采樣系統(tǒng)復(fù)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換

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1、1 傅里葉級(jí)數(shù)與變換內(nèi)容提要傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜分析卷積和卷積定理抽樣信號(hào)的傅里葉變換和抽樣定理 2 傅里葉生平 1768年生于法國(guó) 1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示” 1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對(duì)發(fā)表 1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論” 一書中 3 傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn) “周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn) 4 頻域分析：傅里葉變換，自變量為 j 復(fù)頻域分析：拉氏變換, 自變量為 S = +

2、j Z域分析：Z 變換，自變量為z TjsT eez )( 一 變換域分析 5 周期信號(hào)可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級(jí)數(shù)：. 三角函數(shù)式的 傅立里葉級(jí)數(shù) cosn1t, sinn1t. 復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù) e j n 1t 二 周期信號(hào)的頻譜分析 6 1 三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù): 11 2T )sincos()( 11101 tnbtnaatf nnn 直流分量基波分量n =1 諧波分量n1 1n 7 100 ).(110 Ttt dttfTa 10 0 .cos).(2 11 Tttn dttntfTa dttntfTb Tttn .sin).(2 100 11 直流系數(shù)余弦分量系

3、數(shù)正弦分量系數(shù) 8 狄利赫利條件： 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即 一般周期信號(hào)都滿足這些條件. 0 10 ( ).t Tt f t dt 9 三角函數(shù)是正交函數(shù))2.3(0.sin.cos 11100 dttmtnTtt )3.3()( )(0sinsin 00 1211 nm nmtdtmtnTtt T )3.3()( )(0coscos0 0 1211 nm nmtdtmtnTtt T 10 周期信號(hào)的另一種三角函數(shù)正交集表示0 11( ) ( )n nnf t C C COS n t )sin(.)( 1 10 nn n tndd

4、tf 11 比較幾種系數(shù)的關(guān)系000 dCa 22 nnnn badC nnn batg nn nbtg a cos sinn n n n na C d sin cosn n n n nb C d 12 周期函數(shù)的頻譜：周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移， Cn 1 1n )(n 1 1n 13 2 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)由前知由歐拉公式其中)sincos()( 11101 tnbtnaatf nnn tjn n enFtf 1)()( 1 )(21)( 1 nn jbanF )(21)( 1 nn jbanF 0)0( aF 引入了負(fù)頻率 14

5、 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)nFnF )( 1 100 1)(11 Ttt tjnn dtetfTF 0000 adcF )(21 nnjnn jbaeFF n )(21 nnjnn jbaeFF n 兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系 15 周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖 n nFnF1 111n 1n 1n0 00 16 兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系22212121 nnnnnn badcFF nnn cFF nnn aFF nnn bFFj )( nnnnnn FFbadc 42222 17 3 周期信號(hào)的功率特性 P為周期信號(hào)的平均功率符合帕斯瓦爾定理 10 0 ).(1)( 212 Ttt dttfT

6、tfP 1 2n nFP 18 4 對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)三種對(duì)稱：偶函數(shù) ：f (t )=f (-t)奇函數(shù) ：f (t )= - f (-t)奇諧函數(shù) ：半周期對(duì)稱任意周期函數(shù)有： 偶函數(shù)項(xiàng) 奇函數(shù)項(xiàng))2()( 1nTtftf )sincos()( 11101 tnbtnaatf nnn 19 周期偶函數(shù)只含直流和其中a是實(shí)數(shù) bn=0 Fn是實(shí)數(shù)tnaatf n n 110 cos)( tnan 1cos 100 .cos)(4 11 Tttn dttntfTa 2nnn aFF tjn n enFtf 1)()( 1 20 例如:周期三角函數(shù)是偶函數(shù).)5cos 2513cos91(co

7、s42)( 1112 tttEEtf Ef(t)T1/2-T1/2 t 21 周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng)tnbtf nn 11 sin)( 10 11 .sin).(4 Tn dttntfTb 000 naaFn為虛數(shù)2nn n bF F j 22 例如周期鋸齒波是奇函數(shù).)3sin 312sin21(sin)( 111 tttEtf E/2-E/2T1/2-T1/2 f(t) t0 23 奇諧函數(shù) ：)2()( 1Ttftf l沿時(shí)間軸移半個(gè)周期；l 反轉(zhuǎn)；l 波形不變；l半周期對(duì)稱 24 奇諧函數(shù) 的波形： f(t) T1/2-T1/2 0 t 25 奇諧函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為

