【命題探究】2014版高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講座考點(diǎn)50幾何證明選講(含解析)新人教A版

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1、 【命題探究】 2014 版高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講座：考點(diǎn) 50 幾何證明選講（解析 版） 加（ * ）號(hào)的知識(shí)點(diǎn)為了解內(nèi)容，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用 一. 考綱目標(biāo) 平行線截線段成比例定理和相似三角形的判定定理；圓的幾何性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系 . 二. 知識(shí)梳理 1．平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等． 論 1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中心與另一邊平行的直線必平分第三邊．推論 2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰． 2．平行線分線段成比例定理

2、三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 ( 或兩邊的延長(zhǎng)線 ) 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 3．相似三角形的判定 (1) 定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形． (2) 預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊( 或兩邊的延長(zhǎng)線 ) 相交，所構(gòu)成的三角形與原 三角形相似 (3) 判定定理 1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似． (4) 判定定理 2：兩邊對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似． (5) 判定定理 3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似． 4．直角三角形相似的判定

3、 定理 1：如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似． 定理 2：如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似． 定理 3：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成 比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似． 5．相似三角形的性質(zhì) (1) 相似三角形對(duì)應(yīng)高 的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比． (2) 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比． (3) 相似三角形面積的比等于相似比的平方 (4) 相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方 6．直角三角

4、形的射影定理 定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷? 射影與斜邊的比例中項(xiàng)． 1 7．圓周角定理 圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半． 8．圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)． 推論 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等． 推論 2：半圓 ( 或直徑 ) 所對(duì)的圓周角是直角； 90的圓周角所對(duì)的弦是直徑 9．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定 (1) 性質(zhì)定理 1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) (2)

5、性質(zhì)定理 2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角 (3) 判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 (4) 判定定理的推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 10．圓的切線的性質(zhì)與判定 (1) 性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑 (2) 推論 1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) (3) 推論 2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心 (4) 判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 11．弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角 12．與圓

6、有關(guān)的比例線段 (1) 相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如上圖，弦 AB與 CD相交于 P 點(diǎn)， 則 PAPB＝ PC PD ①文字?jǐn)⑹? 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等． ②圖形表示 如圖，⊙O 的割線 PAB與 PCD，則有： PAPB＝PCPD. (2) 切割線定理①文 字?jǐn)⑹? 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)． 2

7、 ②圖形表示 如上圖，⊙O 的切線 PA，切點(diǎn)為 A，割線 PBC，則有 PA2＝PBPC. (3) 切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的長(zhǎng)度相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角 三．精選例題 例 1. 如圖 1－ 8，⊙ O和⊙ O′相交于 A， B兩點(diǎn)，過(guò) A 作兩圓的切線分別交兩圓于 C， D 兩點(diǎn)，連結(jié) DB并延長(zhǎng)交⊙ O于點(diǎn) E. 證明： (1)ACBD＝ADAB； (2)AC ＝ AE. 圖 1－ 8

8、 證明： (1) 由 AC與⊙ O′相切于 A，得∠ CAB＝∠ ADB， 同理∠ ACB＝∠ DAB，所以△ ACB∽△ DAB.從而 AC AB ＝ ，即 ACBD＝ADAB. AD BD AE AD (2) 由 AD與⊙ O相切于 A，得∠ AED＝∠ BAD，又∠ ADE＝∠ BDA，得△ EAD∽△ ABD.從而 ＝ ， AB BD 即 AEBD＝ADAB.結(jié)合 (1) 的結(jié)論，得 AC＝ AE. 例 2. 如圖 1－ 7， AB是圓 O的直徑， D， E 為圓 O上位于 AB 異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié) BD并延長(zhǎng)至點(diǎn) C，使

9、 BD＝ DC，連結(jié) AC， AE， DE. 求證：∠ E＝∠ C. 圖 1－ 7 證明：如圖，連結(jié) OD，因?yàn)? BD＝ DC，O為 AB的中點(diǎn)， 3 所以 OD∥ AC，于是∠ ODB＝∠ C. 因?yàn)?OB＝ OD，所以∠ ODB＝∠ B. 于是∠ B＝∠ C. 因?yàn)辄c(diǎn) A，E， B， D都在圓 O上，且 D， E 為圓 O上位于 AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠ E 和∠ B 為同弧所對(duì)的圓周角， 故∠

10、 E＝∠ B. 所以∠ E＝∠ C. 例 3. 如圖 1－ 6 所示，點(diǎn) D 在⊙ O的弦 AB上移動(dòng)， AB＝ 4，連結(jié) OD，過(guò)點(diǎn) D 作 OD的垂線交⊙ O于點(diǎn)C，則 CD的最大值為 ________． 圖 1－ 6 [ 解析 ] 因?yàn)?CD＝ 2 2 OC－ OD，且 OC為⊙ O的半徑，是定值， 所以當(dāng) OD取最小值時(shí)， CD取最大值． 顯 1 然當(dāng) OD⊥ AB時(shí)， OD 取最小值，故此時(shí) CD＝ 2AB＝ 2，即為所求的最大值． 3 例 4. 正方形 ABCD的邊長(zhǎng)

11、為 1，點(diǎn) E在邊 AB 上，點(diǎn) F 在邊 BC上， AE＝BF＝ 7. 動(dòng)點(diǎn) P 從 E 出發(fā)沿直 線向 F 運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射 角，當(dāng)點(diǎn) P 第一次碰到 E 時(shí)， P 與正方形的邊碰撞的次數(shù)為 ( ) A． 16 B ．14 C ． 12 D ． 10 [ 解析 ] 取單位長(zhǎng)度為 7 的正方形， (1) 直接作出圖形可得到結(jié)果，如圖所示， (2) 建立坐標(biāo)系，取 正方形邊長(zhǎng)為 7 分單位，計(jì)算 7 次可得第 7 次時(shí)該點(diǎn)的橫坐標(biāo)與 E 點(diǎn)相同，根據(jù)對(duì)稱性應(yīng)選擇 14 次．

