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1、第 三 章 導 數 的 應 用 中 值 定 理 洛 必 達 法 則導 數 的 應 用 3.1.2 洛 必 達 法 則2 其 它 類 型 未 定 式 1 00 型 及 型 未 定 式 洛 必 達 法 則 【 目 的 要 求 】 了 解 洛 必 達 法 則 的 適 用 條 件 ， 熟 練 掌 握用 洛 必 達 法 則 求 各 種 類 型 未 定 式 的 極 限 . 【 重 點 、 難 點 】 用 洛 必 達 法 則 求 各 種 類 型 未 定 式 的 極 限 .3.1.2 洛 必 達 法 則 洛 必 達 法 則定 理 1 ( )f x ( )g x如 果 函 數 及 滿 足 ：lim ( ) li
2、m ( )（ 或 ）x a x af x g x （ 2） 在 點 a的 某 個 去 心 鄰 域 內 ， ( )，f x ( )g x 均 可 導 ，( ) 0且 g x lim ( ) lim ( ) 0 x a x af x g x （ 1） ( )lim ( )( )（ 3） x a f x Ag x ( ) ( )lim lim ( )( ) ( )則 （ 為 常 數 ）x a x af x f x A Ag x g x 說 明 在 一 定 條 件 下 通 過 分 子 分 母 分 別 求 導洛 必 達 法 則 推 論推 論 ( ) ( )如 果 函 數 及 滿 足 ：f x g xli
3、m ( ) lim ( ) 0 lim ( ) lim ( )（ 1） （ 或 ）x x x xf x g x f x g x ( ), ( ) ,（ 2） 在 點 的 某 個 去 心 鄰 域 內 ， 均 可 導a f x g x( ) 0且 g x ( )lim ( )( )（ 3） x f x Ag x ( ) ( )lim lim ( )( ) ( )則 （ 為 常 數 ）x xf x f x A Ag x g x 數 再 求 極 限 的 方 法 稱 為 洛 必 達 法 則 . 例 1 0 sinlim ( 0)sin求 x ax bbx 解 0 sinlim sinx axbx 0 s
4、inlim sinx axbx 0 coslim cosx a ax ab bx b 0001 0 型 及 型 未 定 式 洛 必 達 法 則 例 2解 33 21 3 2lim 1求 x x xx x x 33 21 3 2lim 1x x xx x x 31 3 23 2lim 1x x xx x x 221 3 3lim 3 2 1x xx x 1 6lim 6 2x xx 32 000001 0 型 及 型 未 定 式 洛 必 達 法 則 20 sinlim sinx x xx x 例 3 求 極 限解 0 x sin x x20 sinlim sinx x xx x 20 1 cos
5、lim 3x xx 0 sinlim 6x xx 16 適 當 使 用 等 價 無 窮小 替 換 ， 再 使 用 洛必 達 法 則 ， 可 簡 化極 限 運 算 。30 tanlim sinx x xx 30 tanlimx x xx 220 1 seclim 3x xx 13練 習 30 sinlimx x xx 00 01 0 型 及 型 未 定 式 洛 必 達 法 則 （ 2） 由 此 可 見 ， 在 使 用 洛 必 達 法 則 時 應 步 步 （ 1） 例 2中 已 不 是 未 定 式 ， 不 能1 6lim 6 2x xx 再 使 用 洛 必 達 法 則 ， 否 則 導 致 錯 誤
6、的 結 果 .整 理 、 步 步 判 別 .如 果 不 是 未 定 式 就 堅 決 不 能 用 洛必 達 法 則 .【 注 意 】 （ 3） 使 用 洛 必 達 法 則 時 ， 是 對 分 子 、 分 母 分 別 求導 ， 而 不 是 對 它 們 的 商 求 導 。01 0 型 及 型 未 定 式 洛 必 達 法 則 例 4解 lim ( 0)求 為 正 整 數 ，nxx x ne lim nxx xe lim nx xxe 1lim n xx nxe 22( 1)lim nxx n n xe !lim n xx ne 0 01 0 型 及 型 未 定 式 洛 必 達 法 則 【 關 鍵 】
