加法原理與乘法原理

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1、§10。1　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 教學(xué)目標(biāo) 1．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步"． 2．會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題． 學(xué)習(xí)內(nèi)容 知識梳理 1． 分類加法計數(shù)原理 做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法． 2． 分步乘法計數(shù)原理 做一件事，完成它需要分成n個步驟,做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n

2、個步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法． 3． 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成． 例題講解 題型一　分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用 例1　高三一班有學(xué)生50人，男生30人,女生20人；高三二班有學(xué)生60人，男生30人,女生30人;高三三班有學(xué)生55人，男生35人,女生20人． （1)從高三一班或二班或三班中選一名

3、學(xué)生任學(xué)生會主席,有多少種不同的選法？ (2）從高三一班、二班男生中,或從高三三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會體育部長，有多少種不同的選法? 思維啟迪　用分類加法計數(shù)原理． 解　(1)完成這件事有三類方法 第一類，從高三一班任選一名學(xué)生共有50種選法； 第二類，從高三二班任選一名學(xué)生共有60種選法; 第三類,從高三三班任選一名學(xué)生共有55種選法， 根據(jù)分類加法計數(shù)原理,任選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席共有50＋60＋55＝165(種）選法． （2)完成這件事有三類方法 第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法; 第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法; 第三類，從高三

4、三班女生中任選一名共有20種選法． 綜上知，共有30＋30＋20＝80(種)選法． 思維升華　分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類；其次分類時要注意滿足一個基本要求，就是完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法,只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理． 鞏 固　 （1）在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個? （2）方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，其中m∈{1，2，3，4，5｝，n∈｛1，2，3,4,5,6,7}，那么這樣的橢圓有多少個？ 解?。?)分析個位數(shù)字，可分以下幾類：

5、 個位是9，則十位可以是1，2,3，…，8中的一個，故有8個； 個位是8，則十位可以是1，2,3，…，7中的一個，故有7個； 同理，個位是7的有6個; 個位是6的有5個； … 個位是2的只有1個． 由分類加法計數(shù)原理,滿足條件的兩位數(shù)有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)． （2）以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為五類． 第一類：m＝1時，使n〉m，n有6種選擇； 第二類:m＝2時，使n>m，n有5種選擇; 第三類:m＝3時，使n>m，n有4種選擇； 第四類：m＝4時，使n〉m,n有3種選擇； 第五類:m＝5時，使n〉m,n有2種選擇． ∴共有6＋5＋4＋3＋2＝2

6、0（種)方法， 即有20個符合題意的橢圓． 題型二　分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用 例2　有六名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法?（不一定六名同學(xué)都能參加) (1）每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限； （2)每項限報一人，且每人至多參加一項； (3)每項限報一人，但每人參加的項目不限． 思維啟迪　可以根據(jù)報名過程，使用分步乘法計數(shù)原理． 解?。?）每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同選法，由分步乘法計數(shù)原理, 知共有選法36＝729(種）． (2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人,第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選

7、法，第三個項目只有4種選法,由分步乘法計數(shù)原理，得共有報名方法6×5×4＝120（種）． （3)由于每人參加的項目不限,因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽,由分步乘法計數(shù)原理,得共有不同的報名方法63＝216（種）． 思維升華　利用分步乘法計數(shù)原理解決問題：①要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個步驟都完成了才算完成這件事． 鞏 固　已知集合M＝｛－3，－2，－1，0，1,2｝,若a，b，c∈M,則： (1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個不同的二次函數(shù)； （2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù)．

8、 解　（1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180（個）不同的二次函數(shù)． (2）y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上時,a的取值有2種情況，b、c的取值均有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(個)圖象開口向上的二次函數(shù)． 題型三　兩個原理的綜合應(yīng)用 例3　如圖所示,將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同 一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用，求不同的 染色方法總數(shù)． 思維啟迪　染色問題是常見的計數(shù)應(yīng)用問題，可從選顏色、選頂點進行分類、分步，從不同角度解決問題． 解　方法一

