高數(shù) 分部積分法.ppt

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1、1 由導(dǎo)數(shù)公式vuvuuv )(積分得: xvuxvuuv dd 分部積分公式xvuuvxvu dd 或uvvuvu dd 1) v 容易求得 ; xvuxvu dd)2 比容易計算 .:)d( 的 原 則或及選 取 vvu 分 部 積 分 法 第四章 (Integration by parts) 分部積分公式 formula of integration by parts 3 分部積分法常見類型: (1)指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)與多項式的乘積.( ) d , ( )sin d , ( )cos d .axp x e x p x bx x p x bx x 例如,(2)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)與多項式的

2、乘積.( )ln d , ( ) sin d , ( ) cos d .p x x x p x arc bx x p x arc bx x 例如,(3)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積.例如, sin d , cos d .ax axe bx x e bx x :的 一 般 方 法及選 取 vu 按 “ 反對冪指三” 的順序,前者為 后者為u .v反: 反三角函數(shù)對: 對數(shù)函數(shù)冪: 冪函數(shù)指: 指數(shù)函數(shù)三: 三角函數(shù) 4 .dcos xxx解: 令,xu ,cosxv 則,1u xv sin 原式xxsin xxdsin Cxxx cossin思考: 如何求?dsin2 xxx提示: 令,2xu ,s

3、inxv 則原式xx cos2 xxx dcos2 5 .dln xxx解: 令,lnxu xv 則,1xu 221xv 原式 = xx ln21 2 xxd21 Cxxx 22 41ln21 6 .darctan xxx解: 令,arctanxu xv 則,1 1 2xu 221xv 原式xx arctan21 2 xxx d121 22xx arctan21 2 xx d)1 11(21 2xx arctan21 2 Cxx )arctan(21 7 例4. 求.darccos xx解: 令,arccosxu 1v , 則,211xu xv 原式 = xxarccos xxx d21xxa

4、rccos )1d()1( 2221 21 xxxxarccos Cx 21 8 .dcoscosln 2 xxx解: 令,cosln xu xv 2cos1 , 則,tanxu xv tan原式 = xx coslntan xxdtan2xx coslntan xx d)1(sec2xx coslntan Cxx tan 9 .dsin xxex解: 令,sinxu xev , 則,cosxu xev 原式xexsin xxex dcos再令,cosxu xev , 則,sinxu xev xexsin xxexe xx dsincos故 原式 = Cxxex )cos(sin21說明: 也

5、可設(shè)veu x ,為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型必須一致 . 10 sin daxe bx x cos daxe bx x 11 .)0(d22 axax解: 令,22 axu ,1v則,22 ax xu xv 22 axx xaxx d22222 axx xax aax d22 222 )(22 axx xax d22 22d2 ax xa 原式 = 2221 axx Caxxa )(ln2 222 xax d22 12 2 2 d ( 0).x a x a 解: 令2 2 ,u x a ,1v則2 2 ,xx au xv 2 2x x a 22 2 dxx a x2 2x x a 2 2

6、22 2( ) dx a ax a x 2 2x x a 2 2 dx a x 2 2d2 xx aa 原式 = 2 212 x x a 2 2 2ln( )2a x x a C 2 2 dx a x 13 2 2dxa x arcsin( )x Ca 2 2 da x x 2 212 x a x 2 arcsin2a xa C 2 21 dxx a Caxx )ln( 222 2 dx a x 2 212 x x a Caxxa )(ln2 222 2 21 dxx a Caxx 22ln2 2 dx a x 2 212 x x a 2 2 2ln( )2a x x a C 0a 14 兩類

7、不定積分: 方法: 配元, 化為標(biāo)準(zhǔn)型, 然后根據(jù)上述公式即可得.2 d ( 0)x aax bx c 2 d ( 0)ax bx c x a 15 例. 求3sec xdx 16 .dxe x解: 令,tx則,2tx ttx d2d 原式tet t d2 tet(2 Cxe x )1(2 ,tu tev )te C令 17 .)( d 22 nn ax xI解: 令,)( 1 22 naxu ,1v則,)( 2 122 nax xnu xv nI xax xn n d)(2 122 2 nax x )( 22 xaxn n d)(2 122 nax x )( 22 nIn2 122 nIan

8、得遞推公式nnn Iannax xanI 22221 2 12)(2 1 222 )( aax nax x )( 22 18 遞推公式 nn ax xI )( d 22已知CaxaI arctan11利用遞推公式可求得.nI例如,3I 2222 )(41 ax xa 2243 Ia2222 )(41 ax xa 243a 22221 ax xa 1221 Ia 2222 )(41 ax xa 22483 ax xa Caxa arctan835 nnn Iannax xanI 22221 2 12)(2 1 19 )2(1tandtan 21 nIn xxxI nnnn證: xxxI nn d

9、)1(sectan 22 )d(tantan 2 xxn 1tan 1 n xn 2 nI2 nI注: 0IIn 或1I0I ,Cx 1I Cx cosln 20 分部積分題目的類型:1) 直接分部化簡積分 ;2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ; (注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C )例43) 對含自然數(shù) n 的積分, 通過分部積分建立遞 推公式 . 21 .d xI 23)1( 2x解法1 先換元后分部令,arctanxt 即,tantx 則 teI t3sec ttdsec2 tte t dcos tet sin tte t dsintet s

