《大學(xué)數(shù)學(xué)》習(xí)題

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1、《大學(xué)數(shù)學(xué)》習(xí)題 大學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題 第一章 微積分的基礎(chǔ)和研究對象 1 微積分的基礎(chǔ)——集合、實(shí)數(shù)和極限 一．論述第二次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的背景和解決方法。 二．?dāng)⑹鰳O限，實(shí)數(shù)和集合在微積分中的作用。 二．?dāng)⑹鰧?shí)數(shù)系的演變和性質(zhì)，寫出鄰域的概念。 2 微積分的研究對象——函數(shù) 一．填空題 1 ．函數(shù)2 21 y x x = --的定義域 . 2．設(shè)函數(shù)f (x) =?? ? ??>≤1 ||01||2 1x x 則函數(shù)f[f(x)]= . 3．函數(shù)y = x x +-11的反函數(shù)為 . 4．設(shè))(x f 是奇函數(shù),且?(x)=)(x f .(2 11 21-

2、 +x ) , 則?(x) 是___________函數(shù). 5．函數(shù)f (x) = sinxsin3x 的周期T= . 二．求下列函數(shù)定義域 1．y = 423+x + 2 1arcsi n 3-x . 2．y = x x -2 + )3l n(x +. 三．設(shè) ?? ?≤1210)1(2 x x x x x ? , 求)(x ?. 四．設(shè)函數(shù) f (x) = ???≤11022 x x x x , g (x) = ln x ， 求f [ g(x) ] , g [ f(x) ]. 五．已知f (sin 2 x ) = cos x + 1 , 求f (c

3、os 2 x ). 六．證明題：設(shè)f(x)為定義在(-L,L)內(nèi)的奇函數(shù)，若f(x)在(0,L)內(nèi)單調(diào)增加，證明f(x) 在(-L,0)內(nèi)也單調(diào)增加. 第二章 微積分的直接基礎(chǔ)——極限 1 數(shù)列的極限 一、判斷題 1．?dāng)?shù)列}{n a 中去掉或增加有限項(xiàng)，不影響數(shù)列的極限；（ ） 2．?dāng)?shù)列}{n n b a +極限存在，則}{n a 與}{n b 極限均存在；（ ） 3．若0>?ε，存在無限多個(gè)}{n a 滿足}||ε→lim .（ ） 二．填空題 1．?dāng)?shù)列}{n a 有界是數(shù)列收斂的 條件； 2．=+∞ →n n 3 2 lim ； 3．=+∞ →n n n

4、cos lim ； 4．=-++∞ →3 523lim n n n . 三．用極限定義證明 1．15lim 2 =++∞ →n n n . 2．0)5(lim 2=--+∞ →n n n . 3．0cos lim =+∞ →n n n π. 四．證明：若a a n n =+∞ →lim ，則有||||lim a a n n =+∞ →，并舉例說明其逆命題不成立. 五．證明數(shù)列}3 {cos πn 極限不存在. 2 函數(shù)的極限 一．填空題 1．設(shè)函數(shù)? ??≥-,4)(x x x x x f ，則)x (f lim 01x -→＝ ，)

5、x (f lim 01x +→＝ . 2．=→x x 1sin lim 0 . 3．設(shè)?? ?>+≤=0 0)(x b ax x e x f x ，則=+)0(f ，=- )0(f ， 當(dāng)=b 時(shí)，1)(lim 0 =→x f x . 二．判斷題 1. 若A x f x x =→)(lim 0 ，0)(lim 0 =→x g x x ，則有) ()(lim x g x f x x →不存在；（ ） 2.+∞=+∞ →)sin (lim 2 x x x ；（ ） 3. 若A x f x x =→)(lim 0 ，B x g x x =→)(l

6、im 0 ，且B A >，則)()(x g x f >；（ ） 4. =→x x x 1cos lim 0 x x 0 lim →01cos lim 0 =→x x ； （ ） 5. 若) ()(lim x g x f x x →存在， 且0)(lim 0 =→x g x x 則0)(lim 0 =→x f x x .（ ） 6．1sin lim =∞ →x x x ； （ ） 7．e x x x =+∞ →1 )1(lim ；（ ） 8．當(dāng)∞→x 時(shí)，2 3 11x x + 與 k x 1是等價(jià)無窮小量，則2=k ； （ ）

7、 9．無窮小量的代數(shù)和還是無窮小量 ；（ ） 10．當(dāng)0→x 時(shí)，無窮小量43x x y +=是關(guān)于x 的4階無窮小量； （ ） 11．因?yàn)?→x 時(shí)x sin ～x ～x tan ，所以有000lim sin tan lim 3 3 =-=-→→x x x x x x .（ ） 三．利用定義證明下列函數(shù)的極限 1．4 14 2lim 2 2 = --→x x x ； 2．2 arctan lim π = +∞ →x x 。 四．利用極限四則運(yùn)算求下列極限 1．)21(lim 2 2 n n n n -- +∞ → .

