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1、2021-5-20 1 第六章 投影變換 重 點：掌握平行投影、透視投影以及投影分類的概念。 難 點：理解并推導透視投影的變換公式及變換矩陣。 課時安排：授課4學時；上機2學時。 2021-5-20 2 第六章 投影變換 實際物體都是三維的，可以在三維直角坐標系中描述，但顯示屏是二維的，所以最終還是用二維圖形基元產生圖形。從三維物體模型描述到二維圖形描述的轉換過程稱為投影變換。 2021-5-20 3 6.1 投影概念分類 一、投影的概念 投影變換分為平行投影和透視投影兩種：1、透視投影變換：投影射線匯聚于投影中心，或者說投影中心在有限遠處的投影。即從空間選定的一個投影中心和物體上每點連直線從
2、而構成了一簇射線，射線與選定的投影平面的交點集便是物體的投影。見下圖（a）。2、平行投影變換：平行投影可以看成投影中心在無限遠處的投影。見下圖（b）。 2021-5-20 4 6.1 投影概念分類 a透視投影變換示意圖 b平行投影變換示意圖 2021-5-20 5 6.1 投影概念分類 二、投影的分類 2021-5-20 6 6.2 正平行投影 正平行投影的投影中心是在無限遠處，且投影射線與投影平面垂直。 正投影正軸測投影 2021-5-20 7 6.2.1 正投影 正投影的投影方向與用戶坐標系的某個坐標軸方向平行，即投影方向與另外兩個坐標軸組成的平面是垂直的。示意圖中給出了立方體的各種正投影
3、。 2021-5-20 8 6.2.1 正投影 在觀察坐標系中進行平行正投影很方便，因為是按Z方向投影，物體的投影圖坐標便與它的Z值無關，所以去掉Z變量便是三維物體的二維投影描述。沿Z方向正投影的變換可表示成： 其中，x p,yp,zp是投影點坐標，xo,yo,zo是物體上點的坐標。 2021-5-20 9 6.2.2 正軸測投影 2021-5-20 10 6.2.2 正軸測投影 正軸測投影的投影方向不與坐標軸方向平行。為了達到投影要求，需在用戶坐標系中安排恰當的觀察坐標系位置。假設觀察坐標系與用戶坐標系重合。經將用戶坐標系先繞y軸旋轉角，再繞x軸旋轉角的變換，形成觀察坐標系與用戶坐標系的新的
4、位置關系，如上圖所示。兩坐標系之間的變換矩陣為： 2021-5-20 11 6.2.2 正軸測投影 在觀察坐標系中的正投影是去掉它們的z分量，即可得到正軸測投影的圖形。 常用的正軸測投影有： 2021-5-20 12 6.2.2 正軸測投影 1、正等軸測投影正等軸測投影：投影方向與各坐標軸夾角相等的正軸測投影，此時物體中各邊以相同比例縮小，如圖所示。 根據正軸測投影的變換公式（見正軸測投影示意圖），在用戶坐標系中， 2021-5-20 13 6.2.2 正軸測投影 x軸上A點1 0 0 1。變換后為：1 0 0 1H = cossinsin -sincos1 y軸上B點0 1 0 1。變換后為
5、：0 1 0 1H = 0 cos sin 1 z軸上C點0 0 1 1。變換后為： 0 0 1 1H = sin -cossin coscos1 2021-5-20 14 6.2.2 正軸測投影 在觀察坐標系中的正投影是去掉z分量，上述三點到坐標原點的長度是 ,按正等軸測投影的要求，原用戶坐標系中x、y和z方向單位長度的投影長度應相等：AO=BO、CO=BO 即 2021-5-20 15 6.2.2 正軸測投影 解上述方程組： ， ， ， ，所以正等軸測投影變換矩陣為： 2021-5-20 16 6.2.2 正軸測投影 正二軸測投影：投影線與各坐標軸的夾角中有兩個相等，使得物體中有兩個與坐標
