《《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 二 節(jié)正 項 級 數(shù) 及 其 審 斂 性 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 第 八 章 定 義 1 若 級 數(shù) 各 項 的 符 號 相 同 ， 則 稱 它 為 同 號 級 數(shù) ;若 ,0nu 1n nu定 理 1. 正 項 級 數(shù) 1n nu 收 斂 部 分 和 序 列 nS),2,1( n 有 界 .若 1n nu 收 斂 , ,收 斂則 nS,0nu 部 分 和 數(shù) 列 nS nS 有 界 , 故 nS 1n nu從 而又 已 知 故 有 界 .則 稱 為 正 項 級 數(shù) .單 調(diào) 遞 增 , 收 斂 , 也 收 斂 .證 : “ ”“ ” 機 動 目 錄 上 頁 下 頁
2、 返 回 結(jié) 束 ,Zn ,nn vku 都 有定 理 2 (比 較 判 別 法 ) 設(shè) ,1n nu 1n nv且 存 在 ,ZN 對 一 切 ,Nn 有(1) 若 強 級 數(shù) 1n nv 則 弱 級 數(shù) 1n nu(2) 若 弱 級 數(shù) 1n nu 則 強 級 數(shù) 1n nv證 :設(shè) 對 一 切 和令 nS n則 有 收 斂 , 也 收 斂 ;發(fā) 散 , 也 發(fā) 散 .分 別 表 示 弱 級 數(shù) 和 強 級 數(shù) 的 部 分 和 , 則 有nn vku 是 兩 個 正 項 級 數(shù) , (常 數(shù) k 0 ),因 在 級 數(shù) 前 加 、 減 有 限 項 不 改 變 其 斂 散 性 , 故 不 妨
3、機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 (1) 若 強 級 數(shù) 1n nv 則 有 nn lim因 此 對 一 切 ,Zn 有 nS由 定 理 1 可 知 , 1n nu則 有(2) 若 弱 級 數(shù) 1n nu ,lim nn S因 此 ,lim nn 這 說 明 強 級 數(shù) 1n nv 也 發(fā) 散 .knS nk 也 收 斂 .發(fā) 散 ,收 斂 ,弱 級 數(shù) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 證 明 級 數(shù) 1 )1(1n nn 發(fā) 散 .證 因 為 2)1( 1)1(1 nnn ),2,1(11 nn而 級 數(shù) 1 11n n 2 1k k 發(fā) 散 ，根 據(jù) 比 較
4、審 斂 法 可 知 , 所 給 級 數(shù) 發(fā) 散 . 例 9 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 10 討 論 p 級 數(shù) (又 稱 廣 義 調(diào) 和 級 數(shù) ) ppp n131211 (常 數(shù) p 0)的 斂 散 性 . 解 1) 若 ,1p 因 為 對 一 切 ,Zn而 調(diào) 和 級 數(shù) 11n n由 比 較 審 斂 法 可 知 p 級 數(shù) 1 1n pnn1 發(fā) 散 .發(fā) 散 ,pn1 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,1p 因 為 當(dāng) nxn 1 ,11 pp xn 故 nn pp xnn 1 d11 nn p xx1 d1 11 1)1( 111 pp n
5、np考 慮 強 級 數(shù) 112 1)1( 1 ppn nn 的 部 分 和n 111 )1( 11 ppnk kk n故 強 級 數(shù) 收 斂 , 由 比 較 審 斂 法 知 p 級 數(shù) 收 斂 .時 , 1)1( 11 pn 11111 )1( 113121211 ppppp nn 12) 若 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 調(diào) 和 級 數(shù) 與 p 級 數(shù) 是 兩 個 常 用 的 比 較 級 數(shù) .若 存 在 ,ZN 對 一 切 ,Nn,1)1( nun ,)1(1)2( pnu pn .1 收 斂則 n nu;1 發(fā) 散則 n nu 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié)
6、 束 判 別 級 數(shù) 1 22 33n nnnn 收 斂 性 .解 因 為 nnnnn nn nnn 33333 22 222 ,131 2nn 而 ,131 .31 1收斂故幾何級數(shù)n n又 p=21， 所 以 p級 數(shù)因 此 級 數(shù) 例 11 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .11 2收斂 n n 1 22 33n nnnn 收 斂 . 定 理 3 (比 較 審 斂 法 的 極 限 形 式 ),1n nu 1n nv ,lim lvunnn 則 有兩 個 級 數(shù) 同 時 收 斂 或 發(fā) 散 ;(2) 當(dāng) l = 0 ,1 收 斂 時且 n nv ;1 也 收 斂n nu(3
