《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題及答案
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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一部份習(xí)題第一章概率論基本概念一、填空題1、設(shè) A,B, C 為 3 事件,則這3 事件中恰有2 個事件發(fā)生可表示為。2、設(shè) P( A)0.1, P( AB) 0.3 ,且 A 與 B 互不相容,則 P( B)。3、口袋中有4 只白球, 2 只紅球,從中隨機(jī)抽取3 只,則取得2 只白球, 1 只紅球的概率為。4、某人射擊的命中率為0.7,現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù)射擊5 次,則恰有2 次命中的概率為。5、某市有50%的住戶訂晚報,有60%的住戶訂日報,有 80%的住戶訂這兩種報紙中的一種,則同時訂這兩種報紙的百分比為。6、設(shè) A,B 為兩事件, P( A)0.7, P( AB )0.3 ,
2、則 P( AB )。7、同時拋擲3 枚均勻硬幣,恰有1 個正面的概率為。8A,B為兩事件,P( A)0.5, P( A B)0.2,則 P( AB)。、設(shè)9、 10個球中只有 1 個為紅球,不放回地取球,每次1 個,則第 5 次才取得紅球的概率為。10、將一骰子獨(dú)立地拋擲2 次,以 X 和 Y 分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù),AX Y10BXY ,則 P(B | A)。11、設(shè) A, B 是兩事件,則A, B 的差事件為。12、設(shè) A, B, C 構(gòu)成一完備事件組, 且 P( A) 0.5, P( B ) 0.7, 則 P(C ),P( AB)。13、設(shè) A 與 B 為互不相容的兩事件,P( B)0,
3、 則 P( A | B)。14、設(shè) A 與 B 為相互獨(dú)立的兩事件,且P( A)0.7, P(B)0.4 ,則 P( AB)。15、設(shè) A, B 是兩事件, P( A)0.9, P( AB )0.36, 則 P( AB )。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 1 頁(共 57 頁)16、設(shè) A, B 是兩個相互獨(dú)立的事件,P( A)0.2, P(B) 0.4,則 P( A B)。17、設(shè) A, B 是兩事件, 如果 A B,且 P( A)0.7, P(B)0.2 ,則 P( A | B)。18、設(shè) P( A)1 , P(B)1 , P( AB)1 ,則 P( A B )。34219、假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等
4、品各占60%, 30%,10%。從中隨機(jī)取一件,結(jié)果不是三等品,則為一等品的概率為20、將 n 個球隨機(jī)地放入n 個盒子中,則至少有一個盒子空的概率為。二、選擇題1、設(shè) P( AB)0 ,則下列成立的是() A 和 B不相容A 和 B 獨(dú)立 P( A)0orP (B)0 P( AB) P( A)2A, B,C是三個兩兩不相容的事件,且P( A)P( B)P(C )a,則a 的最大值為、設(shè)()1/2 1 1/31/43、設(shè) A 和 B 為 2 個隨機(jī)事件,且有P(C | AB)1,則下列結(jié)論正確的是()P(C )P( A)P(B)1P(C ) P( A)P( B)1P(C ) P( AB)P(C
5、 ) P( A B)4、下列命題不成立的是() AB AB B ABAB (AB)( AB ) A BB A5、設(shè) A, B 為兩個相互獨(dú)立的事件,P( A) 0, P( B)0 ,則有() P( A) 1 P(B) P( A | B) 0 P( A | B ) 1 P( A) P( A | B) P(B)6、設(shè) A, B 為兩個對立的事件,P( A)0, P(B)0,則不成立的是() P( A) 1 P(B) P( A | B)0 P( A | B ) 0 P( AB )17、設(shè) A, B 為事件, P( A B)P( A)P( B)0 ,則有()概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 2 頁(共 57 頁)