12、 例 5．如圖 1－ 3，∠ ACB＝90， CD⊥AB 于點(diǎn) D，以 BD為直徑的圓與 BC交于點(diǎn) E，則 ( ) A．CECB＝ADDB B ．CECB＝ADAB 4 2 2 C．ADAB＝ CD D．CEEB＝ CD [ 解析 ] 本題考查了平面幾何圓與三角形，特別是重點(diǎn)考查了射影定理等知識(shí)． 2 對(duì)于 A，CECB＝ CD＝ADDB； 2 2 對(duì)于 B，CECB＝ CD≠AC＝ADAB； 2 對(duì)于 C， CD＝ADDB≠ADAB； 2 2 對(duì)于 D， ED＝CEEB≠CD .

13、例 6. 如圖 1－ 3，過(guò)點(diǎn) P 的直線與⊙ O 相交于 A， B 兩點(diǎn)．若 PA＝ 1， AB＝ 2， PO＝ 3，則⊙ O 的半徑等于 ________． 圖 1－ 3 [ 解析 ] 設(shè)圓的半徑為 r ，由圓的割線定理可得， PAPB＝ (PO－r)(PO ＋r) ，把 PA＝ 1， PB＝ 1＋ 2 ＝3， PO＝3 代入求解得 3＝ 9－ r 2，∴ r ＝ 6. 例 7. 如圖 1－ 6， D， E 分別為△ ABC邊 AB， AC的中點(diǎn)，直線 DE交△ ABC的外接圓于 F， G兩點(diǎn)．若 CF∥ AB

14、，證明： (1)CD ＝ BC； (2) △ BCD∽△ GBD. 證明： (1) 因?yàn)?D， E 分別為 AB， AC的中點(diǎn)， 所以 DE∥ BC. 又已知 CF∥ AB，故四邊形 BCFD 是平行四邊形，所以 CF＝ BD＝ AD.而 CF∥ AD，連結(jié) AF，所以四邊形 ADCF是平行四邊形，故 CD＝ AF. 因?yàn)?CF∥ AB，所以 BC＝ AF，故 CD＝ BC. (2) 因?yàn)?FG∥ BC，故 GB＝ CF.由 (1) 可知 BD＝ CF，所以 GB＝ BD. 而∠ DGB＝∠ EF

15、C＝∠ DBC，故△ BCD∽△ GBD. 例 8. 如圖 1－ 5，在圓 O中，直徑 AB與弦 CD垂直， 垂足為 E，EF⊥ DB，垂足為 F，若 AB＝ 6，AE＝ 1， 則 DFDB＝ ________. 5 圖 1－ 5 [ 解析 ] 本題考查了射影定理的知識(shí)，解題的突破口是找出直角三角形內(nèi)的射影定理．連接 AD，在 2 2 Rt△ ABD中， DE⊥ AB，所以 DE＝AEEB＝ 5，在 Rt △ EBD中， EF⊥ DB，所以 DE＝DFDB＝ 5. 例 9. 如圖 1

16、－ 3 所示，已知 AB 和 AC 是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn) B 作圓的切線與 AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) D. 3 過(guò)點(diǎn) C 作 BD 的平行線與圓相交于點(diǎn) E，與 AB相交于點(diǎn) F， AF＝ 3， FB＝1， EF＝ 2，則線段 CD的長(zhǎng) 為_(kāi)_______． 圖 1－ 3 [ 解析 ] 本題考查選修 4－ 1 幾何證明選講中圓的性質(zhì)，考查推理論證及運(yùn)算求解能力，中檔題． |AF| |FB| 31 由相交弦的性質(zhì)可得 |AF| |FB| ＝|EF| |FC| ，∴ |FC| ＝ |EF| ＝ 3

17、 ＝ 2， 2 AC FC AF 3 8 又∵ FC∥ BD，∴ ＝ ＝ ＝ ，即 BD＝ ， AD BD AB 4 3 2 2 4 由切割定理得 |BD| ＝|DA| |DC| ＝ 4|DC| ，解之得 |DC| ＝ 3. AD 例 10. 如圖， D、 E 分別是△ ABC的邊 AB、AC上的點(diǎn)， DE∥ BC且 ＝ 2，那么△ ADE與四邊形 DBCE的 DB 面積比是 ( )

18、 2 2 4 4 A. 3 B. 5 C. 5 D. 9 [ 答案 ] C [ 解析 ] ∵DE∥ BC，∴△ ADE △ ABC，∴ S△ ADE AD 2 ， ＝ AB △ ABC S AD AD 2 △ A

19、DE 4 △ ABC 四邊形 DEBC 5 △ ABC S 4 ∵ ＝ 2，∴ ＝ ，∴ S ＝ S ，∴ S ＝ S ，∴ △ ADE ＝ ，故選 C. DB AB 3 9 9 S四邊形 DBCE 5 例 11. 如圖所示，在 ?ABCD中， BC＝ 24， E、 F 為 BD的三等分點(diǎn)，則 BM－ DN＝() 6

20、 A． 6 B． 3 C． 2 D． 4 [ 答案 ] A [ 解析 ] ∵E、 F 為 BD的三等分點(diǎn)，四邊形為平行四邊形， ∴M為 BC的中點(diǎn)，連 CF交 AD于 P，則 P 為 AD的中點(diǎn)，由△ BCF △ DPF及 M為 BC中點(diǎn)知， N 為 DP 的中點(diǎn)，∴ BM－ DN＝12－ 6＝6，故選 A. 7