9、　可分為兩大步進行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法． 當(dāng)S、A、B染好時,不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法;若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S、A、B已染好時,C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)． 方法二　以S、A、B、C、D順序分步染色． 第一步，S點染色，有5種方法； 第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有

10、4種方法； 第三步，B點染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法； 第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當(dāng)A與C同色時，D點有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2）＝420(種）． 方法三　按所用顏色種數(shù)分類． 第一類,5種顏色全用，共有A種不同的方法； 第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色（A與C，或B與D），共有2×A種不同的方法; 第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必

11、定同色,共有A種不同的方法． 由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為 A＋2×A＋A＝420(種）． 思維升華　用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步． （1）分類要做到“不重不漏"，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)． (2）分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)． （3）對于復(fù)雜問題，可同時運用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析． 鞏 固　用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏

12、色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？ 解　如圖所示，將4個小方格依次編號為1，2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法． ①當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有A＝12(種）不同的涂法， 第4個小方格有3種不同的涂法．由分步乘法計數(shù)原理可知，有5×12×3＝180（種） 不同的涂法; ②當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于 相鄰方格不同色，因此,第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知．有5×4×4＝80（種)不同的涂法． 由分類加法計數(shù)原理可得，共有180＋80＝260(種)不同的涂法． 易錯題　(1）把

13、3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有 (　　) A．24種 B．4種 C．43種 D．34種 (2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里,火車有4趟,輪船有3次，問此人的走法可有________種． 易錯分析　解決計數(shù)問題的基本策略是合理分類和分步，然后應(yīng)用加法原理和乘法原理來計算．解決本題易出現(xiàn)的問題是完成一件事情的標(biāo)準(zhǔn)不清楚導(dǎo)致計算出現(xiàn)錯誤，對于(1),選擇的標(biāo)準(zhǔn)不同，誤認為每個信箱有三種選擇，所以可能的投法有34種，沒有注意到一封信只能投在一個信箱中；對于(2)，易混淆“類”與“步"，誤認為到達乙地先坐火車后坐輪船,使用乘法原理計算．

14、解析　（1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法．只要把這3封信投完，就做完了這件事情,由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法． （2）因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(種）． 答案　(1)C?。?)7 溫馨提醒　(1)每封信只能投到一個信箱里，而每個信箱可以裝1封信，也可以裝2封信，其選擇不是唯一的，所以應(yīng)注意由信來選擇信箱，每封信有4種選擇． （2）在處理具體的應(yīng)用問題時，首先必須弄清楚“分類”與“分步"的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么．

15、選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏。 綜合題庫 A組 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． （　×　） （2）在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事． （　√　) （3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的,其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成． (　√　) (4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi（i＝1,2,3，，…,n),那么完成這件事共有m1m2m3…

16、mn種方法． (　√?。? 2． 5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有________種． 答案　32 解析　每位同學(xué)有兩種不同的報名方法，而且只有這5位同學(xué)全部報名結(jié)束,才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32（種）． 3． 有不同顏色的4件上衣與不同顏色的3件長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)是________． 答案　12 解析　由分步乘法計數(shù)原理,一條長褲與一件上衣配成一套,分兩步，第一步選上衣有4種選法，第二步選長褲有3種選法，所以有4×3＝12(種）選法． 4． 甲、乙兩人從4門

17、課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有________種． 答案　24 解析　分步完成．首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2＝24（種）． 5． 用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個．(用數(shù)字作答） 答案　14 解析　數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次,包括以下情況： “2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C＝4（個）四位數(shù)． “2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共

18、可組成C＝6(個)四位數(shù)． “2"出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次,共可組成C＝4(個)四位數(shù)． 綜上所述,共可組成14個這樣的四位數(shù). B組 1． 從集合{1,2，3,…，10｝中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列,這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為 （　?。? A．3 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　按從小到大順序有124，139，248,469共4個，同理按從大到小順序也有4個，故這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為8個． 2. 現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊 界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 （　　）