6、A 和 B不相容 A 和 B 獨(dú)立A 和 B相互對立 P( AB) P( A)8、設(shè) A, B 為兩個相互獨(dú)立的事件,P( A)0, P( B)0,則 P( A B) 為() P( A) P(B) 1P( A) P(B ) 1P( A) P(B ) 1 P( AB)9、設(shè) A, B 為兩事件,且 P( A)0.3 ,則當(dāng)下面條件()成立時,有 P(B)0.7 A 與 B 獨(dú)立 A 與 B 互不相容 A 與 B 對立 A 不包含 B10、設(shè) A, B 為兩事件,則 ( AB)( AB ) 表示()必然事件不可能事件 A 與 B 恰有一個發(fā)生 A 與 B 不同時發(fā)生11、每次試驗(yàn)失敗的概率為p(0
7、p1),則在3 次重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為() 3(1 p) (1 p)3 1p3 C31 (1p) p212、 10 個球中有3 個紅球7 個綠球,隨機(jī)地分給10個小朋友,每人一球,則最后三個分到球的小朋友中恰有一個得到紅球的概率為() C 31 ( 3 ) ( 3 )( 7 )2 C 31 ( 3 )( 7 ) 2 C31C721010101010C10313、設(shè) P( A) 0.8, P( B)0.7, P( A | B)0.8 ,則下列結(jié)論成立的是()A與 B 獨(dú)立A與 B 互不相容B A P( A B) P( A) P( B)14、設(shè) A, B,C 為三事件,正確的是()P(
8、AB ) 1P( AB)P( AB )P( A) P( B)1P( ABC )1 P( AB C )P( AB)P( BA)15、擲 2 顆骰子,記點(diǎn)數(shù)之和為3 的概率為 p ,則 p 為()1/2 1/4 1/18 1/3616、已知 A, B 兩事件的概率都是1/2,則下列結(jié)論成立的是() P( A B) 1 P( AB ) 1 P( AB ) P( AB) P( AB)12概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 3 頁(共 57 頁)17、 A, B, C 為相互獨(dú)立事件,0P(C )1,則下列 4 對事件中不相互獨(dú)立的是() A B 與 C A B 與 C AB 與 C AC 與 C18、對于兩事件A,
9、B ,與 AB B 不等價的是() A B ABA B B A19、對于概率不為零且互不相容的兩事件A, B ,則下列結(jié)論正確的是() A 與 B 互不相容 A 與 B 相容P( AB )P( A)P(B)P( AB) P(A)三、計算題1、某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共有100 個,其中有 5 個次品。從中取30 個進(jìn)行檢查,求次品數(shù)不多于1 個的概率。2、某人有5 把形狀近似的鑰匙,其中有2 把可以打開房門,每次抽取1把試開房門,求第三次才打開房門的概率。3、某種燈泡使用1000 小時以上的概率為0.2,求 3 個燈泡在使用1000 小時以后至多有 1個壞的概率。4、甲、乙、丙 3 臺機(jī)床加工同一
10、種零件,零件由各機(jī)床加工的百分比分別為45%, 35%,20%。各機(jī)床加工的優(yōu)質(zhì)品率依次為85% , 90%, 88%,將加工的零件混在一起,從中隨機(jī)抽取一件,求取得優(yōu)質(zhì)品的概率。若從中取1 個進(jìn)行檢查,發(fā)現(xiàn)是優(yōu)質(zhì)品,問是由哪臺機(jī)床加工的可能性最大。6 、 某 人 買 了 A, B, C 三 種 不 同 的 獎 券 各 一 張 , 已 知 各 種 獎 券 中 獎 的 概 率 分 別 為0. 03,0.01,0.02 ;并且各種獎券中獎是相互獨(dú)立的。如果只要有一種獎券中獎則此人一定賺錢,求此人賺錢的概率。7、教師在出考題時,平時練習(xí)過的題目占60% ,學(xué)生答卷時,平時練習(xí)過的題目在考試時答對的概
11、率為 95%,平時沒有練習(xí)過的題目在考試時答對的概率為30%。求答對而平時沒有練習(xí)過的概率8、有兩張電影票,3 人依次抽簽得票。求每個人抽到電影票的概率。9、有兩張電影票,3 人依次抽簽得票,如果第1 個人抽的結(jié)果尚未公開,由第2 個人抽的結(jié)果去猜測第 1 個人抽的結(jié)果。問:如果第2 個人抽到電影票,問第1 個人抽到電影票的概率。10、一批產(chǎn)品的次品率為0.1,現(xiàn)任取 3 個產(chǎn)品,問 3 個產(chǎn)品中有幾個次品的概率的可能性最大。11、有 5 個除顏色外完全相同的球,其中三個白色,兩個紅色。從中任取兩個,( 1)求這兩個球顏色相同的概率; ( 2)兩球中至少有一紅球的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 4