7、) 當(dāng) l = ,1 發(fā) 散 時且 n nv .1 也 發(fā) 散n nu證 據(jù) 極 限 定 義 , ,0對 ,ZN存 在lnnvu )( l 設(shè) 兩 正 項 級 數(shù)滿 足(1) 當(dāng) 0 l 時 , ,時當(dāng) Nn 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 nnn vluvl )()( ,l取 由 定 理 2 可 知 與1n nu 1n nv同 時 收 斂 或 同 時 發(fā) 散 ; )( Nn ),()( Nnvlu nn 利 用(3) 當(dāng) l = 時 , ,ZN存 在 ,時當(dāng) Nn ,1nnvu 即nn vu 由 定 理 2可 知 , 若 1n nv 發(fā) 散 , ;1 也 收 斂則 n nu(
8、1) 當(dāng) 0 l 時 ,(2) 當(dāng) l = 0時 , 由 定 理 2 知1n nv 收 斂 , 若 .1 也 發(fā) 散則 n nu 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 , nu nv ,lim lvunnn 是 兩 個 正 項 級 數(shù) , (1) 當(dāng) 時 ,l0 兩 個 級 數(shù) 同 時 收 斂 或 發(fā) 散 ;特 別 取 ,1pn nv 可 得 如 下 結(jié) 論 :對 正 項 級 數(shù) , nu,1p l0lnnn lim pn ,1p l0 發(fā) 散 nu(2) 當(dāng) 且 收 斂 時 ,0l nv(3) 當(dāng) 且 發(fā) 散 時 , l nv 也 收 斂 ; nu 也 發(fā) 散 . nu 收 斂 n
9、u 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 的 斂 散 性 . 例 12 判 別 級 數(shù) 1 11lnn n解 nlim nn n 1lim 1根 據(jù) 比 較 審 斂 法 的 極 限 形 式 知 .11ln1 2 收 斂 n n )11ln( n n1n n11ln 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 的 斂 散 性 . 例 13 判 別 級 數(shù) 1 3sin2n nn解 nnn 313lim .而 幾 何 級 數(shù) ,32 1收斂 n n n3sin n3n n nn 32 3sin2lim n nn 313sinlim 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 根
10、據(jù) 比 較 審 斂 法 的 極 限 形 式 知 .3sin21收斂n nn 的 斂 散 性 . nnn 1lim 練 習(xí) 1 判 別 級 數(shù) 1 1sinn n 的 斂 散 性 .解 : nlim sin1n n11根 據(jù) 比 較 審 斂 法 的 極 限 形 式 知 .1sin1 發(fā) 散n n練 習(xí) 2 判 別 級 數(shù) 1 211lnn n解 : nlim 22 1lim nnn 1根 據(jù) 比 較 審 斂 法 的 極 限 形 式 知 .11ln1 2 收 斂 n nn n1sin )1ln( 21n 21n2n 211ln n 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 quu nnn 1
11、lim由定 理 4 比 值 判 別 法 ( 達 朗 貝 爾 判 別 法 )設(shè) nu 為 正 項 級 數(shù) , 且 ,lim 1 quu nnn 則(1) 當(dāng) 1q(2) 當(dāng) 1q證 : (1) ,1時當(dāng)q 11 quu nnnn uqu )(1 12)( nuq 1)( NNn uq ,1 q使取收 斂 , .收 斂 nu時 , 級 數(shù) 收 斂 ;或 時 , 級 數(shù) 發(fā) 散 .q,ZN知 存 在 ,時當(dāng) Nn kq )( 由 比 較 審 斂 法 可 知 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,1時或 qq ,0, NuZN必 存 在,11 nnuu ,0lim Nnn uu因 此 所