19、 A．24種 B．30種 C．36種 D．48種 答案　D 解析　共有4×3×2×2＝48（種),故選D. 3． 集合P＝｛x,1}，Q＝｛y，1，2}，其中x,y∈｛1，2，3，…，9｝，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y）作為一個點的坐標(biāo),則這樣的點的個數(shù)是 （　?。? A．9 B．14 C．15 D．21 答案　B 解析　當(dāng)x＝2時，x≠y,點的個數(shù)為1×7＝7（個）;當(dāng)x≠2時，x＝y(tǒng),點的個數(shù)為7×1＝7（個），則共有14個點，故選B。 4． (2013·山東)用0,1，…,9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（　　） A．

20、243 B．252 C．261 D．279 答案　B 解析　0，1，2，…,9共能組成9×10×10＝900（個）三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648（個)． ∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252（個）． 5． (2013·四川)從1，3，5,7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b,共可得到lg a－lg b的不同值的個數(shù)是 （　　) A．9 B．10 C．18 D．20 答案　C 解析　由于lg a－lg b＝lg(a>0，b〉0），從1,3，5,7,9中任取兩個作為有A＝20種,又與相同,與相同,∴l(xiāng)g a－l

21、g b的不同值的個數(shù)有A－2＝20－2＝18，選C. 6． 一個乒乓球隊里有男隊員5名,女隊員4名，從中選取男、女隊員各一名組成混合雙打，共有________種不同的選法． 答案　20 解析　先選男隊員，有5種選法，再選女隊員有4種選法,由分步乘法計數(shù)原理知共有5×4＝20（種)不同的選法． 7． 某次活動中，有30人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列,則不同的選法種數(shù)為________（用數(shù)字作答)． 答案　7 200 解析　其中最先選出的一個人有30種方法,此時不能再從這個人所在的行和列上選人，還剩一個5行4列的隊形，故選第二個人有

22、20種方法,此時不能再從該人所在的行和列上選人,還剩一個4行3列的隊形，此時第三個人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×12＝7 200。 8． 已知集合M＝｛1，－2,3｝，N＝{－4,5,6，－7｝，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是________． 答案　6 解析　分兩類:第一類，第一象限內(nèi)的點,有2×2＝4（個)； 第二類,第二象限內(nèi)的點,有1×2＝2（個）．共4＋2＝6（個)． 9． 某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語，3人會日語

23、，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法? 解　由題意得有1人既會英語又會日語，6人只會英語,2人只會日語． 第一類：從只會英語的6人中選1人說英語,共有6種方法，則說日語的有2＋1＝3(種），此時共有6×3＝18（種）； 第二類：不從只會英語的6人中選1人說英語，則只有1種方法，則選會日語的有2種，此時共有1×2＝2（種）; 所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有18＋2＝20(種）選法． 10．在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息,不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為多少？ 解

24、　方法一　分0個相同、1個相同、2個相同討論． （1）若0個相同，則信息為1001。共1個． （2)若1個相同，則信息為0001,1101,1011，1000。共4個． (3）若2個相同，又分為以下情況： ①若位置一與二相同,則信息為0101； ②若位置一與三相同，則信息為0011; ③若位置一與四相同，則信息為0000； ④若位置二與三相同，則信息為1111; ⑤若位置二與四相同，則信息為1100； ⑥若位置三與四相同，則信息為1010. 共6個． 故與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為1＋4＋6＝11。 方法二　若0個相同,共有1個； 若1個相

25、同，共有C＝4（個)； 若2個相同，共有C＝6(個)． 故共有1＋4＋6＝11（個)． C組 1． 三邊長均為整數(shù),且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為 (　?。? A．24 B．26 C．36 D．37 答案　C 解析　設(shè)另兩邊長分別為x、y，且不妨設(shè)1≤x≤y≤11,要構(gòu)成三角形，必須x＋y≥12。 當(dāng)y取11時，x＝1，2，3，…，11,可有11個三角形； 當(dāng)y取10時，x＝2，3，…,10,可有9個三角形； ……; 當(dāng)y取6時,x只能取6,只有1個三角形． ∴所求三角形的個數(shù)為11＋9＋7＋5＋3＋1＝36. 2． 將1，2，3,4,5，6，7,8