8、2．x x x x x cos cos lim 2 2 2 -+→ . 3．1 lim +++ ∞ →n n n n n . 4．)))(((lim x b x a x x -+++∞ → . 5．3 3 0115lim x x x x -- +→. 五．1．討論0→x 時(shí)，x e y 1 =的極限. 2．討論函數(shù)????? ≥+6 0)(2 1 x x a x e x f x 在0=x 處的極限. 3．討論極限1 1arctan lim 1 -→x x 是否存在. 六．計(jì)算題 1．3 sin tan lim x x

9、 x x -→. 2．x x x cos 21)3 sin(lim 3 -- → π π. 3．x x x 1 )(cos lim +→. 4．n n n 2124 321lim -∞ → . 5．x x x x x 2 sin sin 1tan 1lim +- +→. 6．1 13arctan lim 5 0-+→x x x . 7．)1cos 1(lim 2 x x x -∞ →. 七．已知1→x 時(shí)，n x A x )1(~ln -，求A 與n . 八．已知)(x P 是多項(xiàng)式，并且12)

10、(lim 2 3 =-∞ →x x x P x ，又13)(lim =∞ →x x P x ，求)(x P . 九．已知0)1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，試確定b a ,的值. 3 連續(xù)函數(shù) 一．填空題 1．若? ??≤+>+=0,20 ),cos (sin )(x a x x x x e x f x 是(－∞,＋∞)上的連續(xù)函數(shù),則a =_________. 2．若) 1()(1 --= -x x a e x f x 有無窮間斷點(diǎn)x=0及可去間斷點(diǎn)x =1,則a =____________. 二．判斷

11、題 1．若)(),(x g x f 在0x 均不連續(xù)，則)()(x g x f +在0x 也不連續(xù) ；（ ） 2．若)(),(x g x f 在0x 均不連續(xù)，則)()(x g x f 在0x 也不連續(xù)；（ ） 3．區(qū)間),(b a 上的連續(xù)函數(shù)必有界 ；（ ） 4．若)(x f 在)(lim 0 x x x ?→點(diǎn)連續(xù)，則)](lim [)]([lim 0 x f x f x x x x ??→→=；（ ） 5．)(x f 在),(b a 內(nèi)單調(diào)，則)(x f 在),(b a 內(nèi)之多有一個(gè)零點(diǎn).（ ） 三．求下列極限 1．|)|ln(lim 1 x e x x

12、 +→ ； 2．2 2312lim 4 - --+→x x x ； 3．x x x cot 2 )tan 31(lim +→ ； 4．1 1232lim +∞→? ? ? ??++x x x x . 四．設(shè)?? ?? ?=≠+=0 0011 )(1 x x e x f x 討論)(x f 在0=x 處的連續(xù)性. 五．證明方程0332 3 =+--x x x 在區(qū)間)0,2(-內(nèi)有一實(shí)根. 六．設(shè))(x f 在]1,0[上連續(xù)，且)1()0(f f =，證明：必存在?? ??? ?∈2 1,00x 使得 =)(0x f )21(0+ x

13、 f . 七．)(x f 在),[+∞a 連續(xù)，且)(lim x f x +∞ →存在，證明函數(shù))(x f 在),[+∞a 有界. 第二章 復(fù)習(xí)題 一．填空題 1．) 3ln(1)(x x f += 的定義域是__________. 2．設(shè)f (x)的定義域是[1,2],則)1 1( +x f 的定義域是_____________. 3．若當(dāng)x →x 0時(shí),α(x )與r(x )是等價(jià)無窮小,β(x )是比α(x )高階的無窮小, 則當(dāng)x →x 0時(shí), 函數(shù) ) ()()()(x x r x x ββα--的極限是______________. 4．要使函數(shù)2 t

14、an )(x x x f =是無窮大, 則要求x 趨向于值____________. 5．若?? ???≤->=0 ,cos 70, tan 3sin )(x x e x ax x x f x 在x =0處連續(xù), 則要a =______________. 二．單選題 1．f (x)=x (x x e e --)在其定義域(－∞,＋∞)是 (A)有界函數(shù); (B)單調(diào)增函數(shù); (C)偶函數(shù); (D)奇函數(shù). 2．設(shè)+∞x x x x f ,1)1sin()(2 . 則此函數(shù)是 (A)有界函數(shù); (B)奇函數(shù); (C)偶函數(shù); (D)周期函數(shù). 3．函數(shù)111arctan

15、 )(→-=x x x f 當(dāng)時(shí)的極限值是 (A) ,2 π (B),2 π - (C)0, (D)不存在. 4．設(shè).1arctan 121)(1 1 x e e x f x x +-= 則x =0是f (x )的 (A)可去間斷點(diǎn); (B)跳躍間斷點(diǎn); (C)無窮間斷點(diǎn); (D)振蕩間斷點(diǎn). 5．設(shè).1,ln 21,1 1cos )1(2)(2?? ??? ≤+>--+=x x x x x x x f 則x =1是f (x )的 (A)連續(xù)點(diǎn); (B)跳躍間斷點(diǎn); (C)無窮間斷點(diǎn); (D)振蕩間斷點(diǎn). 三．求下列極限 1．)42341(

16、lim x x x x + +-∞ →； 2．x x x x tan 2sin lim 2 →； 3．n n n n 3) 1 2( lim ++∞ →； 4．)arcsin( lim 2 x x x x -++∞ →； 5．x x x x cot csc lim -→. 五．證明：方程x 2x =1至少有一個(gè)小于1的正根. 六．設(shè)f (x )在[a,b ]上連續(xù)，a)()()()(ξf q p d qf c pf +=+. 第三章 變量變化速度與局部改變量 估值問題——導(dǎo)數(shù)與微分 1 函數(shù)的局部變化率——導(dǎo)數(shù) 一．判斷題

