā)展中 Zien-Kiewicz教授被譽為解決難題的能手，和他齊名的美 國 J.T.odne教授、 R.L.Taylor教授以及卡學磺教授等都是從 工程界出身的，這也正好說明有限元法是工程和數(shù)學相 結(jié)合的產(chǎn)物。 1963-1964年，經(jīng)過 J.F.Besseling， R.J.Melosh， R.E.Jones， R.H.Gallaher等多人的工作，認識 到有限元就是變分原理中 Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了 用各種不同變分原理導出的有限元計算公式
3、。從而使 Ritz 分析的所有理論基礎都適用于有限元法，確認了有限元 法是處理連續(xù)介質(zhì)問題的一種普遍方法。 發(fā)展歷史 4 9.1.1 有限元法的發(fā)展歷史 時間 應用范圍 理論基礎 研究對象 通用有限元法程序前后處理 1950年 Turner、 Clough等的論文 構筑了有關的有限 元法 1960年 宇宙和航空 由 Zienkiewicz開發(fā)各種單 元使用了“有限元 法”、虛功原理、 最小勢能原理 線性問題、靜力分析 1967年 宇宙、航空、 土木、造 船、機械 、水利 瑞利 里茲法 加權殘數(shù)法 非線性問題、動力分析 1971年 熱傳導、流體 力學、電 磁場 變分法 非線性接觸碰撞，斷裂 力學
4、耦合問題 ASK、 MSC、 Nastran、 MARC、 ANSYS、 SAP NISA II等 1980年 石油、核工程 形狀優(yōu)化、逆問題 平面和復雜空間問題 MSC.Patran、 MSC.Dytran、 MSC/XL、 ADINA、 PAM- CRASH、 COSMOS/M等 1990年 航空航天 各種新的解算方法和各種 高度非線性材料的 本構模型 沖擊、振動和疲勞問題 MSC.Fatigue、 ANSYS、 MSC.Nastran、 SAP5等 2000年 后 機電、隨機有 限元研究 拓撲優(yōu)化、計算機圖形學 固體、流體力學以及生 物力學制造、加 工仿真。 ANSYS、 ADINA、
5、ABAQUS、 MARC、 Nastran等 5 9.1.2 有限元法的基本概念 有限元分析（ FEA， Finite Element Analysis）是用較簡單的問題代替復雜問題后再 求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的 小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適 的 (較簡單的）近似解，然后推導求解這個域總 的滿足條件 (如結(jié)構的平衡條件），從而得到問 題的解。有限元是那些集合在一起能夠表示實 際連續(xù)域的離散單元。 有限元分析 6 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解問題的基本步驟 (1) 問題及求解域定義 ：根據(jù)實際問題近似確定 求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。 (2) 求解
6、域離散化 ：將求解域近似為具有不同有 限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的 離散域，習慣上稱為有限元網(wǎng)絡劃分。 7 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解問題的基本步驟 選擇位移模式 。 在有限元法中，選擇節(jié)點位移作為基本未知量時稱為 位移法 ； 選擇節(jié)點力作為基本未知量時稱為 力法 ；取一部分節(jié)點力和一部 分節(jié)點位移作為基本未知量時稱為 混合法 。位移法易于實現(xiàn)計算 自動化，所以在有限元法中位移法應用范圍最廣。 當采用位移法時，物體或結(jié)構物離散化之后，就可把單元中的 一些物理量如位移、應變和應力等由節(jié)點位移來表示。這時可以對 單元中位移的分析采用一些能逼近原函數(shù)的近似函數(shù)予以描
7、述。 n 1i iiay i 是與坐標有關的某種函數(shù) ai 是待定系數(shù) (3) 單元特性分析 （單元體的形狀，節(jié)點數(shù) 目和節(jié)點類型，節(jié)點參數(shù) 類型、形函數(shù)） 8 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解問題的基本步驟 分析單元的力學性質(zhì)。 根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含 義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移的關系式，這是單元分析中的 關鍵一步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建 立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣，這是有限 元法的 基本步驟之一。 計算等效節(jié)點力 。 物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞到另 一個單元。但是，對于實際的連續(xù)體，力
