微積分論文_高等數(shù)學論文

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1、微積分論文 高等數(shù)學論文 淺談微積分中的反例 　　摘要： 本文列舉了微積分中常見的典型反例，并論述了反例在微積分教學中的作用：一方面可以強化概念、揭示概念的內(nèi)涵，準確把握概念之間的關系，透徹理解定理的條件；另一方面有助于培養(yǎng)學生的逆向思維能力，更有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學技能。 　　關鍵詞： 反例；微積分；函數(shù)；微分；積分 　　0引言 　　用命題形式給出的一個數(shù)學問題，要判斷它是錯誤的，利用只滿足命題的條件但是結(jié)論不成立的例證，就足以否定這個命題，這就是反例。通過舉出反例從而證明一個命題的虛假性的方法叫做反例法。反例思想是微積分中的重要思想，用逆向思維方法從問題反面出發(fā)，可以解決

2、用直接方法很難或無法解決的問題。在微積分中存在大量的反例，其意義遠遠超過了它的具體內(nèi)容，除了它能幫助學生深入地理解有關數(shù)學對象性質(zhì)之外，還促進了學生的辨證思維方式的形成。 　　1連續(xù)、可導、可微問題 　　微積分中對于無窮大與無界、極大(小)值與最大(小)值以及可導與連續(xù)等容易混淆的概念之間的關系，可以通過運用適當?shù)姆蠢M行準確理解把握。同時也能培養(yǎng)與提高學生的辯證思維能力。 　　情形1 若函數(shù)f（x）在a連續(xù)， 則函數(shù)f（x）在a也連續(xù)，但其逆命題不成立。 　　反例：函數(shù) 　　f（x）=1，x?叟0-1，x<0， 　　雖然f（x）=1在x=0處連續(xù)， 但f（x）在x=0

3、處不連續(xù)。 　　情形2 可導函數(shù)必定是連續(xù)函數(shù)。那么“連續(xù)函數(shù)必定是可導函數(shù)？答：不一定。 　　反例：函數(shù)f（x）=x+1，在x=0連續(xù)，但在x=0不可導，事實上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0連續(xù)；但極限==1或-1不相等， 所以f（x）在x=0不可導。 　　情形3 函數(shù)f（x）在x=x0處可導， 則函數(shù)f（x）在x=x0的鄰域內(nèi)不一定連續(xù)。 　　反例：函數(shù) 　　f（x）=x，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)， 　　在x=0處可導，但在0點的任何鄰域， 除0點外都不連續(xù)。 　　情形4 f（x）在x=x0處可導， 則f（x）在x=x0處是否有連續(xù)導數(shù)？

4、 　　反例：函數(shù)f（x）=xcosx≠0 0x=0 在x=0處可導， 但導數(shù)不連續(xù)。 　　事實上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0處可導，但當x≠0時，f′（x）=2xcos-xsin?-=2xcos+sin 　　極限f′（x）=2xcos-xsin?-=2xcos+sin不存在，即f（x）的導數(shù)不連續(xù)。 　　綜上歸結(jié)，對一元函數(shù)f（x）在點x0可有：可微?圳可導 連續(xù) 　　有極限。通過恰當?shù)姆蠢梢钥旖荻鴾蚀_地把握它們之間所存在的關系。 　　情形5 當f（x0）≠0時，由f（x）在x0可導不一定能推出f（x）在x0可導。 　　反例 ：函數(shù)f（x）=

5、 x，x∈[0，1]-x，x∈[1，2]，而f（x）=x，x∈[0，2]， 顯然f（x）在x0=1處可導，但f（x）在x0=1處不可導。 　　情形6下面命題是否成立：若f（x）在（a，b）內(nèi)可導，則在（a，b）內(nèi)必定存在ξ，使得f′（ξ）=？ 　　事實上，舉出這樣的反例：f（x）=x，0 　　2可積問題 　　情形7若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上可積，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上也可積，且f（x）dx?燮f（x）dx，但其逆命題不成立，即當函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上可積時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上不一定可積。 　　反例：函數(shù) 　　f（x）= 1，x為有理數(shù)-

6、1，x為無理數(shù) 　　函數(shù)在[0，1]上不可積，而f（x）≡1，這是常函數(shù)，顯然在[0，1]上可積。 　　3無窮大量與無界量問題 　　情形8 無窮大量是無界量， 但無界量不一定是無窮大量。 　　反例：f（x）=xcosx 當x→∞時f（x）為無界量。事實上，對無論多大的G>0，總存在x=nπ，當n>時，有f（x）=nπcosnπ=nπ>G然而，當x→∞時，若取x=nπ+此時f（x）=nπ+cosnπ+=0。即f（x）并不趨于∞。 　　4函數(shù)的極大(小)值與最大(小)值問題 　　情形9[4]可導函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐點，但駐點不一定是函數(shù)的極值點。 　　反例：x=0

7、是函數(shù)f（x）=x3的駐點，但不是其極值點。 　　情形10 函數(shù)f（x）的極大(小)值不一定就是最大(小)值。 　　反例：函數(shù)f（x）=x-4x+3x+1，x∈[-1，3]，由于f′（x）=4x-8x+3=4（x-1）-1，易見x=或x=為f（x）的穩(wěn)定點，列表如下： 　　由上表可知：點為f（x）的極大值點，極大值為；點x=為f（x）的極小值點，極小值為1。但函數(shù)f（x）在點x=3取得最大值為6，在點x=-1取得最小值為-。 　　上述歸結(jié)，若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上一定有最大、最小值。若函數(shù)f（x）的最大(小)值點x0在區(qū)間內(nèi)，則x0必定是

8、f（x）的極大(小)值點。但f（x）的最大(小)值也可能在區(qū)間端點處取得，則f（x）的極大(小)值不一定就是最大(小)值，要通過比較才能確定。 　　5結(jié)語 　　微積分中的反例有助于提高學生的數(shù)學邏輯思維能力,突出數(shù)學所表達的逆向思維以及體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性.透徹理解命題、定理條件的充分性及必要性,為了分清條件的充分性與必要性使用恰當?shù)姆蠢欠浅Ｓ泻锰幍?。反例對鞏固和加深對概念與定理的理解，以及對掌握相關概念的差異和層次方面有著正面說明或證明所無法取代的作用。 　　在微積分的教學中，反例的試舉已成為提高教學質(zhì)量的重要的一環(huán)。另一方面：“反例教學”對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力方面的作用也是顯著的。它不僅有助于培養(yǎng)學生縱向思維能力，而且有助于培養(yǎng)和發(fā)展學生的橫向思維能力，更有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學技能，并使學生養(yǎng)成嚴格推理、全面分析問題的能力。 　　參考文獻： 　　[1]劉福保.反例教學法在數(shù)學分析中的作用和構(gòu)造[J].科技創(chuàng)新導報，2009，NO.11. 　　[2]薛迎杰.淺談反例在高等數(shù)學教學中的作用[J].中國校外教育，下旬刊. 　　[3]馬建珍.反例在數(shù)學分析中的作用[J].宜賓學院學報，2006，6（12）. 　　[4]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版) [M].北京：高等教育出版社，2001.