17、 1．[]= f x f x ()()00； （ ） 2．曲線y f x =()在))(,(00x f x 處有切線，則 ()f x 0一定存在； （ ） 3．若)()(x g x f >，則)()(x g x f >； （ ） 4．函數(shù))(x f 在0x x =處的左右導(dǎo)數(shù)都存在是)(x f 在0x 點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件;（ ） 5．下面的計(jì)算對嗎？ 設(shè)?? ???=≠=0 001sin )(2 x x x x x f ，因?yàn)楫?dāng)0≠x 時(shí)，x x x x f 1cos 1sin 2)(-=，而)(x f 在 0=x 處無意義，故)(x f 在0=x 不可導(dǎo). （ ）

18、二．填空題 1．設(shè)y f x =()在x x =0處可導(dǎo)，則 ()() lim ???x f x x f x x →--=0 00 ， ()() lim h f x h f x h h →+--=0 00 ，()() =--+→h mh x f nh x f h 000 lim ； 2．若 ()f 0存在且()f 00=，則()lim x f x x →=0 ； 3. 若y f x =()為偶函數(shù)且 ()f 0存在，則 ()f 0＝ ； 4. 已知()f x x =，則 ()f 0= ； 5. 將一物體鉛直上拋，經(jīng)t 秒后上升的高度為2 2 1

19、40gt t s - =, 則該物體在3秒時(shí)的瞬時(shí) 速度為 ； 6. 曲線x x y 1- =與橫軸交點(diǎn)處的切線方程是 與 ； 7. 設(shè) ()f x 為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件()() 1211lim -=--→x x f f x ，則曲線()y f x =在 ()(,)11 f 處的切線斜率為 ； 8. 設(shè))(x f n x =，n x 是過點(diǎn)（1，1）的曲線n x y =（n 是正整數(shù)）的切線在x 軸上的 截距，則=∞ →)(lim n n x f . 三．用定義求函數(shù)x a x f =)(（0>a 且1a ≠）的導(dǎo)函數(shù)與它在0=x 處的導(dǎo)數(shù). 四．設(shè)()

20、?x 在x a =處連續(xù)，試討論下列函數(shù)在x a =處的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)時(shí)求出()f a ： 1．()()()f x x a x =-?； 2. ()()x a x x f ?-=； 3. ()())(x a x x f ?-=. 五．討論函數(shù)????? =≠=0 ,00, 1arctan )(x x x x x f 在0=x 處的連續(xù)性和可導(dǎo)性. 六．已知?? ??? =≠=0 ,00, 1cos )()(x x x x g x f ，且0)0()0(==g g ，求)0(f . 七．設(shè)函數(shù)???>++≤=0 , 0, )(2 x b ax x x e x f

21、 x , 在0=x 處連續(xù)且可導(dǎo)，求b a ,的值. 八．求曲線34 -=x y 在點(diǎn))2,1(處的切線方程和法線方程. 九．求垂直于直線013=+-y x 且與曲線132 3 -+=x x y 相切的直線方程. 十．證明函數(shù)()? ?? ??≤>-+=0 , 00 ,1 1x x x x x f 在點(diǎn)x =0處連續(xù)，但不可導(dǎo). 十一 . 談?wù)勀銓?dǎo)數(shù)概念的理解. 2 求導(dǎo)數(shù)的方法——法則與公式 一、單項(xiàng)選擇題 1. 在函數(shù)f x ()和g x ()的定義域內(nèi)的一點(diǎn)x 0處，下述說法正確的是（ ） A. 若f x ()，g x ()均不可導(dǎo)，則f x ()

22、g x ()也不可導(dǎo)； B. 若f x ()可導(dǎo)，g x ()不可導(dǎo)，則f x ()g x ()必不可導(dǎo)； C. 若f x ()，g x ()均不可導(dǎo)，則必有f x ()+g x ()不可導(dǎo)； D. 若f x ()可導(dǎo)，g x ()不可導(dǎo)，則f x ()+)(x g 必不可導(dǎo). 2. 直線l 與x 軸平行且與曲線y x e x =-相切，則切點(diǎn)為（ ） A. ()11,; B. ()-11,; C. ()01,; D. ()01,-. 3. 設(shè))(x f 在0x 處不連續(xù)，則)(x f 在0x 處 ( ) )(A 必不可導(dǎo); )(B 一定可導(dǎo); )(C 可能可導(dǎo); )(

23、D 無極限. 4. 設(shè))()()(x x g x F ?=，)(x ?在a x =處連續(xù)但是不可導(dǎo)， )(a g 存在，則0)(=a g 是)(x F 在a x =處可導(dǎo)的（ ）條件 A. 充要； B. 必要非充分； C. 充分非必要； D. 非充分非必要. 5. 若)(x f 在點(diǎn)0x x =處可導(dǎo)，則()x f 在點(diǎn)x x =0處（ ） A. 可導(dǎo); B. 不可導(dǎo); C. 連續(xù)未必可導(dǎo); D. 不連續(xù). 6. 函數(shù)e x x y x ln 3cos 232-+-=的導(dǎo)函數(shù) =dx dy （ ）. )(A 3ln 3sin 26x x x ++ )(B e x

24、x x 13sin 26- +- )(C e x x x 13ln 3sin 26+ ++ )(D e x x x 13ln 3sin 26-++ 7. 函數(shù)x x y ln 1+= ，則 =dx dy （ ）. ) (A x x ln 1 )(B 2 ) (ln ln x x x )(C 2 ) (ln )1(ln x x x x x +- )(D 2 ) (ln ) 1(ln x x x x +- 8. 已知1 1-+= x x y ，則函數(shù)在x 點(diǎn)的切線的斜率是（ ）. )(A 2 ) 1(2-x x )(B 2

