《2020年考研數(shù)學(xué)真題及答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年考研數(shù)學(xué)真題及答案（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、考研數(shù)學(xué)二真題一 填空題(84=32分)2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：18小題，每小題8分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。（1）函數(shù)與是等價無窮小，則（）（A）1（B）2（C）3（D）無窮多個（2）當時，與是等價無窮小，則（）（A）（B）（C）（D）（3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點（0，0）（）（A）不是的連續(xù)點（B）不是的極值點（C）是的極大值點（D）是的極小值點（4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則=（）（A）（B）（C）（D）（5）若不變號，且曲線在點（1，1）的曲率圓為，則在區(qū)間（1，2）內(nèi)（）（A）有極值點，無零點
2、（B）無極值點，有零點（C）有極值點，有零點（D）無極值點，無零點（6）設(shè)函數(shù)在區(qū)間-1,3上的圖形為 則函數(shù)為（）（7）設(shè)、B均為2階矩陣，分別為A、B的伴隨矩陣。若|A|=2，|B|=3，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（）（A）（B）（C）（D）（8）設(shè)A，P均為3階矩陣，為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且A，若，則為（）（）（）（）（）二、填空題：9-14 小題，每小題 4分，共 24 分，請將答案寫在答題紙指定位置上。（9）曲線在（0，0）處的切線方程為_（10）已知，則k=_（11）=_（12）設(shè)是方程確定的隱函數(shù)，則=_（13）函數(shù)在區(qū)間(0,1上的最小值為_（14）設(shè)為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若相似于，則
3、=_三、解答題：15-23 小題，共 94 分。請將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分9分）求極限（16）（本題滿分10分）計算不定積分（17）（本題滿分10分）設(shè)，其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與（18）（本題滿分10分）設(shè)非負函數(shù)y=y(x)(x0)，滿足微分方程，當曲線y=y(x)過原點時，其與直線x=1及y=0圍成平面區(qū)域的面積為2，求D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中（20）（本題滿分12分）設(shè)y=y(x)是區(qū)間內(nèi)過點的光滑曲線，當時，曲線上任一點處的發(fā)現(xiàn)都過原點，當時，函數(shù)y(x)滿足。求y(x)的
4、表達式。（21）（本題滿分11分）（I）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在a,b上連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，則存在，使得。（II）證明：若函數(shù)在x=0處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則存在，且。（22）（本題滿分11分）設(shè)（I）求滿足的所有向量；（II）對（I）中的任一向量，證明：線性無關(guān)。（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型（I）求二次型的矩陣的所有特征值；（II）若二次型的規(guī)范形為，求a的值。2008考研數(shù)學(xué)二真題一、選擇題：（本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）(1)設(shè)，則的零點個數(shù)為( )(A) 0. (B) 1. (C)
5、2. (D) 3(2)曲線方程為，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分在幾何上表示( ) (A) 曲邊梯形的面積 (B) 梯形的面積(C) 曲邊三角形面積 (D) 三角形面積(3)在下列微分方程中，以（為任意的常數(shù)）為通解的是( )(A) . (B) .(C) . (D) .(4) 判定函數(shù)間斷點的情況( )(A) 有1可去間斷點，1跳躍間斷點(B) 有1跳躍間斷點，1無窮間斷點(C) 有2個無窮間斷點. (D)有2個跳躍間斷點. (5)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是( )(A) 若收斂，則收斂 (B) 若單調(diào)，則收斂 (C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調(diào)，則收斂. (6)設(shè)函數(shù)
6、連續(xù)，若，其中區(qū)域為圖中陰影部分，則( )(A) (B) (C) (D) (7)設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣若，則下列結(jié)論正確的是( )(A) 不可逆，不可逆. (B) 不可逆，可逆.(C) 可逆， 可逆. (D) 可逆， 不可逆.(8) 設(shè)，則在實數(shù)域上，與A合同矩陣為( )(A) . (B) . (C) . (D) . 二、填空題：（914小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上）(9)已知函數(shù)連續(xù)，且，則(10)微分方程的通解是 .(11)曲線在點處的切線方程為 .(12)曲線的拐點坐標為 .(13)設(shè)，則 .(14)設(shè)3階矩陣的特征值為若行列式，則_.三、解答題(1523小題
7、，共94分)(15)(本題滿分9分)求極限(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問題的解，求(17)（本題滿分9分）計算(18)(本題滿分11分)計算，其中(19)(本題滿分11分)設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且對任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體，若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達式(20)(本題滿分11分)(I) 證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點，使得；(II) 若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，證明至少存在一點，使得(21)(本題滿分11分)求函數(shù)在約束條件和下的最大值和最小值(22) (
8、本題滿分12分)設(shè)元線性方程組，其中 ， （I）證明行列式；（II）當為何值時，該方程組有惟一解，并求（III）當為何值時，該方程組有無窮多解，并求其通解(23) (本題滿分10分)設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足，(I)證明線性無關(guān)；(II)令，求2007年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（1）當時，與等價的無窮小量是 （A） （B） （C） （D） （2）函數(shù)在上的第一類間斷點是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D）（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上
