《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)洛必塔

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1、三、其他未定式 二、 型未定式一、 型未定式00第 二 節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛 必 達 法 則 第三章 )( )(lim xg xf微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化00( 或 型)( )(lim xg xf本節(jié)研究:洛必達法則 洛必達 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、0)(lim)(lim)1 xgxf axax )( )(lim)3 xg xf ax 存在 (或為 )( )(lim)( )(lim xg xfxg xf axax 0)(,)()()()2 xgaxgxf且內(nèi)可導(dǎo)在與 定理 1 若f(x)和g(x)滿足型未定式00 (洛必達

2、法則) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 在 x , a 之間)證:無妨假設(shè),0)()( agaf在指出的鄰域內(nèi)任取,ax 則)(,)( xgxf在以 x, a 為端點的區(qū)間上滿足柯0)(lim)(lim)1 xgxf axax故)()( )()()( )( agxg afxfxg xf )( )(gf)( )(lim xg xfax )( )(lim gfax )( )(lim xg xfax )3定理條件: 西定理條件,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( )(lim)3 xg xfax 存在 (或為 ) 0)(,)()()()2 xgaxgxf且內(nèi)可導(dǎo)在與 推論1.定理 1 中

3、ax 換為,ax ,ax ,x x之一,推論 2.若)( )(lim xg xf滿足定且型仍屬)(,)(,00 xgxf 理1條件, 則)( )(lim)( )(lim xg xfxg xf )( )(lim xg xf 條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.,x )( )(lim)( )(lim xg xfxg xf axax 洛必達法則 定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例9 求).0(sinsinlim0 bbxaxx解原式 lim0 x型00bxb axa x coscoslim0 ba)(sin ax)(sin bx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例10 求.2

4、3 1222lim 24 2341 xxx xxxxx 解原式 lim1 x型00612 41212lim 221 x xxx 32注意: 不是未定式不能用洛必達法則 !612 41212lim 221 x xxx 2124 1224lim1 xxx 2464 23 xxx 264 3 xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例11 求.sinlim 30 x xxx 解原式 lim0 x型00 xx x 6sinlim0 x xx sinlim61 0注意: 也可以利用無窮小的等價代換 !.61321lim3cos1lim 22020 xxx x xx xcos1 23x 機動 目錄 上頁

5、 下頁 返回 結(jié)束 .61 例12 求.sin)1e( arctanlim 20 xxxxx 解原式 lim 0 x 型00 2 20 31 11lim x xx 201 1lim31 xx 注意: 利用無窮小的等價代換 !xx arctan 3x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .31 .1e,0 xx x 時當(dāng).sin)1e(,0 32 xxx x 時故當(dāng) 練習(xí) 求.arctanlim 12 xx x 解原式 lim x型00 221lim xxx 121 1x 21x 11lim 21 xx思考: 如何求 nn n12 arctanlim ( n 為正整數(shù)) ?型 機動 目錄 上頁

6、下頁 返回 結(jié)束 二、型未定式 )(lim)(lim)1 xFxf axax )( )(lim)3 xF xfax 存在 (或為)( )(lim xF xfax定理 3證: )( )(lim xF xfax僅就極限存在的情形加以證明 .)( )(lim xF xfax (洛必達法則) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf 0)( xF且 1) 0)( )(lim xF xfax的情形)( )(lim xF xfax limax )(1xF )(1xf limax )()(12 xFxF )()(12 xfxf )( )()( )(lim 2 xf xFxF

7、 xfax )( )(lim)( )(lim 2 xf xFxF xf axax )( )(lim)( )(lim1 xf xFxF xf axax )( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax 從而型00 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 0)( )(lim xF xfax的情形.取常數(shù),0k ,0 k kxF xfax )( )(lim )( )()(lim xF xFkxfax )( )()(lim xF xFkxfax )( )()(lim xF xFkxfax kxF xfax )( )(lim)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axa

8、x 可用 1) 中結(jié)論 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) )( )(lim xF xfax時, 結(jié)論仍然成立. ( 證明略 )說明: 定理中ax 換為之一,條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立.,ax ,ax ,xx,x 定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例13 求.cotarc )11ln(lim xxx 解原式 )11(lim xx型00 xx x x 2 2lim 1)11( x )1 1( 2x 11lim 21 xx型機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例14 求.)0(lnlim nx xnx解型原式11lim nxx xn nx xn1lim 0練習(xí) 求解: (

9、1) n 為正整數(shù)的情形.原式0 xnx exn 1lim xnx e xnn 2 2)1(lim xnx en !lim .)0, 0(lim nex xnx型 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí) 求.)0, 0(lim nex xnx(2) n 不為正整數(shù)的情形.nx從而xnexxkex xkex 1由(1) 0limlim 1 xkxxkx exex 0lim xnx ex用夾逼準(zhǔn)則kx 1 kx存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x 1 時, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .)0(0lnlim nx xnx例3. 例4. .)0, 0(0lim nex xnx說明:1) 例14 ,

10、練習(xí) 表明x時,lnx后者比前者趨于更快 .例如,x xx 21lim 21lim xxx x xx 21lim 而x xx 21lim 11lim 2 xx 1)0( xe,)0( nxn用洛必達法則2) 在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決 計算問題 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) 若,)()( )(lim時不存在 xF xf .)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf 例如, x xxx sinlim 1cos1lim xx 極限不存在)sin1(lim x xx 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、其他未定式: ,0 , ,00 ,1型0解決