6、軸平行的邊等比例縮小的正軸測投影，如圖所示。 設投影線與x軸及y軸的夾角相等，則AO=BO 即： 2021-5-20 17 6.2.2 正軸測投影 另給一約束條件，設原用戶坐標系中z方向單位長度的投影長度是k，即： 解上述方程： ， ， ， 。從而可以確定投影變換矩陣H。 2021-5-20 18 6.2.2 正軸測投影 3、正三軸測投影正三軸測投影：投影線與各坐標軸夾角全不相等，使得物體中三個與坐標軸平行的三條邊各以不同比例縮小的正軸測投影，如圖所示。 2021-5-20 19 6.3 斜平行投影 斜平行投影：是指投影射線方向不與投影平面垂直的平行投影。若投影方向用矢量A，B，C表示，則點(
7、Xo,Yo,Zo)的投影直線可用參數寫成： 以Z=0（Zp=0）的平面作為投影平面時，射線與投影面的交點滿足t=-Zo/C，所以投影點的坐標是: 2021-5-20 20 6.3 斜平行投影 Xp=XoAZo/C和Yp=YoBZo/C。這些變換關系可寫成： xp yp zp 1=xo yo zo 1Mob其中 常用的斜平行投影有： 2021-5-20 21 6.3 斜平行投影 1、斜等測投影 斜等測投影：投影方向與投影平面成45的斜平行投影，它保持平行投影平面和垂直投影平面的線的投影長度不變。 2、斜二測投影 斜二測投影：與投影平面成arctg(2)角的斜平行投影，它使垂直投影平面的線產生長度
8、為原來1/2的投影線。 2021-5-20 22 6.4 透視投影 透視投影：投影射線匯聚于投影中心，或者說投影中心在有限遠處的投影。 2021-5-20 23 6.4 透視投影 透視投影變換的觀察坐標系中（見上圖所示），投影中心處于坐標系原點，投影平面與Z軸垂直并距原點距離為d。由相似三角形關系求得空間點P(x0，y0，z0)和投影平面上投影點P(xp，yp，zp)的坐標關系： xp=x0d/z0 yp=y0d/z0 z p=d 可見隨著物距z0的增大，投影點的xp和yp將減小。在齊次坐標系中這個變換關系可寫成如下所示： 2021-5-20 24 6.4 透視投影 xp yp zp w= 由
9、上式得xp yp zp w=x0 y0 z0 z0/d，可見w=z0/d，所以 透視投影分為三類： 2021-5-20 25 6.4 透視投影 1、一點透視一點透視：由透視變換關系可見，只有與投影平面平行的平行線（它們有相同的z0值）才能在投影線之間繼續(xù)保持平行，垂直投影平面的平行線的透視投影線將匯聚到一個消失點（xi=0,yi=0）上（見示意圖）。由平行于用戶坐標軸的平行線投影產生的消失點稱為主消失點。按照投影面的方向可對在用戶坐標系中正放的矩形體產生一個主消失點，即投影平面與一個坐標軸相交，這種投影被稱為一點透視。 2021-5-20 26 6.4 透視投影 2021-5-20 27 6.
10、4 透視投影 2、兩點透視二點透視：按照投影平面的方向可對在用戶坐標系中正放的矩形體產生二主消失點，即投影平面與二個坐標軸相交，這種投影被稱為二點透視。 二點透視示意圖 2021-5-20 28 6.4 透視投影 3、三點透視三點透視：按照投影面的方向可對在用戶坐標系中正放的矩形體產生三主消失點，即投影平面與三個坐標軸相交，這種投影被稱為三點透視。 2021-5-20 29 習題1.為什么需要做投影變換？2.什么叫投影變換?3.試述投影變換的分類 4.沿Z方向正投影的變換矩陣是什么樣的？ 5.若給出投影方向矢量A，B，C，且以Z=0的平面作為投影平面，則斜平行投影變換矩陣是什么樣的？6.若投影中心處于觀察坐標系的原點，投影平面與Z軸垂直并距原點的距離為d，則透視投影變換矩陣是什么樣的？
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