12、以 級 數(shù) 發(fā) 散 . Nn 當(dāng)時 (2) 當(dāng) nn uu 1 1 nu Nu1lim 1 nnn uu說 明 : 當(dāng) 時 ,級 數(shù) 可 能 收 斂 也 可 能 發(fā) 散 .例 如 , p 級 數(shù) :11n pn nnn uu 1lim p pnnn 1)1( 1lim 1但 ,1p 級 數(shù) 收 斂 ;,1p 級 數(shù) 發(fā) 散 .從 而 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 14 判 別 下 列 級 數(shù) 的 斂 散 性 . .2)12( 1)2(;!)1( 11 nn n nnnn解 (1) n n nn 1lim.1e1所 以 級 數(shù) .! 1收斂n nnn nnn uu 1lim
13、 n nn nnnn !)1( !)1(lim 1 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 nn n 11 1lim 1 2)12( 1)2( n nn解 (2) )22)(12( 2)12(lim nn nnn比 值 判 別 法 失 效 . nnn uu 1lim nn nnn 2)12( 1 )22)(12( 1lim 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .1,122 nnn 因為,12)12( 1 2nnn 所以,11 2收斂而級數(shù)n n .2)12( 11收斂所以級數(shù) n nn lim n練 習(xí) 3 討 論 級 數(shù) )0(1 1 xxnn n 的 斂 散 性 .解
14、nnn uu 1lim nxn )1( 1nxn x根 據(jù) 定 理 4可 知 :,10 時當(dāng) x 級 數(shù) 收 斂 ;,1時當(dāng) x 級 數(shù) 發(fā) 散 ; .1 發(fā) 散級 數(shù) n n,1時當(dāng) x 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 對 任 意 給 定 的 正 數(shù) ,lim qun nn 定 理 5 根 值 審 斂 法 ( Cauchy判 別 法 ) 設(shè) 1n nu 為 正 項 級,lim qun nn 則 ;,1)1(級數(shù)收斂時當(dāng)q .,1)2(級數(shù)發(fā)散時當(dāng)q證 明 提 示 : ,ZN存 在 quq n n 有時當(dāng) ,Nn 即 nnn quq )()( 分 別 利 用 上 述 不 等 式
15、 的 左 ,右 部 分 , 可 推 出 結(jié) 論 正 確 .,)1( q 1q 1q1q 1q數(shù) , 且 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 時 , 級 數(shù) 可 能 收 斂 也 可 能 發(fā) 散 .1q例 如 , p 級 數(shù) :11 pn n pnn n nu 1 )(1 n說 明 : ,1pn nu 但 ,1p 級 數(shù) 收 斂 ;,1p 級 數(shù) 發(fā) 散 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 15 判 別 下 列 級 數(shù) 的 斂 散 性 . .1)2(;2 )1(2)1( 11 n nn n n n解 (1) .121所 以 級 數(shù) .2 )1(21 2收斂 n n
16、nn nn ulim 2 )1(2lim n nn 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1 1)2( n nn解 (2) n n 1limn nn ulim n nn n1lim 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .10 .11收斂所以級數(shù)n nn 思 考 與 練 習(xí)設(shè) 正 項 級 數(shù) 1n nu 收 斂 , 能 否 推 出 1 2n nu 收 斂 ?提 示 : nnn uu2lim nn u lim 0由 比 較 判 斂 法 可 知 1 2n nu 收 斂 .注 意 : 反 之 不 成 立 . 例 如 ,1 21n n 收 斂 , 11n n 發(fā) 散 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 備 用 題 ;)1ln(1)1( 1 n n1. 判 別 級 數(shù) 的 斂 散 性 : .1)2( 1n n nn解 : (1) ,)1ln( nn nn 1)1ln(1 11n n 發(fā) 散 , 故 原 級 數(shù) 發(fā) 散 . 1 1n pnp :級 數(shù)不 是 p級 數(shù)(2) nlim nn n1lim 111n n 發(fā) 散 , 故 原 級 數(shù) 發(fā) 散 .n nn1 n1 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束
《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法