10、in tte t dcostet cos故CettI t )cos(sin2121 xearctan t x121 x21 xx 211 x Ce x arctan 22 xeI x darctan 23)1( 2xxexI arctan2 d11 xx exxex arctan2arctan2 d111 )1(11 arctan2 xex x ICexxI x arctan212 1 xex arctan211 xd 23)1( 2x xex arctan 23 )(xf的一個原函數(shù)是,cosx x求.d)( xxfx 解: xxfx d)( )(d xfx )(xfx xxf d)(x x

11、 xcos Cx xcos xsin Cx xcos2說明: 此題若先求出)(xf再求積分反而復(fù)雜. xxfx d)( xx xx xx dcos2sin2cos 2 24vu 分部積分公式xvuvuxvu dd 1. 使用原則 : xvuv d 易求出,易積分2. 使用經(jīng)驗 : “反對冪指三” , 前 u 后v3. 題目類型 :分部化簡 ;循環(huán)解出;遞推公式4. 計算格式 : vu 25 xxI d)ln(sin解:令,lnxt 則texex tt dd, tteI t dsin te tsin te tcos ttete tt dcossintsin te Ittet )cos(sin C

12、tteI t )cos(sin21 Cxxx )cos(ln)sin(ln21可用表格法求多次分部積分 26 uexex uu dd, .d)(ln 43 xxx解: 令則原式,lnxu ue3 4u ueu d ueu u d444u ue4 34u 212u u24 24 0ue441 ue4412 ue4413 ue4414 ue4415 原式 = ue441 4u 3u 243u u83 323 C Cxxxxx 323ln83ln43lnln41 2344 27 1. 下述運(yùn)算錯在哪里? 應(yīng)如何改正? xxxdsincos xxxxx dsin)sin1(sinsin xxxx ds

13、insincos1 2 xxxdsincos1,1dsincosdsincos xxxxxx得 0 = 1答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 . xxsinsind Cx sinln 28 xbxaeI xk d)cos(對比 P370 公式(128) , (129)提示: )cos( bxa )sin( bxaa )cos(2 bxaa xkek21 xke xkek1 29 P213 1-24 30 1.求不定積分解：d .1xxxe xe 方法1 (先分部 , 再換元)d1xxxe xe )1(d1 xx eex x2 )1(d xe 12 x

14、ex 2 1dxe x 令1, xu e 則22d d1 ux uu uuu d12 2212 xex 2 1 1u 12 xex 4( arctan )u u C 44 1 4arctan 1x xe e C 31 方法2 (先換元,再分部)令1,xu e 則2ln(1 ),x u 故d1xxxe xe uuuu uu d12)1ln()1( 222 uu d)1ln(2 2 )1ln(2 2uu 2 24 d1u uu 1)1ln(2 2uu u4 Cu arctan42 1xx e 4 1 4arctan 1x xe e C 1 2 2d d1 ux uu 32 解: 原式 = 1cos

15、( 1) sin d ( 1).nn x x x n 1(cos cos sin sin ) sin dnnx x nx x x x 1cos cos sin sin sin dn nnx x xdx nx x x 1 cos sin sin sin dn nnxd x nx x xn 1 1cos sin sin dcos n nnx x x nxn n sin sinnnx xdx 1cos sinnnx x Cn 33 解: 令arctan ,t x則 原式 = 4tan (tan )sec t td tt 24tan secsec t t tdtt 1 sin22 t tdt 1 co

16、s24 td t 1 1cos2 cos24 4t t tdt 1 1 cos2 sin24 8t t t C 22 21 1arctan4 1 4(1 )x xx Cx x 2 2 arctan d .(1 )x x xx 34 求下列不定積分：2 21. tan 1 1xx dxx 12. 1 sin dxxlntan3. sin cosx dxx x 2414. 1 x dxx 4 415. sin cos dxx x 21 ln6. ( ln )x dxx x27. 1dxx x 35 2 2 2 21. tan 1 tan 1 1 ln|cos 1 | ,211 1 sin 1 si

17、n 1 cos2. tan sec ,2 2 21 sin (1 sin )(1 sin ) 1 sin cos coslntan lntan 1 23. tan lntan (lntan ) (lntan )sin cos tan 2xx dx x d x x Cx x x d xdx dx dx dx x x Cx x x x x xx xdx d x xd x xx x x ,21 1 1 1 1 1 14. ( ) 4 2 22 2 2 1 2 12 21 2 1 2 1 ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 arctan 2( ) arctan 2( ) ,2 2 2 24 2

18、 2sec tan 1 15. (tan ) tan4 4 4 4 4sin cos 1 tan tan 1 1 Cx dx dx dx dxx x x x x x xx x Cdx x x udx d x u x dux x x x u 利 用 上 一 .1 ln 1 2 1 1 16. ( ) 2 2( ln ) ( ) 11 1 1 1 =- ln ,cos 1 1 (sin cos )7. sin sin cos 2 2 sin cos21 x tt t t t t tdx x e e dt e t dt e t dt e d t e t dttx x tet t t te t e t dt e t dt e t x xdx t d t tx t dt dtt t t tx x 題 的 結(jié) 論1( ln|sin cos |)21 2 (arcsin ln| 1 |)2 t t t Cx x x C