25、 ) 1(-x x )(C 2 ) 1(2-- x )(D 1 12 -x 9. 已知x x x y ln sin =，則 =dx dy （ ）. )(A x x x x sin ln cos + )(B x x x x x x sin ln cos ln sin + + )(C x x x x ln cos ln sin + )(D x x x x x x sin ln cos ln sin ++ 10. 設(shè))(x f 在()+∞∞-,內(nèi)為奇函數(shù)且在()+∞,0內(nèi)有0)(>x f ，0)(>x f ，則)(x f 在 ()0,∞-內(nèi)是（ ）. （A

26、）0)(（A ） 2 1x ； （B ） x 1； （C ）2 1x - ； （D ） 3 2x . 二．填空題 1. 已知 x x f dx d 1)]1( [2 =，則=)2 1 (f ； 2. 若x x x x f ln sin 1)(--=，則=)(πf ； 3. 若 2 )(),()]([x x h x g x f dx d ==，則 =)]([x h f dx d ； 4. 若04ln 22=-+x y xy ，則=dx dy ； 5. 若y x y ln =，則 =dx dy ； 6. 若0,sin >=x x y

27、x ，則 =dx dy ； 7. 設(shè)函數(shù))(x y y =由0)cos(=++xy e y x 確定，則=dx dy ； 8. x y 10=，則() ()=0n y ； 9. x y 2sin =，則() ()=x y n . 三．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 1.( ) x x x y + =cos 2 ； 2. x x y + -= 11； 3. 5 3 2 3)(x x x x f = ； 4. x x e a x x y += sin 3 （0>a 且1≠a ）； 5. 6 sin 2ln sin π ++= x x y ； 6

28、. x xe y x sec =； 7. x y 1cot =； 8. ?? ? ??+=x x y 1ln 1ln ； 9. ()x y -=1ln ； 10. ( )2 2 ln x a x y ++ =； 11. x x x y ++=； 12. 2 2sin x x y = ； 13. x x y arccos arcsin = ； 14. 1 1arctan -+=x x y ； 15. nx x y n sin sin += （+∈N n ） ； 16. bx y ax sin e =； 17. () 11-= x x y

29、 ，求()()24y ； 18. ()12-=x e y x ，求()24y ； 19. 2 31 2 +-= x x y ，求() y n ； 20. x y 2 sin =，求() y n 。 四．已知? ? ?≤0, sin )(x x x x x f , 求其導(dǎo)函數(shù))(x f . 五．設(shè)f u ()為可導(dǎo)函數(shù)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x y d d ： 1．)]}([sin sin{x f f y =； 2．() ()x f x f y 2 2 sin sin +=； 六．利用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 1．y x x e x = -sin

30、 1； 2．() y x x =sin ln . 七． 設(shè)x xe x f -=-)1(且f x ()可導(dǎo)，求)(x f . 八． 設(shè)f u ()為可導(dǎo)函數(shù)，且5 )3(x x f =+，求)3(+x f 和)(x f . 九．設(shè))(x g 連續(xù)，且 )()()(2 x g a x x f -=，求()a f . 十．設(shè))( x f 和)(x g 可導(dǎo)，且0)()(2 2≠+x g x f ，求函數(shù))()(2 2x g x f y +=的導(dǎo)數(shù). 十一．設(shè)()y y x =由方程 053 =-+x y e xy 所確定，試求 d d =x x y ，

31、 22 d d =x x y . 十二．設(shè)()y y x =由方程 y y f e xe =) (所確定，)(u f 二階可導(dǎo)且1≠f ，試求 2 2 dx y d . 十三．已知函數(shù)()()f x ax bx c x x x =++ 10 ,ln , ，在點(diǎn)x =0處有二階導(dǎo)數(shù)，試確定參數(shù) a b c ,,的值. 十四．設(shè)函數(shù))(x f 滿足條件：對任何x ，有c f x f x f ==+)0(),(2)1(（c 為已知常數(shù)）， 證明)1(f 存在，并求其值. 十五．證明：曲線xy =1上任一點(diǎn)處的切線與x 軸和y 軸構(gòu)成的三角形面積為常數(shù). 3

32、局部該變量的估值問題——微分及其計(jì)算 一．填空題 1．設(shè)y x x =-3 在x 02=處?x =001.，則=?y ，=dy ； 2．設(shè)()y f x =在x 0處可微，則=?→?y x 0 lim ； 3．將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內(nèi)，使等式成立： d （ ）=d 2x ； d （ ）=3d x x ； d （ ）=cos t t d ； d （ ）x x d sin ω=； d （ ）=+11x x d ； d （ ）x x d e 2-=； d （ ）= 1x x d ； d （ ）x x d 3sec 2 =； d （ ）x x d 112 +- =.

