湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷

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1、 湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試試卷 數(shù) 學(xué) 本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分。 時(shí)量 120 分鐘，滿分 100分。 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 4 分，滿分 項(xiàng)是符合題目要求的。 1.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體為 A. 圓柱 B.圓錐 C.圓臺(tái) D.球  40 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 2.已知元素 a ∈{0,1,2,3} ，且 a {0,1,2} ，則 a 的值為 A.0 B.1 C.2 D.3 3.在區(qū)間 [0,5]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則此數(shù)大于 3

2、 的概率為 1 2 A. B. 5 5 3 4 C. D. 5 5 4.某程序框圖如圖所示，若輸入 x 的值為 1，則輸出 y 的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 5.在△ ABC 中，若 AB AC 0 ，則△ ABC 的形狀是 A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形 6.sin120 的值為 2 B.－1 3 D.－ 2 A. C. 2 2 2 7.如圖，在正方體 ABCD －A B C D 中，直線 B

3、D 與 A C 的位置關(guān)系是 1 1 1 1 1 1 A. 平行 B.相交 C.異面但不垂直 D. 異面且垂直 8.不等式 (x＋1)(x－2)≤0 的解集為 A.{x| －1≤ x≤2}  B. {x| －1＜x＜2} C. {x|x≥2 或 x≤－1}  D. {x|x ＞2 或 x＜－1} 9.點(diǎn) P(m,1)不在不等式  x＋y－2＜0 表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)  m 的取值范圍是 A.m＜1  B.m≤1

4、  C.m≥1  D.m＞1 10.某同學(xué)從家里騎車一路勻速行駛到學(xué)校， 只是在途中遇到一次交通堵塞， 耽擱了一些時(shí)間，下列函數(shù)的圖像最能符合上述情況的是 二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 4 分，滿分 20 分。 11.樣本數(shù)據(jù)－ 2，0，6，3，6 的眾數(shù)是＿＿＿＿＿＿。 12.在△ ABC 中，角 A 、B、C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a、b、c，已知 a＝1， b＝2，sinA＝ 1 ，則 sinB 3 ＝＿＿＿＿＿＿。 13.已知 a 是函數(shù) f(x)＝2－log2x

5、 的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的值為＿＿＿＿＿＿。 14.已知函數(shù) y＝sin x( ＞0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示，則 的值為＿＿＿＿＿＿。 15.如圖 1，在矩形 ABCD 中，AB ＝2BC，E、F 分別是 AB 、CD 的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿 EF 把這個(gè)矩形折成一個(gè)直二面角 A －EF－C(如圖 2)，則在圖 2 中直線 AF 與平面 EBCF 所成的角的大小為＿＿＿＿＿＿。 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 40 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 16.(本小題滿分 6 分)已知函

6、數(shù) f ( x ) x , x [0,2], 4 , x ( 2,4]. x (1)畫出函數(shù) f(x)的大致圖像； (2)寫出函數(shù) f(x)的最大值和單調(diào)遞減區(qū)間。 17.(本小題滿分 8 分) 某班有學(xué)生 50 人，其中男同學(xué) 30 人，用分層抽樣的方法從該班抽取 5 人去參加某社區(qū)服務(wù)活動(dòng)。 (1)求從該班男、女同學(xué)中各抽取的人數(shù)； (2)從抽取的 5 名同學(xué)中任選 2 名談此活動(dòng)的感受，求選出的 2 名同學(xué)中恰有 1 名男同學(xué)的概率。

7、 18.(本小題滿分 8 分) 已知等比數(shù)列 {an} 的公比 q＝2，且 a2，a3＋ 1，a4 成等差數(shù)列。 (1)求 a1 及 an； (2)設(shè) bn＝an＋n，求數(shù)列 {b n} 的前 5 項(xiàng)和 S5。 19.（本小題滿分 8 分）已知向量 a＝(1,sin )，b＝(2,1)。 (1)當(dāng) ＝ 時(shí)，求向量 2a＋b 的坐標(biāo)； 6 (2)若 a∥b，且 ∈(0， )，，求 sin( ＋ )的值。 2 4