8、是從單元的公共邊界 傳遞到另一個單元中去的，因而，這種作用在單元邊界上的表 面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去 ，也就是用 等效的節(jié)點力來替代所有作用在單元上的力。 9 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解問題的基本步驟 (4) 單元組集 利用結(jié)構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的物體結(jié)構 重新聯(lián)接起來，組裝成整體的有限元方程。 2 2 1 1 )(, n e n e FePefKeK KUf K是整體 剛度矩陣 ， Ke為單元剛度矩陣； U是 節(jié)點位移列陣 ； f是 載荷列陣 ， Pe、 Fe分別表示作用在單元上的體力和面力所產(chǎn)生的等 效節(jié)點力。 (5) 求解未知
9、節(jié)點位移 10 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實例 1 2 i i+1 i+2 n n+1 L1 Li Li+1 Ln L 1 2 3 4 (a) 離散前 (b) n個有限段離散 (c) 3個有限段離散 11 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實例 (1) 離散化 。 如圖 9.1(b)所示，將直桿劃分成 n個有限段，有限段之間通過一個鉸 接點連接。兩段之間的鉸接點稱為結(jié)點，每個有限段稱為單元。其 中，第 i個單元的長度為 Li,包含第 i， i+1個結(jié)點 )(1 i i ii i xxL uuuxu 式中， ui為第 i結(jié)點的位移， xi為第 i結(jié)點的坐標。
10、12 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實例 (2) 用單元節(jié)點位移表示單元內(nèi)部力學關系 第 i個單元中的位移用所包含的結(jié)點位移來表示，如式所示： )(1 i i ii i xxL uuuxu i i1i i L uu dx du i i1i ii L )u(uEE i i1i ii L )u(uEAAN 13 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實例 (3) 把外載荷集中到節(jié)點上。 把第 i單元和第 i+1單元重量的一半集中到第 i+1結(jié)點上 2)LL(q 1ii (4) 建立結(jié)點的力平衡方程。 對于第 i+1結(jié)點，由力的平衡方程可得式： 2 )LL(qNN 1ii
11、 1ii 1iii LL 2 i i 2ii1iii L) 11( 2E A quu)1(u- 14 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實例 (5) 將直桿劃分成 3個等長的單元，用有限元法進 行求解。定義單元的長度 a=L/3. 對于節(jié)點 2， 1=1， EA qau2uu- 2 321 對于節(jié)點 3， 2=1 EA qau2uu- 2 432 對于節(jié)點 1， u1=0 15 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實例 對于結(jié)點 4可以有兩種處理方法。 直接用第 3個單元的內(nèi)力與結(jié)點 4上的載荷建立平衡方程 a )uu(EA 2 qaN 34 3 2 E Aqauu-
12、 2 43 2 E A qauu- 2 43 假定存在一個虛擬結(jié)點 5，與結(jié)點 4構成了虛擬單元 4； L4=0， u5=u4， 3=L3/L4 ，可得： 2E A qa EA qa EA qa u u u 1 1 0 1 2 1 0 1 2 2 2 2 4 3 2 U1=0代入 后整理 16 2 E A 5qau 2 2 EA 4qau 2 3 2 E A 9qau 2 4 解得： 9.1.2 有限元法的基本概念 17 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 結(jié)構靜力分析是用來分析由于 靜態(tài)外載荷引起的系統(tǒng)或部件的 位移、應力和應變 。靜力分析很適合于求解慣性及阻尼的
13、時間相 關作用對結(jié)構響應的影響并不顯著的問題。 其位移的矩陣形式 Tw,v,uu TXZYZXYZYX , 應變的矩陣形式 應力的矩陣形式 TXZYZXYZYX , 概念 0 0 0 vz zyzxz vy yzyxy vx xzxyx p zyx p zyx p zyx 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 (1) 基本方程 平衡方程 19 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 (1) 基本方程 平衡方程 0qL T T X Y 0 Z 0 0 0 Z X 0 Y 0 Z 0 Y 0 0 X L q為體積力矩陣 力平衡 w v u xz y