12、頁(共 57 頁)12、設(shè) A, B 是兩個事件,用文字表示下列事件:AB , AB, AB, AB 。13、從 1100 這 100 個自然數(shù)中任取 1 個,求( 1)取到奇數(shù)的概率; ( 2)取到的數(shù)能被 3 整除的概率;( 3)取到的數(shù)能被 6 整除的偶數(shù)。14、對次品率為 5%的某箱燈泡進(jìn)行檢查,檢查時,從中任取一個,如果是次品,就認(rèn)為這箱燈泡不合格而拒絕接受,如果是合格品就再取一個進(jìn)行檢查,檢查過的產(chǎn)品不放回,如此進(jìn)行五次。如果 5 個燈泡都是合格品,則認(rèn)為這箱燈泡合格而接受,已知每箱燈泡有100 個,求這箱燈泡被接受的概率。15、某人有5 把形狀近似的鑰匙,其中只有1 把能打開他辦
13、公室的門,如果他一把一把地用鑰匙試著開門,試過的鑰匙放在一邊,求(1)他試了3 次才能打開他辦公室的門的概率;( 2)他試了5 次才能打開他辦公室的門的概率16、 10 個塑料球中有3 個黑色, 7 個白色,今從中任取2 個,求已知其中一個是黑色的條件下,另一個也是黑色的概率。17、裝有 10 個白球, 5 個黑球的罐中丟失一球,但不知是什么顏色。為了猜測丟失的球是什么顏色,隨機(jī)地從罐中摸出兩個球,結(jié)果都是白色球,問丟失的球是黑色球的概率。18、設(shè)有三只外形完全相同的盒子,號盒中裝有14 個黑球, 6 個白球;號盒中裝有5 個黑球 ,25 個白球;號盒中裝有 8 個黑球, 42 個白球。現(xiàn)從三
14、個盒子中任取一盒,再從中任取一球,求( 1)取到的球?yàn)楹谏虻母怕剩唬?2)如果取到的球?yàn)楹谏?,求它是取自號盒的概率?9、三種型號的圓珠筆桿放在一起,其中型的有4 支,型的有5 支,型的有6 支;這三種型號的圓珠筆帽也放在一起,其中型的有5 個,型的有7 個,型的有8 個?,F(xiàn)在任意取一個筆桿和一個筆帽,求恰好能配套的概率。20、有兩張電影票, 3 人依次抽簽得票,如果第1 個人抽的結(jié)果尚未公開,由第2 個人抽的結(jié)果去猜測第1 個人抽的結(jié)果。問:如果第2 個人抽到電影票,問第1 個人抽到電影票的概率。21、甲、乙、丙、丁 4 人獨(dú)立地破譯一個密碼,他們能譯出的概率分別為0.2 , 0.3 ,
15、 0.4 , 0.7,求此密碼能譯出的概率是多少。22、袋中 10 個白球, 5 個黃球, 10 個紅球,從中取 1 個,已知不是白球,求是黃球的概率。23、設(shè)每次試驗(yàn)事件 A發(fā)生的概率相同, 已知 3 次試驗(yàn)中 A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27,求事件 A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率。24、甲、乙、丙3 臺機(jī)床獨(dú)立工作,由 1 個人看管,某段時間甲、乙、丙3 臺機(jī)床不需看管的概率分別為0.9, 0.8, 0.85,求在這段時間內(nèi)機(jī)床因無人看管而停工的概率。25、一批產(chǎn)品共有100 件,對其進(jìn)行檢查,整批產(chǎn)品不合格的條件是:在被檢查的4 件產(chǎn)品中至少有 1 件廢品。如果在該批產(chǎn)品中有5%是廢品,問該
16、批產(chǎn)品被拒收的概率是多少。26、將 3 個球隨機(jī)地放入 4 個杯子中,求杯子中球的個數(shù)的最大值為2 的概率。27、甲、乙 2 班共有 70 名同學(xué), 其中女同學(xué)40 名,設(shè)甲班有 30 名同學(xué), 而女同學(xué)15 名,求碰到甲班同學(xué)時,正好碰到女同學(xué)的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 5 頁(共 57 頁)28、一幢10 層的樓房中的一架電梯,在底層登上7 位乘客。電梯在每一層都停,乘客在第二層起離開電梯。假設(shè)每位乘客在哪一層離開是等可能的,求沒有2 位及 2 位以上乘客在同一層離開的概率。29、某種動物由出生到20 歲的概率為0.8,活到 25 歲的概率為0.4,問現(xiàn)在20 歲的動物活到 25 歲的概率
17、為多少?30、每門高射炮(每射一發(fā))擊中目標(biāo)的概率為0.6,現(xiàn)有若干門高射炮同時發(fā)射(每炮射一發(fā)),欲以 99% 以上的概率擊中目標(biāo),問至少需要配置幾門高射炮?31、電路由電池A 與 2 個并聯(lián)的電池B 和 C 串聯(lián)而成,設(shè)電池A, B,C 損壞的概率分別為0.2 ,0.3, 0.3,求電路發(fā)生間斷的概率。32、袋中 10 個白球, 5 個黃球, 從中不放回地取3 次,試求取出的球?yàn)橥伾那虻母怕省?3、假設(shè)目標(biāo)在射程之內(nèi)的概率為0.7,這時射擊的命中率為0.6,試求兩次獨(dú)立射擊至少有一次擊中的概率。34、假設(shè)某地區(qū)位于甲乙二河流的匯合處,當(dāng)任一河流泛濫時,該地區(qū)即遭受水災(zāi)。設(shè)某段時期內(nèi)甲河