8、 20.(本小題滿分 10 分) 已知圓 C：x2＋y2＋2x－3＝ 0。 (1)求圓的圓心 C 的坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)； 1 1 (2)直線 l 經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與 y 軸重合，l 與圓 C 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，求證： x1 x2 為定值； (3)斜率為 1 的直線 m 與圓 C 相交于 D、E 兩點(diǎn)，求直線 m 的方程，使△ CDE 的面積最大。 湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題 (每小題 4 分，滿分 4

9、0 分) CDBBA CDACA 二 、填空題 (每小題 4 分，滿分 20 分) 11.6； 12. 2 ；13.4；14.2；15.45 (或 ) 3 4 三 、解答題 (滿分 40 分) 16. 解：(1)函數(shù) f(x)的大致圖象如圖所示 (2 分)； (2)由函數(shù) f(x)的圖象得出， f(x)的最大值為 2(4 分)，其單調(diào)遞減區(qū)間為 [2,4](6 分) 17. 解: (1) 30 5 3(人)， 20 5 2 (人)，所以從男同學(xué)中抽取 3 人，女同學(xué)中抽取 2 人(4 分)； 50 50 (2)過(guò)程略。 18.解： (1)由

10、已知得 a2＝2a1，a3＋1＝ 4a1＋1，a4＝8a1，又 2(a3＋1)＝a2＋a4，所以 2(4a1＋1)＝2a1＋8a1，解得 a1＝1(2 分)，故 an＝ a1qn-1＝2n-1(4 分)； (2)因?yàn)?bn＝2 n-1 1 (25 1) (1 5) 5 ＝46(8 分) ＋n，所以 S5＝b1＋b2＋ b3＋b4＋b5＝ 2 1 2 19.解： (1)因?yàn)? ，所以 a＝ (1, 1 ) ，于是向量 2a＋b＝ 2(1, 1 ) (2,1) ( 4,2) (4 分

11、) 6 2 2 (2)因?yàn)?a∥b，所以 sin 1 (5 分)，又因?yàn)? (0, ) ，所以 cos 3 (6 分)， 2 2 2 所以 sin( 4 ) sin cos cos sin 2 6 (8 分)。 4 4 4 20. 解：(1)配方得(x＋1)2＋y2＝4，則圓心 C 的坐標(biāo)為 (－ 1，0)(2 分)， 圓的半徑長(zhǎng)為 2(4 分)； (2)設(shè)直線 l 的方程為 y＝kx，

12、聯(lián)立方程組 x 2 y2 2x 3 0 y kx 消去 y 得(1＋k2)x2＋2x－3＝0(5分)，則有： x1 x2 1 2 , x1 x 2 3 (6 分) k 2 1 k 2 所以 1 1 x1 x2 2 為定值 (7 分)。 x1 x2 x1 x 2 3 (3)解法一 設(shè)直線 m 的方程為 y＝kx＋b，則圓心 C 到直線 m

13、 的距離 d | b 1 | ， 2 所以 | DE | 2 R 2 d 2 2 4 d 2 (8 分)， S CDE 1 | DE | d 4 d 2 d ≤ (4 d 2 ) d 2 2 ， 2 2 當(dāng)且僅當(dāng) d 4 d 2 ，即 d 2 時(shí)，△CDE 的面積最大 (9 分) 從而 |b 1 | 2 ，解之得 b＝3 或 b＝－1， 2

14、 故所求直線方程為 x－y＋3＝0 或 x－y－ 1＝0(10 分) 解法二 由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2， 所以 S CDE 1 | CE | sin DCE 2 sin DCE ≤2， | CD | 2 當(dāng)且僅當(dāng) CD⊥CE 時(shí)，△ CDE 的面積最大，此時(shí) | DE | 2 2 (8 分) 設(shè)直線 m 的方程為 y＝x＋b，則圓心 C 到直線 m 的距離 d | b 1 | (9 分) 2 由 | DE | 2 R 2 d 2 2 4 d 2 2 2 ，得 d 2 ， 由 | b 1 | 2 ，得 b＝3 或 b＝－1， 2 故所求直線方程為 x－y＋3＝0 或 x－y－ 1＝0(10 分)。