14、z xy z y x z u x w y w z v x v y u z w y v x u zx yz xy z y x 0 0 0 00 00 00 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 幾何方程 物體受力后變 形，其內(nèi)部的 應變和位移的 關系稱為幾何 方程。 uL zxzx yzyz xyxy yxzz xzyy zyxx G G G E E E 1 1 1 )( 1 )( 1 )( 1 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 物理方程 彈性力學中應力 應變之間 的關系稱為物理方程，或稱 為本構方程。 22 9.1.3 有限元法的基本理論
15、 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 物理方程 D )-2( 1 2-1 0 0 0 0 0 0 )-2( 1 2-1 0 0 0 0 0 0 )-2( 1 2-1 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0 -1 -1 1 )21)(1( )1(E D 23 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 邊界條件 彈性體 的全部邊界為 ，其中在一部分邊界上作用已知的 外力，如面力、集中力等，這部分邊界稱為力的邊界 ；另 一部分邊界上彈性體的位移為已知，這部分邊界稱為位移邊界 u np 力的邊界 位移邊界 uu n方向余弦矩陣 u 已知位移矩陣
16、 24 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 虛功原理 虛功原理在力學中是一個普遍的原理。虛功原理的定義為：設一彈 性體在虛位移發(fā)生之前處于平衡狀態(tài)，當彈性體產(chǎn)生約束許可的微 小虛位移并同時在彈性體內(nèi)產(chǎn)生虛應變時，體力與面力在虛位移上 所作的虛功等于整個彈性體內(nèi)各點的應力在虛應變上所作的虛功的 總和，即 外力虛功等于內(nèi)力虛功 A T V T V T dA)p(d X d Y d Z)p(d X d Y d Z)( 25 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 (2) 結(jié)構靜力學問題有限元法的求解過程 連續(xù)體的離散化 選擇合適的等參數(shù)單元對連續(xù)體
17、進行網(wǎng)格劃分。 單元分析 根據(jù)彈性力學或熱學或電磁學等的基本方程和變分原理建立單 元節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關系。 (a) 形函數(shù) 形函數(shù)代表一種單元上近似解的插值關系，它決定 近似解在單元上的形狀 形函數(shù)是一種數(shù)學函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點的自由度（ DOF）值到單元內(nèi)所有點處的 DOF值得計算方法，單 元的形函數(shù)是給定單元的一種假定特性 26 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 (2) 結(jié)構靜力學問題有限元法的求解過程 根據(jù)形函數(shù)，可以導出以節(jié)點位移為基本變量來表示的 單元內(nèi)任一點位移的關系式，其矩陣形式如 : eNu Tw,v,uu 為單元內(nèi)任一點的位移矩陣； e 為單
18、元的節(jié)點位移矩陣。 N為單元形函數(shù)矩陣，可根據(jù)單元類型及節(jié)點數(shù)來選擇確定； 27 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 (2) 結(jié)構靜力學問題有限元法的求解過程 (b) 單元特性分析 eB eS eK eeF eF 、 分別為單元內(nèi)任一點的應變矩陣、應力矩陣 ,節(jié)點力矩陣 B 為單元幾何矩陣，表示應變與節(jié)點位移的關系 S為單元應力矩陣，表示應力與節(jié)點位移的關系， Ke為單元剛度矩陣 e 為單元節(jié)點位移矩陣 28 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 、 (3)整體分析 根據(jù)節(jié)點力的平衡條件建立有限元方程，引入邊界條件，解線性 方程已計算單元應
19、力。具體說來可以分為下面三個步驟。 分析整理各單元剛度矩陣，通過節(jié)點的平衡方程形成節(jié)點載荷列陣 ，合成總剛度矩陣，建立以節(jié)點位移為未知量的，以總體剛度矩陣為系 數(shù)的線性代數(shù)方程組，此即為結(jié)構靜力學問題的有限元控制方程。 FK K為總剛度矩陣 F為總載荷向量 節(jié)點位移列陣 對線性代數(shù)方程組進行邊界處理，求解節(jié)點位移。 29 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構靜力學問題的有限元法 、 (3)整體分析 進一步求得單元應力。 30 9.1.3 有限元法的基本理論 、 2) 結(jié)構動力學問題的有限元法 結(jié)構動力學分析是用來確定慣性 (質(zhì)量效應 )和阻尼起重要作用時 結(jié)構或構件動力學特性的技術。其動