8、0 dtttfTa T .cos)(4 20 111 1 dtttfTb T .sin)(4 20 111 1 a2 0 , b2 02 nnn jbaF 26 例：利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次諧波的余弦分量周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次次諧波的正弦分量 27 含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量 28 三 典型周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期半波脈沖信號(hào)周期全波脈沖信號(hào) 29 1 周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜 30 n tjnneFtf 1)( 2 )2sin( )()( 1 1 11

9、2/2/11 221 111 n nTE eejnT E dtEeTF jnjn tjnn )( 1TnSa )2(0 )2()(1 ttEtf 31n 2 42 4 22 112 T )(, 1110 TnSaTEFTEF n 32 33 頻譜分析表明離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密。各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比。各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化。過零點(diǎn)為：主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主帶寬度為：)( 1TnSa m2 2B 34 周期矩形的頻譜變化規(guī)律：若T不變，在改變的情況若不變，在改變T時(shí)的情況 22 112 T1 2 35 對(duì)稱方波是周期矩形的特例

10、.5cos513cos31cos2)( 111 tttEtf )( 11 TnSaTEFn n tjnneFtf 1)( 36 對(duì)稱方波的頻譜 37 對(duì)稱方波的頻譜變化規(guī)律 1 13 15 15131 13 nna na)(tx 17 38 n tjnneFtf 1)( dtetfTF tjnn 2 2 11 )(1 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)T 1 信號(hào)的周期脈寬基波頻率1傅立葉級(jí)數(shù)小結(jié) 39 四 非周期信號(hào)的頻譜分析當(dāng)周期信號(hào)的周期T1無限大時(shí),就演變成了非周期信號(hào)的單脈沖信號(hào)1T d T 0211 1n頻率也變成連續(xù)變量 40 頻譜演變的定性觀察)( 1nF1 1)(nF )( 1nF

11、22 11 2T 1 41 從周期信號(hào)FS推導(dǎo)非周期的FT n tjnenFtf 1).()( 1 dtetfTnF TT tjn .).(1)( 2121 111 dtetfnF tjn .).(2).( 111 ( ) ( ). .j tF f t e dt 42 傅立葉的逆變換 n tjnenFtf 11).()( 111 1 .)()( tjnn enFtf )(.2 )( 111 neF tjnn dnnT )(0 1111 n)()( 1 FnF deFtf tj.)(21)( 43 三。從物理意義來討論FT (a) F()是一個(gè)密度函數(shù)的概念 (b) F()是一個(gè)連續(xù)譜 (c)

12、F()包含了從零到無限高 頻的所有頻率分量 (d) 各頻率分量的頻率不成諧波 關(guān)系 44 傅立葉變換一般為復(fù)數(shù)FT一般為復(fù)函數(shù))()()( jeFF deF deFtf tj tj )(21 21 )( )()(若f(t)為實(shí)數(shù)，則幅頻為偶函數(shù),相頻為奇函數(shù) dtFtf )(cos()()( 21 45 傅立葉變換存在的充分條件 dttf )( 46 單邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)矩形脈沖信號(hào)符號(hào)函數(shù)沖激函數(shù)信號(hào)沖激偶函數(shù)信號(hào)階躍函數(shù)信號(hào)四 典型非周期信號(hào)的頻譜 47 信號(hào)表達(dá)式幅頻相頻 )0(0 )0()( ttetf t )0(1)()( jdtetfF tj 221)( F )()( arct

13、g單邊指數(shù)信號(hào) 48 49 )()( tetf t 222)( F 0)( f(t)0 t 0雙邊指數(shù)信號(hào) 50 51 )(0 )()( 22ttEtf )()sin( )sin()( 22 2 222/ 2/ SaEE dtEeF Etj )()( 2 SaEF )( )(0)( )1(4)12(2 )12(24 nn nn 矩形脈沖信號(hào) 52 53 )0(1 )0(1)sgn()( ttttf ).sgn(lim)(lim)( 010 taaa ettftf ja jFF aa 22lim)(lim)( 22010 2)( F )0( )0()( 22 符號(hào)函數(shù) 54 55 五 沖激函數(shù)傅立葉變換對(duì) 1)()( dtetF tj 1 t0 )(t )(F 21)(21 )(1 deFT tj 1)( tf10 t 2)( 2 0 0 56 沖激偶的傅立葉變換 det tj21)( dejtdtd tj)()( 21 jtdtdFT )(nnn jtdtdFT )()( )()(2)( tdtdjtFT nnnn 1)( tFT 57 六 階躍信號(hào)的傅立葉變換)sgn()( 2121 ttu jtuFT 1)()( )(F u(t)0 t0