18、流泛濫的概率為 0.1,乙河流泛濫的概率為 0.2,當(dāng)甲河流泛濫時乙河流泛濫的概率為 0.3,求( 1)該時期內(nèi)這地區(qū)遭受水災(zāi)的概率;( 2)當(dāng)乙河流泛濫時甲河流泛濫的概率。35、甲、乙、丙3 人同向飛機(jī)射擊。擊中飛機(jī)的概率分別為0.4, 0.5,0.7。如果有1 人擊中,則飛機(jī)被擊落的概率為0.2,如果有 2 人擊中,則飛機(jī)被擊落的概率為0.6,如果有3 人擊中,則飛機(jī)一定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。36、一射手命中 10 環(huán)的概率為0.7,命中 9 環(huán)的概率為0.3,求該射手 3發(fā)子彈得到不小于 29 環(huán)的概率。38、甲、乙 2 名乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行單打比賽,如果每賽局甲勝的概率為0.6,乙
19、勝的概率0.4,比賽既可采用三局兩勝制,也可采用五局三勝制,問采用哪種比賽制度對甲更有利。39、有 2500 人參加人壽保險, 每年初每人向保險公司交付保險費(fèi)12 元。若在一年內(nèi)死亡,則其家屬可以從保險公司領(lǐng)取2000 元。假設(shè)每人在一年內(nèi)死亡的概率都是0.002,求保險公司獲利不少于 10000 元的概率。40、在 12 名學(xué)生中有 8 名優(yōu)等生,從中任取 9 名,求有5 名優(yōu)等生的概率。41、特色醫(yī)院接待患者的比例為K 型 50%,L 型 30%,M 型 20%,對應(yīng)治愈率為0.7,0.8,0.9,一患者已治愈,問他屬于L 型的概率?42、某人從甲地到乙地,乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0
20、.2,0.4, 0.4,乘火車遲到的概率為 0.5、乘輪船遲到的概率為0.2、乘飛機(jī)不會遲到。問這個人遲到的概率;又如果他遲到,問他乘輪船的概率是多少?43、一對骰子拋擲 25 次,問出現(xiàn)雙6 和不出現(xiàn)雙 6 的概率哪個大?44、一副撲克( 52 張),從中任取13 張,求至少有一張“A”的概率?45、據(jù)以往資料表明,某三口之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律。孩子得病的概率為0.6 ,孩子得病下母親得病的概率為0.5 ,母親及孩子得病下父親得病的概率為0.4 ,求母親及孩子得病但父親未得病的概率。46、某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字,因而他隨機(jī)地?fù)芴?。求他撥號不超過3 次的概率;若已知最后一
21、位數(shù)字為奇數(shù),此概率是多少?概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 6 頁(共 57 頁)47、某場戰(zhàn)斗準(zhǔn)備調(diào)甲、乙兩部隊(duì)參加,每支部隊(duì)能按時趕到的概率為,若只有一支部隊(duì)參加戰(zhàn)斗,則取勝的概率為0.4 ;若兩部隊(duì)參加戰(zhàn)斗,則必勝;若兩部隊(duì)未能按時趕到則必敗。欲達(dá)0.9 以上的概率取勝,求的最低值。48、工人看管三臺設(shè)備,在1 小時內(nèi)每臺設(shè)備不需要看管的概率均為0.8 ,求( 1)三臺設(shè)備均不需要看管的概率;( 2)至少有一臺設(shè)備需要看管的概率;( 3)三臺設(shè)備均需要看管的概率。四、證明題1、 假設(shè)我們擲兩次骰子,并定義事件A“第一次擲得偶數(shù)點(diǎn)” , B “第二次擲得奇數(shù)點(diǎn)”, C“兩次都擲奇數(shù)點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)”,證明
22、A,B, C 兩兩獨(dú)立,但A,B, C 不相互獨(dú)立。、 設(shè)每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率p, (0p1),An“ n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次2A ”證明 Lim P( An )1n3、設(shè) X b(n, p) ,證明 EXnp, DXnp (1p)4、證明,如果 P( A | B)P( A) ,則 P( B | A)P( B)5、當(dāng) P( A)a, P(B)b 時,證明: P( A | B)a b1b6、證明: P( A)0 ,則 P( B | A)P(B )1P( A)7、設(shè) A, B,C 三事件相互獨(dú)立,則AB, AB 與 C 相互獨(dú)立。8、設(shè) AiA , i1,2,3 ,則 P(A)P( A1