20、力學特性有振動特性 (結(jié)構振動 方式和振動頻率 )、隨機載荷的效應。 )( tFuKuCuM M為結(jié)構質(zhì)量矩陣 C為結(jié)構阻尼矩陣 K為結(jié)構剛度矩陣 F為隨時間變化的節(jié)點載荷向量 u 為節(jié)點位移矩陣 u 為節(jié)點速度矢量矩陣 u 為節(jié)點加速度矩陣 31 9.1.3 有限元法的基本理論 、 2) 結(jié)構動力學問題的有限元法 分析類型 模態(tài)分析。設定 F(t)為零，而矩陣 C通常被忽略。 諧響應分析。設定 F(t)和 u(t)都為諧函數(shù)。 瞬間動態(tài)分析。即為上述控制方程。 模態(tài)疊加法 可按自然頻率和模態(tài)將完全耦合的通用控制方 程轉(zhuǎn)化為一組獨立的非耦合方程。模態(tài)疊加法可以用來處 理瞬態(tài)動力學分析和諧響應分
21、析。 直接積分法 是通過顯示 積分或隱式積分法直接求解通用控制方程。 分析方法 32 9.1.3 有限元法的基本理論 、 3）熱分析問題的有限元法 熱分析用于計算一個系統(tǒng)或部件的溫度分布及其他熱物理參數(shù)，熱 分析的類型主要有：穩(wěn)態(tài)熱分析 系統(tǒng)的溫度場不隨時間變化；瞬態(tài) 傳熱 系統(tǒng)的溫度場隨時間明顯變化。 式中， Q為熱量； W為做功； U為系統(tǒng)內(nèi)能； KE為系統(tǒng)動能 ； PE為系統(tǒng)勢能。 對于大多數(shù)工程傳熱問題， KE=PE=0；通?？紤]沒有做功 ，即 W=0，則 Q=U。 對于穩(wěn)態(tài)熱分析，即 Q=U=0，即流入系統(tǒng)的熱量等于流出的 熱量 . PEKEUWQ 33 9.1.3 有限元法的基本理
22、論 、 3）熱分析問題的有限元法 (2) 熱傳遞的類型 熱傳導 熱傳導為完全接觸的兩個物體之間或一個物體的不同部分之間由 于溫度梯度而引起的內(nèi)能的交換。熱傳導遵循傅里葉定律 式中， q為熱流密度 (W/m2)； K為導熱系數(shù) (W/(m.0C) dX dTkq 34 9.1.3 有限元法的基本理論 3）熱分析問題的有限元法 熱對流 熱對流是指固體的表面與它周圍接觸的流體之間，由于溫差的存 在引起的熱量的交換。熱對流有兩類：自然對流和強制對流。熱 對流用牛頓冷卻方程來描述如下所示： 式中， h為對流換熱系數(shù)； TS為固體表面的溫度； TB為周圍流體的溫度 )( BS TThq 35 9.1.3
23、有限元法的基本理論 3）熱分析問題的有限元法 熱輻射 熱輻射指物體發(fā)射電磁能，并被其他物體吸收轉(zhuǎn)變?yōu)闊岬臒峤?換過程。物體溫度越高，單位時間輻射的熱量越多。熱輻射傳遞可 以用斯蒂芬 -波爾茲曼方程來計算。 )( 4241121 TTFAq 式中， q為熱流率； 為輻射率 (黑度 )， 為斯蒂芬 -波爾茲曼 常數(shù)， A1為輻射面 1的面積， F12為輻射面 1到輻射面 2的形狀系 數(shù)； T1輻射面 1的絕對溫度； T2輻射面 2的絕對溫度。 36 9.1.3 有限元法的基本理論 3）熱分析問題的有限元法 (3) 控制方程 穩(wěn)態(tài)傳熱 在穩(wěn)態(tài)熱分析中任一節(jié)點的溫度不隨時間變化。根據(jù)能量守恒原 理，穩(wěn)
24、態(tài)熱分析的控制方程為： QTK 式中， K為傳導矩陣，包含導熱系數(shù)、對流系數(shù)及輻射率和形狀系 數(shù)； T為節(jié)點溫度向量； Q為節(jié)點熱流率向量，包含熱生成。 37 9.1.3 有限元法的基本理論 3）熱分析問題的有限元法 (3) 控制方程 瞬態(tài)傳熱 在這個過程中系統(tǒng)的溫度、熱流率、熱邊界條件以及系統(tǒng)內(nèi)能隨時 間都有明顯變化。根據(jù)能量守恒原理，瞬態(tài)熱分析的控制方程為： TC QTK 式中， K為傳導矩陣，包含導熱系數(shù)、對流系數(shù)及輻射率和形狀 系數(shù)； C為比熱容矩陣，考慮系統(tǒng)內(nèi)能的增加； T為節(jié)點溫度向 量； Q為節(jié)點熱流率向量，包含熱生成。 38 9.1.3 有限元法的基本理論 3）熱分析問題的有限元法 (4)邊界條件、初始條件 熱分析的邊界條件或初始條件一般有：溫度、熱 流率、熱流密度、對流、輻射、絕熱、生熱。 在實際 CAE分析工作中，通常將 CAE的基本理 論融入 CAE軟件中實現(xiàn)。 39 小結(jié) 1 有限元法的發(fā)展歷史 3 有限元法的基本理論 4 結(jié)構靜力學問題的有限元法 2 有限元法的基本概念 5 結(jié)構動力學問題的有限元法 6 熱分析問題的有限元法
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