33、 二．單項(xiàng)選擇題 1. 設(shè)()y f u =是可微函數(shù)，u 是x 的可微函數(shù)，則d y =（ ）. （A ）()f u u x d （B ）()f u x d （C ）()f u u d （D ）()f u u u d 2. 若f x ()可微，當(dāng)?x →0時(shí)，在點(diǎn)x 處的?y y -d 是關(guān)于?x 的（ ）. （A ）高階無窮 （B ）等價(jià)無窮小 （C ）同階無窮小 （D ）低階無窮小 3. 當(dāng)?x 充分小，≠f x ()0時(shí)，函數(shù)()y f x =的改變量?y 與微分d y 的關(guān)系是（ ）. （A ）?y y =d （B ）?y y (A) 與?x 無關(guān)； (B)為?x 的線性函

34、數(shù)； (C) 當(dāng)?x →0時(shí)是?x 的高階無窮??； (D)當(dāng)?x →0時(shí)是?x 的等價(jià)無窮小. 5. ,arctan ln 2 2 x y y x =+則=dy （ ）. )(A dy y x y x -+- ) (B dy y x y x -+ )(C dy y x y x +-- ) (D dy y x y x +- 6. 設(shè)()y f x =為初等函數(shù)，0x 為其定義區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列命題正確的是( ). (A) ()f x 在點(diǎn)0x 處必定可導(dǎo)； (B) ()f x 在點(diǎn)0x 處必定可微； (C) ()f x 在點(diǎn)0x 處必定連續(xù)； (D)

35、不能確定. 7. 當(dāng)x 很小時(shí),下列各式不正確的是( ). )(A sin x x ≈ )(B ln(1)x x +≈ )(C tan x x ≈ )(D x e x ≈ 8. 一正方體的棱長10x m =,如果棱長增加0.01m ,則此正方體體積增加的近似值為 ( ). )(A 3 1m )(B 3 2m )(C 3 3m )(D 3 4m 三．求下列函數(shù)的微分 1．y x x =+1 2 ; 2. y x x =-+arctan 112 2; 3. y x x =sin 2; 4. y x x = +12 . 四．計(jì)算1023.和02.1arc

36、tan 的近似值. 第三章 復(fù)習(xí)題 一．填空題 1．設(shè))(x f 在0x 處導(dǎo)數(shù)為)(0x f ，則= --→x x f x x f x ) ()3(lim 000 ； 2．若)(x f 在0=x 處可導(dǎo)且1 2) ()2(lim 0=--→x x f x f x ，則=)0(f ； 3．設(shè)()()00,10==f f ，則() = -→x x f x 2 tan cos 1lim ； 4．函數(shù) x x f sin )(=在0=x 處的導(dǎo)數(shù)為 ； 5．在拋物線2 3x y =上，與拋物線上橫坐標(biāo)1=x 和2-=x 兩點(diǎn)連線平行的切線方程

37、為 ； 6．若 ()f x 為可導(dǎo)的奇函數(shù)且=f x ()05，則_____)(0=-x f ； 7．設(shè)()x e x x x f x d 2cos 11 d 32 ?? ? ?? +++=，則)( x f = ； 8． ()f x 在x 0可導(dǎo)是 ()f x 在x 0可微的 條件； 9．設(shè)y x x =，則=y d x d ； 10．若曲線b ax x y ++=2和3 12xy y +-=在點(diǎn))1,1(-處相切，則=a ， =b . 二．單項(xiàng)選擇題 1．設(shè)()y x x =+11，則()=1y （ ） A ．2； B ．e ； C ． 1 2

38、 2-ln ； D ．14-ln . 2．已知函數(shù) ()f x 具有任意階導(dǎo)數(shù)，且() [] ()=f x f x 2 ，則當(dāng)n 為大于2的正整數(shù)時(shí)， () ()f x n 是（ ） A ．() [] n f x n !+1 ； B ．() [] n f x n +1 ； C ．() [] f x n 2； D ．() [] n f x n !2. 3．設(shè) ()=f x x x x 33 2 +，則使() ()f n 0存在的最高階導(dǎo)數(shù)的n 為（ ） A ．0； B ．1； C ． 2; D ．3. 三．計(jì)算下列各題： 1．設(shè)x e

39、 y x 1sin 1tan =，求y ； 2．設(shè){}2,2max )(x x f =，求)(x f ； 3．設(shè)x x y sin 2)1(+=，求y ； 4．()321=)( x x x f x -+，求)( x f ； 5．()n n x n y ????? ?++=∞→21 1ln lim ，求 ()y x ； 6．設(shè)()[]y f x =sin 2 2 ，其中f 具有二階導(dǎo)數(shù)，求d d 2 2 y x ； 7．設(shè)()y f x y =+，且f 二階可導(dǎo)，求d d 2 2 y x ； 8．已知0)cos(=++xy e y x ，求 dx

40、 dy ； 9．,2sin 2 x x y =求) 50(y ； 10．已知)3 1ln(x y -+=，求函數(shù)的微分dy . 五．已知)(0x f 存在，求sinh ) ()3(lim 02 00 h x f h x f h -+→. 六．用定義求)0(f ，其中?? ???=,0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并討論導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性. 七．設(shè)?? ??? ≥-3x x x d cx bx ax x x x f ，試確定d c b a ,,,的值，使)(x f 在0=x 及 1=x 都可導(dǎo). 十一．)22(e =)( 2++

41、x x x f x ，求)( ) (x f n . 十二．已知)(x f 為奇函數(shù)，且)0(f 存在，問0=x 是x x f x F )()(= 的何種類型的間斷點(diǎn)？ 為什么？ 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題 洛比達(dá)法則，函數(shù)的性質(zhì)和圖像 1 聯(lián)系局部與整體的紐帶——中值定理 一. 填空題 1．函數(shù)4()f x x =在區(qū)間[1,2]上滿足Lagrange 中值定理中的ξ= 。 2．若函數(shù)()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，則方程()0f x =有分別位于區(qū)間 內(nèi)的三個(gè)實(shí)根。 3．若2 3()1f x x =-，則()f x 在區(qū)間[1,1]