9、的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是： （A） (B) （C） （D） （4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （B）若存在，則 （D）若存在，則. （5）曲線的漸近線的條數(shù)為（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若 ，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. （7）二元函數(shù)在點處可微的一個充要條件是（A）.（B）.（C）.（D）.（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（A
10、） （B）（C） （D）（9）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是線性相關(guān)，則(A) (B) (C) .(D) . （10）設(shè)矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空題：1116小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） _.（12）曲線上對應(yīng)于的點處的法線斜率為_.（13）設(shè)函數(shù)，則_.（14） 二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為_.（15） 設(shè)是二元可微函數(shù)，則 _.（16）設(shè)矩陣，則的秩為 . 三、解答題：1724小題，共86分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17） (本題滿分
11、10分)設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求.（18）（本題滿分11分） 設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域. （）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積； （）當為何值時，最小？并求此最小值.（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解（20）（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設(shè)，求.（21） (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在，使得.（22） (本題滿分11分) 設(shè)二元函數(shù)，計算二重積分，其中.（23） (本題滿分11分) 設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.1.【分析】本題為等價
12、無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可.【詳解】當時， 故用排除法可得正確選項為（B）. 事實上， 或.所以應(yīng)選（B）【評注】本題為關(guān)于無窮小量比較的基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算. 2【分析】因為函數(shù)為初等函數(shù)，則先找出函數(shù)的無定義點，再根據(jù)左右極限判斷間斷點的類型.【詳解】函數(shù)在均無意義， 而； ； . 所以為函數(shù)的第一類間斷點，故應(yīng)選（A）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 對初等函數(shù)來講，無定義點即為間斷點，然后再根據(jù)左右極限判斷間斷點的類型；對分段函數(shù)來講，每一分段支中的無定義點為間斷點，而分段點也可能為間斷點，然后求左右極限進行判斷.段函數(shù)的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義
13、，可得 ， . 所以 ，故選（C）.【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡便.4【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系. 由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去進行判斷，然后選擇正確選項.【詳解】取，則，但在不可導(dǎo)，故選（D）. 事實上， 在(A),(B)兩項中，因為分母的極限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得.在（C）中，存在，則，所以(C)項正確，故選(D)【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效. 5【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平
14、漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】， 所以 是曲線的水平漸近線； ，所以是曲線的垂直漸近線； ， ，所以是曲線的斜漸近線. 故選（D）.【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意當時的極限不同.6【分析】本題依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷數(shù)列. 由于含有抽象函數(shù)，利用賦值法舉反例更易得出結(jié)果.【詳解】選（D）. 取，而發(fā)散，則可排除（A）；取，而收斂，則可排除（B）；取，而發(fā)散，則可排除（C）； 故選（D）.事實上，若，則. 對任意，因為，所以， 對任意，. 故選（D）.【評注】對于含有抽象函數(shù)的
15、問題，通過舉符合題設(shè)條件的函數(shù)的反例可簡化計算.7.【分析】本題考查二元函數(shù)可微的充分條件. 利用可微的判定條件及可微與連續(xù)，偏導(dǎo)的關(guān)系.【詳解】本題也可用排除法，（A）是函數(shù)在連續(xù)的定義；（B）是函數(shù)在處偏導(dǎo)數(shù)存在的條件；（D）說明一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但不能推導(dǎo)出兩個一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(0,0) 處連續(xù)，所以（A）（B）（D）均不能保證在點處可微. 故應(yīng)選（C）. 事實上， 由可得 ，即同理有從而 = .根據(jù)可微的判定條件可知函數(shù)在點處可微，故應(yīng)選(C). 【評注】二元函數(shù)連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)存在均不能推出可微，只有當一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時，才可微.8,【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分
16、區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設(shè)可知，則， 故應(yīng)選（B）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 畫圖更易看出.9.【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組構(gòu)造的另一向量組的線性相關(guān)性. 一般令，若，則線性相關(guān)；若，則線性無關(guān). 但考慮到本題備選項的特征，可通過簡單的線性運算得到正確選項.【詳解】由可知應(yīng)選（A）.或者因為，而， 所以線性相關(guān)，故選（A）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項.10.【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得的特征值，并考慮到實對稱矩陣
