《《高數(shù)教學課件》第三節(jié)高階導數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《高數(shù)教學課件》第三節(jié)高階導數(shù)（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、二、高階導數(shù)的運算法則第 三 節(jié)一、高階導數(shù)的概念 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高 階 導 數(shù) 第二章 一、高階導數(shù)的概念)(tss 速度即sv 加速度,ddtsv tva dd )dd(dd tst即)( sa引例：變速直線運動 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義1若函數(shù))(xfy 的導數(shù))(xfy 可導,或,dd 22xy即)( yy或)dd(dddd 22 xyxxy 類似地 , 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù) ,1n階導數(shù)的導數(shù)稱為 n 階導數(shù) ,y ,)4(y )(, ny或,dd 33xy ,dd 44xy nnxydd,)(xf的二階導數(shù) ,記作y)(xf 的導數(shù)為依次
2、類推 ,分別記作則稱 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精確定義:設函數(shù) y=f(x)在點x的某個鄰域內(nèi)可導,如果極限x xfxxfx )()(lim0存在,則稱這個極限值為函數(shù)y=f(x)在點x處的二階導數(shù). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設.,e2 yxy x 求解: )e( 2 xxy xx e)( 2 xxxy e)2( 2 )e)(2( 2 xxxxx e)22( )e(2 xx例45. xxx e)2( 2 .)42(e 2xxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxe2 xx e2 xxx )e2( 2 設.),1ln( 2 yxy 求解: )1ln( 2 xy 21
3、 1x )12( 2 x xy 22 22 )1( )1(2)1()2( x xxxx222 )1( 22)1(2 x xxx )1( 2 x 例46. .)1( )1(2 22 2 xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,122 x x 設.)(,)(),()()( 2 afxxaxxf 求連續(xù)且解:所以因為,0)( af ax afxfaf ax )()(lim)( )(af ax xaxax )()(lim 2例47. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(lim xaxax ,0ax afxfax )()(lim ax xaxxaxax )()()()(2lim 2 )()()
4、(2lim xaxx ax .)(2 a 設,2210 nnxaxaxaay 求.)(ny解: 1ay xa22 1 nnxan 212 ay xa323 2)1( nnxann依次類推 , nn any !)( 233 xa例48.思考: 設,)(為任意常數(shù)xy ?)( ny nn xnx )1()2)(1()( )( 問可得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)1( nx ,3 xaeay 例49. 設求解:特別有:解: !n思考: ,xaey .)(ny,xaeay ,2 xaeay xann eay )( xnx ee )()(例50. 設,11xy 求.)(ny,)1( 1 2x
5、y ,)1( 12 3xy ,)1( 321)1( 43 xy )(ny 1)1( n,1 1xy )(ny 2)1( 1xy 1)1( ! nxn 3)1( 21 xy , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nx)1( 解: !)1( n規(guī)定 0 ! = 1思考:例51. 設,)1(ln xy 求.)(ny,11xy ,)1( 1 2xy ,)1( 21)1( 32 xy )(ny 1)1( n,)1(ln xy )(ny xy 11ynxn )1( !)1( 2)1( 1x, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例52 設,sinxy 求.)(ny解: xy cos )sin( 2 x)
6、cos( 2 xy )sin( 22 x)2sin( 2 x )2cos( 2 xy )3sin( 2 x一般地 , xx n sin()(sin )(類似可證: xx n cos()(cos )( )2n )2n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意：例48、49、50、51、52可以當做結(jié)論使用. 例53 設bxey xa sin解: bxaey xa sin )cossin( xbbxbae xa 求為常數(shù),),( ba .)(nybxbe xa cos )cossin( 222222 xbba bxbba aba cos sinxae )sin(22 bxba )arctan( a
7、b22 bay )sin( bxae xa2)( )( nny xaeba 22 )arctan( ab)2sin(22 bxba )sin( nbxe xa )cos( bxbe xa 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習. 設,3)( 23 xxxxf 求使)0()(nf存在的最高分析: )(xf 0 x,4 3x 0 x,2 3xxxf x 02lim)0( 30 0 xxf x 04lim)0( 30 0 0 x 0 x )(xf ,12 2x ,6 2x )0(f xxx 20 6lim 0 )0(f xxx 20 12lim 0 )(xf但是,12)0( f ,24)0( f