23、 )P( A2 ) P( A3 ) 29、已知 A1 , A2 同時發(fā)生,則A 發(fā)生,證明 P( A)P( A1 )P( A2 ) 110、 10 個考簽中有4 個難簽, 3 人依次抽簽參加考試,證明3 人抽到難簽的概率相等。11、設(shè) A,B 為兩事件,證明P( BA)P(B)P( AB)12、證明如果 A 與 B 獨(dú)立,則 A 與 B 獨(dú)立、 A 與 B 獨(dú)立、 A 與 B 獨(dú)立13、如果 P( A)0 ,證明 A與 B 獨(dú)立的充分必要條件是P( B | A) P(B)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 7 頁(共 57 頁)第二章隨機(jī)變量及其分布一、填空題k1、設(shè)隨機(jī)變量X 的分布律為 P( Xk )a(
24、k0,1,2 ),0 ,則 a。k!2、設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為 1/3 的 0 1 分布,則 X 的分布函數(shù)為 =。3、設(shè)隨機(jī)變量X N (1,4), P( Xa)1,則 a。24X的分布律為P( Xk )(k1,2N ),0,則a。、設(shè)隨機(jī)變量aN5、設(shè)隨機(jī)變量X 服從 (0,1)區(qū)間上的均勻分布,則隨機(jī)變量YX 2 的密度函數(shù)為。( x 1) 26、隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為f ( x)ke8(x) ,則 k。7、隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為X N (1,4), 則 Y2X1 。8、若 P( Xx2 ) 1, P( Xx1 ), x1x2 ,則 P( x1X x2 )。9、設(shè)離散型隨機(jī)變量
25、X 的分布函數(shù)為0x1F ( x)a1x22a1x23bx2a且 P( X 2)1, b。,則 a210、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為 f (x)ke0x2x0x則0k, P(1X2), P( X2)。11、設(shè) 5 個晶體管中有2 個次品, 3 個正品,如果每次從中任取1 個進(jìn)行測試,測試后的產(chǎn)品不放回,直到把 2 個次品都找到為止, 設(shè) X 為需要進(jìn)行測試的次數(shù),則 P( X3)。12、設(shè) F ( x) 為離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,若P( aXb)F (b)F (a) ,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 8 頁(共 57 頁)則 P( Xb)。13、一顆均勻骰子重復(fù)擲 10 次,設(shè) X 表示點(diǎn) 3
26、出現(xiàn)的次數(shù),則 X 的分布律 P( Xk)。14、設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量,且P( X0.29) 0.75 ,Y 1X ,且 P(Yk)0.25 ,則 k。15、設(shè)隨機(jī)變量X 服從 POISSON 分布,且 P( X1)P( X2) ,則 P( X1)。1e ( x24 x 4)2c16、連續(xù)型隨機(jī)變量X 為 f (x),f ( x) dxf ( x)dx ,則 c。6c17、設(shè) F1 ( x), F2 (x) 為分布函數(shù), a10, a20 , a1 F1 (x) a2 F2 (x) 為分布函數(shù),則a1 a2。0x018、若連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F ( x)Ax20x 6 ,則 A。1x6