17、必可經(jīng)正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案. 【詳解】 由可得， 所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0. 所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以與合同，故選（B）.【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通過計算與的特征值可立即排除（A）（C）.11【分析】本題為未定式極限的求解，利用洛必達法則即可.【詳解】.【評注】本題利用了洛必達法則. 本題還可用泰勒級數(shù)展開計算. 因為 ， 所以 .12.【分析】本題考查參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【詳解】因為，所以曲線在對應(yīng)于的點的切線斜率為，故曲線在對應(yīng)于的點的法線斜率為.【評注】
18、本題為基礎(chǔ)題型.13.【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式.【詳解】，則，故.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.14.【分析】本題求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解，利用二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)求解，即先求出對應(yīng)齊次方程的通解，然后求出非齊次微分方程的一個特解，則其通解為 .【詳解】對應(yīng)齊次方程的特征方程為 ， 則對應(yīng)齊次方程的通解為 . 設(shè)原方程的特解為 ，代入原方程可得 ， 所以原方程的特解為， 故原方程的通解為 ，其中為任意常數(shù).【評注】本題為基礎(chǔ)題型.15【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可.【詳解】利用求導(dǎo)公式可得， 所以.【評注】二元復(fù)合函數(shù)求
19、偏導(dǎo)時，最好設(shè)出中間變量，注意計算的正確性.16【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩.【詳解】.【評注】本題考查矩陣的運算和秩，為基礎(chǔ)題型.17【分析】對含變上限積分的函數(shù)方程，一般先對x求導(dǎo)，再積分即可.【詳解】 兩邊對求導(dǎo)得 ，（）兩邊積分得. （1）將代入題中方程可得 .因為是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，則的值域為，單調(diào)非負，所以. 代入（1）式可得，故.【評注】利用變限積分的可導(dǎo)性是解函數(shù)方程的方法之一. 18.【分析】V(a)的可通過廣義積分進行計算，再按一般方法求V(a) 的最值即可【詳解】（）.（）令，得. 當時，單調(diào)增加； 當時，單調(diào)減少. 所以在取得極大值，即為最大值，且最大值
20、為.【評注】本題為定積分幾何應(yīng)用的典型問題，需記憶相關(guān)公式，如平面圖形的面積，繞坐標軸的旋轉(zhuǎn)體的體積公式等.19.【分析】本題為不含的可降階方程，令，然后求解方程.【詳解】本題不含，則設(shè)，于是，原方程變?yōu)?， 則 ，解之得，將代入左式得 ， 于是 ，結(jié)合得， 故 .【評注】本題為基礎(chǔ)題型.20.【分析】本題實質(zhì)上是二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，注意需用隱函數(shù)求導(dǎo)法確定.【詳解】令，則. 兩邊對求導(dǎo)得 ，又，可得 在兩邊對求導(dǎo)得 . 所以 . . 【評注】也可利用兩邊對求導(dǎo)得 可得. 21【分析】由所證結(jié)論可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明.【詳解】令，則在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且.
21、（1）若在內(nèi)同一點取得最大值，則， 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 存在，使得，即.（2）若在內(nèi)不同點取得最大值，則，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 ，存在，使得，即.【評注】對命題為的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗證為的最值或極值點，利用極值存在的必要條件或費爾馬定理可得證； 方法二：驗證在包含于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理條件. 22.【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分.【詳解】因為被積函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以 ，其中為在第一象限內(nèi)的
22、部分. 而 . 所以 .【評注】被積函數(shù)包含時, 可考慮用極坐標，解答如下：.23【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組其系數(shù)矩陣.顯然，當時無公共解.當時，可求得公共解為 ,為任意常數(shù)；當時，可求得公共解為 .【評注】本題為基礎(chǔ)題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結(jié)構(gòu).（24） (本題滿分11分)設(shè)三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（II）求矩陣. 【分析】本題考查實對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì). 【詳解】（I）
23、， 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設(shè)的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交，可得. 即 ，解方程組可得的屬于1的特征向量 ，其中為不全為零的任意常數(shù). 由前可知的屬于2的特征向量為 ，其中不為零.（II）令，由（）可得，則 .【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為的形式. 請記住以下結(jié)論：（1）設(shè)是方陣的特征值，則分別有特征值 可逆），且對應(yīng)的特征向量是相同的. （2）對實對稱矩陣來講，不同特征值所對應(yīng)的特征向量一定是正交的精品 Word 可修改 歡
24、迎下載 親愛的用戶：煙雨江南，畫屏如展。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，感謝你的閱讀。1、最困難的事就是認識自己。21.4.274.27.202100:0500:05:354月-2100:052、自知之明是最難得的知識。二二一二二一年四月二十七日2021年4月27日星期二3、越是無能的人，越喜歡挑剔別人。00:054.27.202100:054.27.202100:0500:05:354.27.202100:054.27.20214、與肝膽人共事，無字句處讀書。4.27.20214.27.202100:0500:0500:05:3500:05:355、三軍可奪帥也。星期二, 四月 27, 2021四月 21星期二, 四月 27, 20214/27/20216、最大的驕傲于最大的自卑都表示心靈的最軟弱無力。12時5分12時5分27-4月-214.27.20217、人生就是學(xué)校。21.4.2721.4.2721.4.27。2021年4月27日星期二二二一二二一年四月二十七日8、你讓愛生命嗎，那么不要浪費時間。00:0500:05:354.27.2021星期二, 四月 27, 2021
2020年考研數(shù)學(xué)真題及答案