42、-上不滿足Rolle 定理的一個(gè)條件是 。 4． Rolle 定理與Lagrange 定理的關(guān)系是 。 二、選擇題 1.Rolle 定理中的三個(gè)條件：()f x 在[,]a b 上連續(xù)，在(,)a b 內(nèi)可導(dǎo)，且()()f a f b =，是()f x 在(,)a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使()0f ξ=成立的 條件。 A. 必要 B. 充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 2.下列條件不能使函數(shù)()f x 在區(qū)間[,]a b 上應(yīng)用Lagrange 定理的是 。 A. ()f x 在[,]a b 上連續(xù)，在(,)a b 內(nèi)可導(dǎo); B. ()f x 在[,]a b 上可導(dǎo); C. ()

43、f x 在(,)a b 上可導(dǎo)，且在a 點(diǎn)右連續(xù)，在b 點(diǎn)左連續(xù); D. ()f x 在(,)a b 內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù). 三、證明下列不等式 1. ln a b a a b a b b --2. 當(dāng)1x >時(shí)，x e ex >. 3. 已知()()f x f x =，且(0)1f =，求證()x f x e =. 4. 證明方程53210x x x ++-=只有一個(gè)正根. 2 求不定式極限的一般方法——洛必達(dá)法則 一．利用洛比達(dá)法則求極限 1. 0 1cos 2lim 1cos 3x x x →--; 2. 1 lim ln x x e x + →;

44、3. 1 lim (1)x x x e →∞ -; 4. 0 11 lim ( )1 x x x e →- -. 二．求解下列各題 1.設(shè)()f x 具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，(0)0,(0)2f f ==，求2 (1cos )lim tan x f x x →-. 2 .設(shè)()f x 在0x x =處具有二階導(dǎo)數(shù)，求證 00000 ()2()() lim 2()1cos h f x h f x f x h f x h →+-+-=-. 3 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性，極值和最大最小值 一．填空題 1.已知曲線方程為2 2y x x =+-，則

45、曲線y 在區(qū)間 上單調(diào)增，在區(qū)間 上單調(diào)減。 2.若()f x 在[,]a b 上連續(xù)，在(,)a b 內(nèi)可導(dǎo)，且(,)x a b ∈時(shí)，()0f x 3.若3 ()x f x e -=，則55 max ()x f x -≤≤= ，55 min ()x f x -≤≤= 。 4.若22 ()(1),0f x c x c =+>，則在x = 處取得極 值，其值為 。 5.3 3y x x =-的極大值點(diǎn)是 ，極大值為 。 6.方程5 2cos 0x x x ++=有 個(gè)實(shí)根。 二．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1.2()16f x x x =--; 2.2()2ln 1f x

46、 x x =-+; 3.n x y x e -=，其中0,0n x >≥. 三．求下列函數(shù)的極值 1.4 2 ()2f x x x =-+; 2. 1 2 3 3()(1)f x x x =-. 四．證明下列不等式 1. 當(dāng)02 x π 時(shí)，有3 1tan 3 x x x >+ ; 2. 當(dāng)4x >時(shí)，有22x x >; 3. 當(dāng)12e x x 112221 ln ln x x x x x x . 五．設(shè)()f x 滿足1 13()(),0f x f x x x -= ≠，求()f x 的極值。 六．設(shè)322y x ax bx =+++在11x =

47、和22x =處取得極值，試確定,a b 的值，并證明1()y x 是極大值，2()y x 是極小值。 七．求下列函數(shù)的最大值與最小值 1.2()46,[3,10]f x x x x =-+∈-; 2.32()41827,[0,2]f x x x x =-+∈。 八．試作一個(gè)上端開口的圓柱形容器，它的凈容積是V ，壁厚為a （,V a 都為常數(shù)），問容 器內(nèi)壁的半徑為多少，才能使所用的材料最少？ 第四章 復(fù)習(xí)題 一．填空題 1. 已知函數(shù)()y f x =有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且在x a =點(diǎn)處有拐點(diǎn)(,())a f a ， 則2 ()2()() lim n f a h

48、f a f a h h →∞ +-+-= 。 2. 1 x y x =的極大值點(diǎn)是 ，極大值為 。 二．求下列極限 1. 2 2 1lim x x e x -→-; 2.2 lim ( arctan )x x x π →+∞ . 三．討論函數(shù)2 2sin y x x =-的單調(diào)性。 四．證明arctan ln(1),[0,)1x x x x +≥ ∈+∞+。 第五章 微積分的逆運(yùn)算問題--不定積分 5.1 原函數(shù)與不定積分 一．填空題 1.若(),()F x G x 均為()f x 的原函數(shù)，則()()F x G x -= . 2. ()

49、f x 是連續(xù)函數(shù)，則()d f x dx =? ，()df x =? . 3. 22 1x dx x =+? . 4. 1 1 2 36 x x x dx +--=? . 5. 2 sin 2 x dx =? . 6. (3cos )x e x dx -=? . 二．計(jì)算下列各題. 1. 42 11x dx x ++? 2. 2 2 1sin cos 2 2 dx x x ? 3.2 2 cos 2sin cos x dx x x ? 4. 3(2)x e dx x + ? 5.dx x ?2 tan