8、)0(f 不存在 ._n 2又0 x,24x 0 x,12x階數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、高階導數(shù)的運算法則都有 n 階導數(shù) , 則)()(.1 nvu )()( nn vu )()(.2 nuC )(nuC (C為常數(shù))()(.3 nvu vu n)( !2 )1( nn! )1()1( k knnn vu n )2( )()( kkn vu )(nvu萊布尼茲(Leibniz) 公式)(xuu 及)(xvv 設函數(shù) vun n )1( 推導 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vu 3)( vu vuvu )( vu )( vuvu vuvu 2 vu )( vu vu vu 3
9、 vu 用數(shù)學歸納法可證萊布尼茲公式成立 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy 121 1)( )1( !)1(2 nnn xny xxxy 1112 3,)1( ! 1)( nxny nn例54. .,11 )(nyxxy求設 xxy 1 3練習解: 解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 321 131 xy )()( 321 131 nn xy 例55. .)0(,32 1 )(nyxy求設解: 由例50及n階導數(shù)的運算法則，可得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 311)321( !)1(31 nnxn )(321 1 nx .)32( n 1)( 3 !2)1()0( n
10、 nnn ny于是 )1)(2( 1 xxy )()( 1121 nn xxy 例56. .)0(,231 )(2 nyxxy求設解: 因為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(21 nx 1)2( !)1( nnx n )(11 nx )1( 1)2( 1 xx 1)1( !)1( nnx n .)1( 1)2( 1!)1( 11 nnn xxn 故 ._)0(,32 12007 )( nyxy則設函數(shù)年)()()()( 321 131321 13132 1 nnnn xxxy 解 nnnx n )32()321( !)1(31 1 .3 !2)1()32(1 !)1(31)0( 1)(
11、 n nnnnn nny故 例57 設,22 xexy 求.)20(y解: 設, 22 xveu x 則xkk eu 2)( 2 ,2xv ,2v0)( kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(y xe2202 2x xe219220 x2 !21920 2xe2202 )9520( 2 xx xe2182)20,2,1( k )20,3( k 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .,cossin58 )(66 nyxxy求設例 3232 )(cos)(sin xxy xxxx 4224 coscossinsin 222 )cos(sin xx x2sin431 283)( ny n4 33 ba
12、 )( ba )( 22 baba x4cos8385 )4cos( 2nx 2 2cos1sin2 xx 22 cossin3解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0!2 )1( )1( nynn )(nyn練習 設,arctanxy 求).0()(ny解: ,1 1 2xy 即1)1( 2 yx用萊布尼茲公式求 n 階導數(shù))1( 2x x2 2令,0 x得)0()1()0( )1()1( nn ynny ),2,1( n由,0)0( y得,0)0( y ,0)0()4( y , )0()12( my )0()12(2 )12( mymm )0(!)2()1( ym m 0)0()2(
13、my )1(ny 12,!)2()1( 2,0)0()( mnm mny mn即),2,1,0( m由,1)0( y得)0(!)2()1()0()12( ymy mm 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)(1) 逐階求導法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導數(shù)的求法 )(1 nxa 1)( !)1( nn xa n )(1 nxa 1)( ! nxa n如, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)(! nxfn2. (填空題) (1) 設,cos)23()( 162 2xnxxxf 則)2()(nf )(xf 16cos)1( 2xx
14、 n )()( xf n 16cos)1( 2xx n 提示: 各項均含因子 ( x 2 )nx )2( !n22!n(2) 已知)(xf任意階可導, 且2n時)()( xf n提示: ,)()( 2xfxf 則當 )(xf )()(2 xfxf 3)(!2 xf )(xf )()(3!2 2 xfxf 4)(!3 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 試從 yyx 1dd導出.)(dd 322 yyyx 解： yxyyx dddddd 22 y1xdd yxdd2)(yy y 1 3)(yy同樣可求33ddyx 第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解: 設)(sin2 xfxy 求,y其中 f 二階可導.y y xxfx cos)(sin2 )(sin2 xf備用題x2 )(sinxf 2x )(sinxf xcos )cos)(sin()(sin2( 2 xxfxxfx )sin)(sin2 xxfx x2 )(sinxf xcos xxfx 22 cos)(sin )(sin)sincos4()(sin2 2 xfxxxxxf )(sincos 22 xfxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束
《高數(shù)教學課件》第三節(jié)高階導數(shù)