27、19、設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度 f ( x)1e |x| ,則 X 的分布函數(shù)為。220、若隨機(jī)變量X N (1,0.52 ) ,則 2 X 的密度函數(shù) f (x)。二、選擇題1、若函數(shù) f (x) 是一隨機(jī)變量X 的密度函數(shù),則() f ( x) 的定義域?yàn)?0,1f ( x) 值域?yàn)?0,1f ( x) 非負(fù) f (x) 在 R1 連續(xù)2、如果 F (x) 是(),則 F ( x) 一定不可以為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。非負(fù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)有界函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)3、下面的數(shù)列中,能成為一隨機(jī)變量的分布律的是() e 1(k0,1,2,) e 1(k1,2,) 1k(k0,1,2,) 1k (k1,
28、2, )k!k!224、下面的函數(shù)中,能成為一連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的是()概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 9 頁(共 57 頁) f ( x)sin xx3h( x)sin xx3220其他0其他 g( x)cosxx3u( x)1cos xx3220其他0其他5、設(shè)隨機(jī)變量 X N (0,1) ,(x) 為其分布函數(shù),P( Xx),則 x()。1 (1)1 (1)1 ( )1 ( )226、設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布律為 P(Xk) bk ( k1,2,) ,則()。0的實(shí)數(shù)b11111bb7、設(shè)隨機(jī)變量 X N (,2 ) ,則增大時, P(|X|) 是()單調(diào)增大單調(diào)減少保持不變增減不定8、設(shè)隨
29、機(jī)變量X 的分布密度f ( x) ,分布函數(shù) F ( x) , f ( x) 為關(guān)于 y 軸對稱,則有() F ( a) 1 F ( a) F ( a)1(a) F ( a) F ( a) F ( a) 2F (a) 1F29、設(shè) F1 (x), F2 ( x) 為分布函數(shù),a1 F1 (x) a2 F2 (x) 為分布函數(shù),則下列成立的是() a13 , a22 a12 , a23 a11 , a23 a11 , a235555222210、要使 f ( x)1 cos x xG)2x是密度函數(shù),則 G 為(0G,0,2222211、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為f(x)1, 則 Y2X 的密度函數(shù)
30、為()(1x2 )1211(1 4x 2 )1(1 x2 )(4 x 2 )2)(1x412、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為F (x) ,密度 f ( x) ,則()概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 10 頁(共 57 頁) P( Xx) 0 F (x) P( Xx) F ( x) P( Xx) f ( x) P(Xx)x0x113、設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為f ( x)2x 1x2 ,則 P( X 1.5)()0其他1.51.5 0.75 0.875(2x) dx( 2 x)dx0114、設(shè)隨機(jī)變量 X N (1,1) ,分布函數(shù)為F (x) ,密度 f ( x) ,則有() P( X0) P( X0
31、) f ( x)f ( x) P( X1) P( X1)F ( x)F ( x)三、計算題1、 10 個燈泡中有 2 個是壞的,從中任取 3 個,用隨機(jī)變量描述這一試驗(yàn)結(jié)果,并寫出這個隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)及所取的三個燈泡中至少有兩個好燈泡的概率。2、罐中有 5 個紅球, 3 個白球,有放回地每次任取一球,直到取得紅球?yàn)橹?。用X 表示抽取的次數(shù),求X 的分布律,并計算P 1 X3 。3、設(shè)隨機(jī)變量X 的分布律為 P( XA(k 1,2, ) ,試求 A 的值。k )k(k1)4、已知離散型隨機(jī)變量X 的分布律為(1) 求 P( 1X1) ;( 2)求 YX 2 的分布律;X( 3)求 X