7、將 以 上 其 它 類 型 未 定 式 化 為 洛 必 達 法 10 0100 或注 ： 以 下 寫 法 僅 是 記 號 , . 001.0 型 未 定 式 解 法 2 其 它 類 型 的 未 定 式),00( )( 則 可 解 決 的 類 型【 步 驟 】 2 其 它 類 型 的 未 定 式例 5解 lim ( arctan )2求 x x x lim ( arctan )2x x x arctan2lim 1x xx 00 02211lim 1x xx 2 2lim 1x xx 1 1 10 0 0 00 0 00 2 其 它 類 型 的 未 定 式2. - 型 未 定 式 解 法例 6解
8、 2lim(sec tan )求 x x x 2lim(sec tan )x x x 2 1 sinlim cosx xx 00 2 coslim sinx xx 0【 步 驟 】 【 步 驟 】2 其 它 類 型 的 未 定 式3.00， 1， 0 型 未 定 式 解 法【 說 明 】 該 型 未 定 式 屬 于 冪 指 函 數 類 未 定 式 .000 0 ln01 ln10 ln取 對 數 0 2 其 它 類 型 的 未 定 式0lim求 xx x例 7解 ln0lim x xx e0lim xx x0lim lnx x x 0 0 lnlim 1x xx00 0 21lim 1x xx
9、 0limx x 000lim 1xx x e lnMM e ln v v uu e 2 其 它 類 型 的 未 定 式例 8解 10lim( )求 x xx x e 10lim( )x xx x e 1 1 ln( )0lim xx exx e 0 1lim ln( )xx x ex 0 ln( )lim xx x ex 0 1lim xxx ex e 2001 20lim( )x xx x e e 極 限 振 蕩 不 存 在故 洛 必 達 法 則 失 效 .但 【 注 意 】 洛 必 達 法 則 的 條 件 是 充 分 條 件 ， 但 不 是 2 其 它 類 型 的 未 定 式sinlim
10、求 x x xx 例 9解 1 coslim 1原 式 x x lim(1 cos )x x sinlim(1 )原 式 x xx 1必 要 條 件 . 【 小 結 】 1. 對 于 兩 種 標 準 類 型 未 定 式 的 極 限 可 直 接 使 用洛 必 達 法 則 求 極 限 ； 如 果 配 合 等 價 無 窮 小 的 替 換等 其 它 方 法 使 用 ， 效 果 會 更 佳 . 2. 對 于 其 它 類 型 的 未 定 式 ， 要 先 將 其 化 為 標 準類 型 的 未 定 式 ， 然 后 再 利 用 洛 必 達 法 則 求 極 限 . 洛 必 達 法 則 型00 ,1,0 型 型0型
11、00 型 其 中 之 一 取 倒 數取 倒 數 、 通 分 uvv eu ln指 數 代 換 【 思 考 題 】1 洛 必 達 法 則 能 不 能 求 解 ？2 20 1lim sinx x x 解 因 為 2 20 1lim sinx x x 20 21sinlim 1x xx 20 1limcosx x極 限 不 存 在 ， 所 以 不 能 用 洛 必 達 法 則 求 解 . 實 際 上2 20 1lim sin 0 x x x 2 設 函 數 的 二 階 導 函 數 連 續(xù) ，( )f x且 ， 試 求 20 ( )limx f x xx (0) 0, (0) 1, (0) 2f f f 解 20 ( )limx f x xx 0 ( ) 1lim 2x f xx 0 ( )lim 2x f x (0) 12f 練 習 題 用 洛 必 達 法 則 求 下 列 極 限 ： 1、 22 )2( sinlnlim xxx ； 2、 xxx arctan )11ln(lim ； 3、 xxx 2cotlim0 ； 4、 )1112(lim 21 xxx ； 5、 xx xsin0lim ； 6、 xx x tan0 )1(lim ； 7、 xx x)arctan2(lim ； 8、 xxx 2tanln 7tanlnlim0 .
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