50、 6. ?-x dx 2cos 1 三．若曲線()y f x =上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，且該曲線過點(diǎn)(,3)e ，求該曲線方程. 5.2 矛盾轉(zhuǎn)化法--換元積分法與分部積分法 一、填空題 1. cos 3x dx = (s i n )3x d . 2. dx = ()d ax （0≠a ）. 3.3x dx = 4(32)d x -. 4. xdx = 2 (1)d x -. 5. 2 114dx x =+ (a r c t a n 2 d x . 6. 1=? . 7. 3x e dx =? . 8. 1 43dx x =+

51、? . 二、求下列不定積分: 1.dx x x ?2 ln 2. xdx x ? 5 cos sin . 3.)0(2 2 >+?a x a dx 4. )0(2 2 >-?a x a dx 5.? + x dx 1 6. ? 7. tan x ? 8. ? 9. dx xe x ?- 10. ?xdx ln 11.2tan x xdx ? 12. e ? 13. ?xdx arcsin 14. 2 ()() () f x xf x dx f x -? 15. ln(x dx + ?

52、 16.xdx e x cos ? 三、已知()f x 的一個(gè)原函數(shù)是2 x e -，求()xf x dx ?. 第五章 復(fù)習(xí)題 一、填空題 1.若)(x f 的一個(gè)原函數(shù)為2 ln x ，則=)(x f 。 2.若?+=c x x x f 2sin d )(，則=)(x f 。 3.若c x x x x f +=?ln d )(，則=)(x f 。 4.=?-x x d e d 2 。 5.=?x x d )(sin 。 6.若?+=c x F x x f )(d )(，則?=-x x f d )32( 。 7. =+?e 1 2 d )1ln(

53、d d x x x 。 二、單項(xiàng)選擇題 1.下列等式成立的是（ ）． A ． )(d )(d d x f x x f x =? B ．)(d )(x f x x f =? C ．)(d )(d x f x x f =? D ．)()(d x f x f =? 2.若c x x x f x +=?22e d )(，則=)(x f （ ）. A. )1(e 22x x x + B. x x 22e 2 C. x x 2e 2 D. x x 2e 3.以下計(jì)算正確的是（ ） A ．3 ln 3 d d 3x x x = B ． )1(d 1d 2 2 x x x

54、 +=+ C ． x x x d d = D ．)1d( d ln x x x = 三、計(jì)算題 1.?+- x x x x x d sin 33 2.x x d )12(10?- 3.x x x d 1sin 2 ? 4.dx x x ?-2 1 5.dx x ? +2 911 第六章 求總量的問題--定積分及其應(yīng)用 6.1 特殊和式的極限--定積分的概念 一、根據(jù)定積分的定義或幾何意義計(jì)算下列積分： 1.dx b ax ?+1 ）（； 2. )0(0 2 2>-? a dx

55、x a a 3. )212 11 1( lim n n n n + +++ +∞ → ； 二、利用定積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分值的大小： 1.dx e x ?1 0； 2. dx x x ? -21 4 3)2(. 三、不計(jì)算積分，比較下列各組積分的大小 1．dx x ?20π dx x ?20sin π ； 2．dx e x ?1 dx e x ? 10 2 . 6.2 計(jì)算定積分的一般方法—微積分基本定理 一、設(shè))(x f 連續(xù)，求下列函數(shù))(x F 的導(dǎo)數(shù)： 1）? =x a dt t f x F )()

56、(； 2）? =b x dt t f x F )()(； 3）? -= x dt t t x F 0 )4()(。 二、填空題 1) x dt t x x ? →0 2 cos lim = .. 2) 已知)(x f 在),(∞+-∞上連續(xù)，且2)0(=f ，且設(shè)? = x dt t f x F sin 0 )()(，則 (0)F = . 3) 設(shè)??? ? ?>?3220 ,sin 0 ,31 )(，則0 lim ()x f x →= . 三、根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算下列積分 1）dx e x ?1 0；

57、 2）? +10 2 1x dx ； 3）?π sin xdx ； 4）? --2 3 x dx ； 5）dx x ? --31 2。 四、設(shè)???≤1,2,12)(2x x x x x f ，求k 的值，使340 )(3=?dx x f k . 五、用換元法求下列積分 1))0(0 2 2>-? a dx x a a ; 2)dx x ? + 40 11; 3)? 20 2sin π dx x x ; 4)?-1 2 1dx x x . 六、用分部積分法計(jì)算下列定積分 1) ? 20 sin

58、 π xdx x ; 2) ? 21 arcsin xdx ; 3)dx x e ?1 )sin(ln ; 4）x x x d ln 51e 1?+ 5) dx x e e ?1|ln |. 6) x x x d e 1 ? 6.3 定積分的拓展-非正常積分 一、討論下列反常積分的斂散性： 1.? +∞ 1 2 x dx 2.dx xe x ? +∞ -0 2 6.4 定積分魅力的展示-在若干學(xué)科中的應(yīng)用 一、求下列所給圖形的面積 1） 由曲線x y ln =，x 軸以及直線2,2 1== x x

59、 所圍成的圖形； 2） 由曲線22 ++-=x x y 與x 軸所圍成的圖形; 3) 由曲線3 x y =與直線1,0==y x 所圍成的圖形； 4）由曲線2,x x y e y e -==與直線1x =-所圍成的圖形; 5)2 21y x =+與直線10x y --=所圍成的圖形； 6)曲線x y sin =和x y cos =及兩直線2 π =x 所圍成的圖形； 7）2 32 x y - =與62 2 -= x y 所圍成的圖形. 二、已知2ax y =與3x y =所圍成面積為8，求a 值（設(shè)0>a . 三、 求下列立體的體積 1)