32、的分布函數(shù)。 2 10121/51/61/51/1511/305、已知離散型隨機(jī)變量X 的分布律為 P( Xk ) C 4k p k (1 p)4 k ,且 P( X 1)59求 p 。6、對某一目標(biāo)射擊,直到擊中時為止。如果每次射擊的命中率為p ,求射擊次數(shù)X 的分布律。7、已知離散型隨機(jī)變量X 的分布律為 P( X k )1,其中 k1,2, ,2k概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 11 頁(共 57 頁)求 Y SinX的分布律。28、 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為: F ( x)A B arctan x求: (1) 常數(shù) A, B (2)X 的概率密度。X 的密度函數(shù)為A| x |19、已知隨機(jī)
33、變量f ( x)1x2| x |10求( 1)系數(shù) A ;( 2) X 落入1 ,1 的概率;2 2( 3) X 的分布函數(shù)。10、某車間有 20 部同型號機(jī)床,每部機(jī)床開動的概率為0.8,若假定各機(jī)床是否開動是獨(dú)立的,每部機(jī)床開動時所消耗的電能為15 個單位,求這個車間消耗的電能不少于270 個單位的概率。11、 設(shè)隨機(jī)變量 X U (0,2) ,求 YX 2 的分布。1(x 2)212、設(shè)測量誤差 X 的密度函數(shù)為f ( x)40e3200 ,求2( 1)測量誤差的絕對值不超過30 的概率;( 2)測量 3 次,每次測量獨(dú)立,求至少有1 次測量誤差的絕對值不超過30的概率。13、在下列兩種
34、情形下,求方程t 2Xt10 有實(shí)根的概率。( 1) X 等可能取 1, 2, 3,4, 5,6;( 2) X U (1,6)14、設(shè)球的直徑(單位:mm) X U (10,11) ,求球的體積的概率密度。15、已知離散型隨機(jī)變量X 只取 -1, 0,1,2 ,相應(yīng)的概率為1, 3 ,5 , 7 ,2a4a8a 16a求 a 的值并計算 P(| X |1 | X 0)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 12 頁(共 57 頁)X 的密度函數(shù) f ( x)100x10016、設(shè)某種電子管的壽命x2x1000( 1)若 1 個電子管在使用150 小時后仍完好,那么該電子管使用時間少于200 小時的概率是多少?(
35、2)若 1 個電子系統(tǒng)中裝有3 個獨(dú)立工件的這種電子管,在使用150 小時后恰有 1 個損壞的概率是多少。17、設(shè)鉆頭的壽命 ( 即鉆頭直到磨損為止所鉆的地層厚度,以米為單位) 服從指數(shù)分布,鉆頭平均壽命為 1000米,現(xiàn)要打一口深度為2000 米的井,求(1) 只需一根鉆頭的概率;(2) 恰好用兩根鉆頭的概率。18、某公共汽車站從上午7 時起第 15 分鐘發(fā)一班車,如果乘客到達(dá)此汽車站的時間X 是7 時至 7 時 30 分的均勻分布,試求乘客在車站等候( 1)不超過 15 分鐘的概率;(2)超過 10 分鐘的概率。19、自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為0.1,生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時重新進(jìn)行
36、調(diào)整,問在兩次調(diào)整之間能以0.6 的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少?20、設(shè)在一段時間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)服從POSSION 分布,每個顧客購買某種物品的概率為 p ,并且各個顧客是否購買該物品是相互獨(dú)立的,求進(jìn)入商店的顧客購買該種物品人數(shù)的分布律。21、設(shè)每頁書上的印刷錯誤個數(shù)服從泊松分布,現(xiàn)從一本有500 個印刷錯誤的 500 頁的書上隨機(jī)地取 5 頁,求這5 頁各頁上的錯誤都不超過2 個的概率。22、已知每天到某煉油廠的油船數(shù)X 服從參數(shù)為2 的泊松分布, 而港口的設(shè)備一天只能為三只油船服務(wù),如果一天中到達(dá)的油船超過三只,超出的油船必須轉(zhuǎn)到另一港口。求:( 1)這一天必須有油船轉(zhuǎn)走
37、的概率;( 2)設(shè)備增加到多少,才能使每天到達(dá)港口的油船有90%可以得到服務(wù)。( 3)每天到達(dá)港口油船的最可能只數(shù)。23、某實(shí)驗(yàn)室有12 臺電腦,各臺電腦開機(jī)與關(guān)機(jī)是相互獨(dú)立的,如果每臺電腦開機(jī)占總工作時間的 3/4,試求在工作時間任一時刻關(guān)機(jī)的電腦臺數(shù)超過兩臺的概率以及最有可能有幾臺電腦同時開機(jī)。24、設(shè)有各耗電7.5KW 的車床 10 臺,每臺車床使用情況是相互獨(dú)立的,且每臺車床每小時平均開車12 分鐘,為這10 臺車床配電設(shè)備的容量是55KW ,試求該配電設(shè)備超載的概率。25、一臺電子設(shè)備內(nèi)裝有5 個某種類型的電子管,已知這種電子管的壽命(單位:小時)服從指數(shù)分布,且平均壽命為1000