26、，9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法種數(shù)為 (　　) 3 4 A。4 B．6 C．9 D．12 答案　B 解析　如圖所示，根據(jù)題意，1，2，9三個數(shù)字的位置是確定的，余下的數(shù)中,5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依（a，b，c,d）順序，具體有（5,8,6,7）,(5,6，7，8)，(5,7,6,8），（6，7,5,8）,(6，8,5，7),(7,8,5，6），合計6種。 1 2 a 3 4 b c d 9 3. 如圖，一環(huán)形花壇分成

27、A，B，C，D四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種， 要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為 （　　） A．96 B．84 C．60 D．48 答案　B 解析　可依次種A、B、C、D四塊，當(dāng)C與A種同一種花時，有4×3×1×3＝36(種)種法；當(dāng)C與A所種花不同時，有4×3×2×2＝48(種）種法，由分類加法計數(shù)原理,不同的種法種數(shù)為36＋48＝84。 4． 直線方程Ax＋By＝0，若從0,1，2，3,5，7這6個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)作為A、B的值，則可表示________條不同的直線． 答案　22 解析　分成三類:A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠

28、0，B≠0,前兩類各表示1條直線； 第三類先取A有5種取法，再取B有4種取法，故有5×4＝20（種)． 所以可以表示22條不同的直線． 5. 某電子元件,是由3個電阻組成的回路，其中有4個焊點A、B、 C、D，若某個焊點脫落，整個電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通 了，那么焊點脫落的可能情況共有________種． 答案　15 解析　方法一　當(dāng)線路不通時焊點脫落的可能情況共有2×2×2×2－1＝15(種）． 方法二　恰有i個焊點脫落的可能情況為C(i＝1,2,3,4）種,由分類加法計數(shù)原理,當(dāng)電路不通時焊點脫落的可能情況共C＋C＋C＋C＝15(種)． 6． 五名學(xué)生報名參加四項體

29、育比賽，每人限報一項，則報名方法的種數(shù)為________．五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列），獲得冠軍的可能性有________種． 答案　45　54 解析　報名的方法種數(shù)為4×4×4×4×4＝45（種）． 獲得冠軍的可能情況有5×5×5×5＝54（種）． 7． 已知集合A＝｛a1,a2,a3，a4}，B＝｛0,1，2，3}，f是從A到B的映射． （1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個？ (2)若B中的元素0必?zé)o原象,這樣的f有多少個？ （3）若f滿足f（a1）＋f（a2)＋f（a3)＋f（a4)＝4，這樣的f又有多少個？ 解　(1）顯然對應(yīng)是一一對應(yīng)的，即為

30、a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(個)． （2)0必?zé)o原象，1，2,3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法．所以不同的f共有34＝81（個)． (3）分為如下四類： 第一類:A中每一元素都與1對應(yīng)，有1種方法； 第二類：A中有兩個元素對應(yīng)1，一個元素對應(yīng)2,另一個元素與0對應(yīng)，有C·C＝12（種)方法； 第三類，A中有兩個元素對應(yīng)2，另兩個元素對應(yīng)0，有C·C＝6(種）方法； 第四類，A中有一個元素對應(yīng)1，一個元素對應(yīng)3，另兩個元素與0對應(yīng)，有C·C＝12(種）方法． 所以不同的f共

31、有1＋12＋6＋12＝31(個)． 歸納總結(jié) 方法與技巧 1．分類加法和分步乘法計數(shù)原理,都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題,區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事． 2．混合問題一般是先分類再分步． 3．分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏． 4．要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律． 失誤與防范 1．切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行． 2．分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”,分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步． 3．確定題目中是否有特殊條件限制．