60、 12 22 2=+ b y a x 繞x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體； 2) 曲線)2 0(sin π ≤≤=x x y 與直線0,2 == y x π 圍成一個(gè)平面圖形，此平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體。 第六章 復(fù)習(xí)題 一、填空題 1) 2 02 cos x d x t dt dx =? ； 22 ()x d tf x t dt dx -=? ()(x f 連續(xù)). 2) 12 1 (x dx -+=? . 3) 設(shè))(x f 連續(xù)，且?+=1 )(2)(dt t f x x f ，則()f x = . 4

61、）設(shè))(x f 連續(xù)，且?=3 )(x x dt t f ，則=)8(f . 二、選擇題 1.定積分定義∑ ?=→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ說明（ ）. （A ）],[b a 必須n 等分，i ξ是],[1i i x x -端點(diǎn); （B ）],[b a 可任意分法，i ξ是],[1i i x x -端點(diǎn); （C ）],[b a 可任意分法，0}max{→?=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -內(nèi)任取; （D ）],[b a 必須等分，0}max{→?=i x λ，i ξ可在],[1i i x x

62、-內(nèi)任取. 2. 積分中值定理) )(()(a b f dx x f b a -=?ξ其 ）. （A ）ξ是],[b a 內(nèi)任一點(diǎn) （B ）ξ是],[b a 內(nèi)必定存在的某一點(diǎn) （C ）ξ是],[b a 內(nèi)惟一的某點(diǎn) （D ）ξ是],[b a 內(nèi)中點(diǎn) 3.)(x f 在],[b a 上連續(xù)是?b a dx x f )(存在的（ ）. （A ）必要條件 （B ）充分條件 （C ）充要條件 （D ）既不充分也不必要 4.函數(shù)? +-= x dt t t t x F 0 2 1 3)(在區(qū)間]1,0[上的最小值為（ ）. （A ） 2 1 （B ） 3 1 （C ）

63、 4 1 （D ） 0 5.設(shè)曲線2x y =與4=y 所圍成圖形的面積為S.則下列各式中，錯(cuò)誤的是（ ） （A ）dx x S ?-=2 02)4(2 （B ）dy y S ? =4 02 （C ）dx x S ?-=2 2)4(2 （D ）dx x S ? =40 2 三、解答題 1.設(shè)? -= x dt t t x f 0 sin )(π，計(jì)算? π )(dx x f . 2.dx x ?--21 2 1 2 11 3.求由曲線1=xy 及直線2,==y x y 所圍圖形的面積 4.過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線x y ln =的

64、切線，求該切線與曲線x y ln =及x 軸所圍成圖形的面積. 5.求由曲線2x y =與直線0,2==y x 所圍平面圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 第七章 偶然中蘊(yùn)含必然的問題--概率統(tǒng)計(jì)初步 1 研究偶然現(xiàn)象的基本元素—隨機(jī)事件 1. 設(shè)Ω＝{1,2,…,10}，A ＝{2,3,4}，B={3，4，5}，C ＝{5，6，7}，具體寫出下列各等式。 （1）A B （2）B A ? （3）B A （4）BC A （5）)(C B A ? 2．設(shè)A 、B 、C 表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A 、B 、C 表示出來。 （1）A 發(fā)生，B 、C 不發(fā)生； （2

65、）A 、B 都發(fā)生，而C 不發(fā)生； （3）所有三個(gè)事件都發(fā)生； （4）三個(gè)事件都不發(fā)生； （5）三個(gè)事件中恰有一個(gè)發(fā)生； （6）三個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生； （7）三個(gè)事件中至少有兩個(gè)發(fā)生； （8）不多于一個(gè)事件發(fā)生。 3．抽查4件產(chǎn)品，設(shè)A 表示“至少有一件次品”，B 表示“次品不少于兩件”，問：B A ,各表示什么事件？ 4．把事件B A ?寫成互不相容事件和的形式。 5.設(shè)}2x 0|x {S ≤≤=，1}2 1|{≤341| {≤=。具體寫出下列各事 件： （1）B A ； （2）B A ?； （3）B A ? （4）AB 2 偶然中的必然—概率 1．甲乙兩炮同時(shí)向一架

66、飛機(jī)射擊，已知甲炮擊中的概率為0.6，乙炮擊中的概率為0.5，甲乙兩炮都擊中的概率為0.3，求飛機(jī)被擊中的概率是什么？ 2．有三個(gè)班級，每班在一個(gè)星期的六天中安排到某游泳池游泳一次，如果游泳日可以隨機(jī)安排，求三個(gè)班在不同三天游泳的概率。 3．10個(gè)零件中有3個(gè)次品，7個(gè)合格品，從中任取一個(gè)不放回，求第三次才取得合格品的概率是多少？ 4．將一枚骰子重復(fù)擲n 次，試求擲出的最大點(diǎn)數(shù)為5的概率。 5．從5雙不同的鞋中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只能配成一雙的概率。 6．把長為l 的棒任意折成3段,求此三段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。 7. 在矩形}11,21:),{(≤≤-≤≤b a b a 中任取一點(diǎn),求使方程0=+b ax 的解大于4 1的概 率. 8．設(shè)事件A 與B 同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C 必發(fā)生，則正確的結(jié)論是_____ （1）1)B (P )A (P )C (P -+≤ （2）1)B (