38、小時。如果有一個電子管損壞,設(shè)備仍能正常工作的概率為 95%,兩個電子管損壞,設(shè)備仍能正常工作的概率為70%,若兩個以上電子管損壞,則設(shè)備不能正常工作。 求這臺電子設(shè)備在正常工作 1000 小時后仍能正常工作的概率 ( 各電子管工作相互獨(dú)立 ) 。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 13 頁(共 57 頁)26、某地區(qū) 18 歲的女青年的血壓(收縮壓,以mm Hg計)服從 N (110,122 ) 。在該地區(qū)任選一 18 歲的女青年, 測量她的血壓X 。( 1)求 P X105 ,P 100X120 ;( 2)確定最小的 x,使 P Xx0.05 。( 5)0.7976,(1.645)0.95627、將一溫度
39、調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)。調(diào)節(jié)器整定在d ,液體的溫度 X 是一個隨機(jī)變量,且 X N (d ,0.52 )(1)若 d=90, 求X 小于 89的概率。( 2)若要求保持液體的溫度至少為 80的概率不低于 0.99,問 d至少為多少?(2.327)0.99,( 2)0.9772ax128、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)F (x)bx ln xcxd1xedxe( 1)確定 a,b, c, d 的值;( 2) P(| X |e)229、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為 F (x)ABexx00)0x(0求 (1) 常數(shù) A, B 的值; (2)P( 1X1)30、有一個半徑為 2 米的圓盤形靶
40、子,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)均能中靶,如以X 表示擊中點(diǎn)與靶心的距離,求X 的分布函數(shù)和密度函數(shù)。31、設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù) f x ( x)1 | x |1x1,求 YX 21的密度函數(shù)。0其他32、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X42340.20.10.7求隨機(jī)變量 YSinX 的分布函數(shù)。33、已知 10 個元件中有 7 個合格品和 3 個次品,每次隨機(jī)地抽取 1 個測試,測試后不放回,直至將 3 個次品找到為止,求需測試次數(shù) X 的分布律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第 14 頁(共 57 頁)0x111x03234、已知 X 的分布函數(shù)為 FX ( x)10x1,求 Y
41、Sin X 的分布函數(shù)。2621x23 x 2135、設(shè)某產(chǎn)品的壽命T 服從 N (160, 2 ) 的正態(tài)分布,若要求壽命低于120 小時的概率不超過 0.1,試問應(yīng)控制在什么范圍內(nèi),并問壽命超過210 小時的概率在什么范圍內(nèi)?36、某廠決定在工人中增發(fā)高產(chǎn)獎,并決定對每月生產(chǎn)額最高的5%的工人發(fā)放高產(chǎn)獎,已知每人每月生產(chǎn)額X N (4000,60 2 ) ,試問高產(chǎn)獎發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)把月生產(chǎn)額定為多少?37、在長為 1 的線段隨機(jī)地選取一點(diǎn),短的一段與長的一段之比小于1/4 的概率是多少?38、設(shè)39、設(shè)XX的分布密度為f的分布密度為fXX( x)2 xx(0,)SinX 的密度函數(shù)。2求 Y0x(0,)( x)1 e |x|2求( 1) YX 2(2) Y| X | ( 3) Yln | X |的概率密度。四、證明題1、設(shè) F (x) 為隨機(jī)變量X 的分布函數(shù),證明:當(dāng)x1x2 時,有 F ( x1 )F ( x2 )2
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