11、方法:通分轉(zhuǎn)化00 0取倒數(shù)轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化例15 求.)1e(lim 1 xx x型0解 原式xxx /1 1elim /1 )1( )1(elim 2 2/1 x xxx .1x x 1elim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化00 0取倒數(shù)轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化例16 求).0(lnlim0 nxxnx型0解 原式nx x x lnlim0 110lim nxx xn0)(lim0 nxnx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 型.)1112(lim 21 xxx解 原式1 )1(2lim 21 x xx xx 21lim1 11lim1 )1(2lim 2121 x x

12、x x xx或 例17 求 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化00 0取倒數(shù)轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化 .21 11lim1 xx .21 型.)tan(seclim2 xxx 解 原式)cossincos1(lim2 xxxx xxx cossin1lim2 xxx sincoslim2 0練習(xí)1 求 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化00 0取倒數(shù)轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化 例18 求.lim0 xx x型00解xx x0lim xxx e ln0lim 0e 1利用 例16 例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化00 0取倒數(shù)轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化 ,arctan2 x

13、xy 則arctan2lnlimlnlim xxy xx 例19 求.arctan2lim xx x解 設(shè)于是xx /1 lim )ln(arctan2ln x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,arctan2lnln xxy 21 lim xx 21 1arctan1 xx .earctan2lim 2 xx x所以機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxx arctan11lim 22 ,221)1( 21 lim xx 21 1arctan1 xx ,)sin1(lim)( )(lim不存在xxg xf xx 例20 求.coslim x xxx 解 因為xx x cos1lim1

14、 .001 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此洛必達法則的條件不滿足,不能判斷.coslim是否存在x xxx 事實上, xxx xx xx cos11limcoslim ,1xt 則20 11221lim t ttt 例21 求 xxxxx 122lim 23解 令原式tt 2 lim0 21)21( t 21)1( t2 )1()21(lim 2323 210 ttt 41 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)2 求.sintanlim 20 xx xxx 解注意到xsin原式30tanlim x xxx 220 3 1seclim xxx 220 3tanlim x xx xx

15、 22 tan1sec 31 x型00 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n n nne ln1 1練習(xí)3 求.)1(lim nn nn分析: 為用洛必達法則 , 必須改求.)1(lim 121 xxxx法1 用洛必達法則型0但對本題用此法計算很繁 ! 21 lim nn法2 )1(lim 121 nnnn 1ln1 nne 21lim nn nnln1 21lnlim n nn 0u1ue原式 例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)洛必達法則型00 ,1,0 型型0型00型 gfgf 1fg fggf 11 11 gfy 令取對數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)1.

16、設(shè))( )(lim xg xf是未定式極限 , 如果)( )(xg xf不存在 , 是否)( )(xg xf的極限也不存在 ?舉例說明 .極限 )1ln()cos1( cossin3lim.2 120 xx xx xx 說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式xxx xx 120 cossin3lim21 )1ln( x x)03(21 23分析: 分析: 20 3cos1lim x xx 30 lim xx3. xxxx 1sin1cotlim0原式xsin x1coslim0 xxxx sin222103lim xxx xcos1 221 x61 61 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

17、xx xxxx 20 sin )sin(coslim 求下列極限 : ;)11ln(lim)1 2 xxxx 解: tttt 1)1ln(1lim 20 20 )1ln(lim t ttt .cossec )1ln()1ln(lim)3 220 xx xxxxx ;1lim)2 211000 xx ex )11ln(lim)1 2 xxxx )1(2lim0 tt tt 備用題ttt 2 1lim 110 21 )1( xt 令 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令,12xt 則tt et 50lim原式 = tx et50lim 0 tt et4950lim 211000 1lim)2 x

18、x ex 解: tt e !50lim (用洛必達法則)(繼續(xù)用洛必達法則) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xx xxx cossec )1ln(lim 2220 1xx xxx cossec )1(lnlim 420 xx xxx cosseclim 420 0lim x 1sec 42sinlim 2 20 xxxxx xx xxxxx cossec )1ln()1ln(lim)3 220 解:原式 = 342 xxxxtansec )sin( x 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xx x 20 )1ln(1lim2003 求極限年型1x xxe )1ln(1ln2lim0 原

19、式解)1ln()1ln(1ln xx x x xe )1ln(2lim0 型00212lim0 ee xx xx )1ln( 或 )111(lim2005 0 xexxx 求年型)1( 1lim 20 x xx ex exx 原式解型00 xe x 1 xe x 1 xe x 1 220 1lim x exx xx x ex xx 221lim0 2322lim 0 xx e 型00型00 )cos(sin2 1lim2007 323 xxxxx xx 求年0 6)2(ln2 6lim )(6)2(ln2 26lim )(32ln2 23lim )(2 1lim 32 22 323 xx xx

20、 xx xx xx xxx xxx型型型因為解,2cossin xx而0)cos(sin2 1lim 323 xxxxx xx故 )cossin1(lim2004 2220 x xxx 求年型xx xxxx 22 222 sin cossinlim 原式解型00 22 sin xx 4 220 2sin41lim x xxx 30 4 4sin212lim x xxx 型0020 6 4cos1lim x xx 2)4(214cos1 xx.346 )4(21lim 2 20 xxx或者用洛必塔法則 xxx dttxfx dttftxxfxf 000 )( )()(lim,0)0(,)( )11(2006求極限且連續(xù)設(shè)函數(shù)分年 x xxx dttxfx dtttfdttfx 0 000 )( )()(lim原式解)00()( )()(lim 0 000型令 x xxxutx duufx dtttfdttfx )()( )(lim)()( )()()(lim 0 00000 xxfduuf dttfxxfduuf xxfxxfdttf x xxxxx .21)0()0( )0()()( )(lim)()( )(lim )0( 0)0( 0 ff fxff fxxfxf xf xx 積分中值定理

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